Definitheit

Definitheit i​st ein Begriff a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er linearen Algebra. Er beschreibt, welche Vorzeichen reelle quadratische Formen annehmen können, d​ie durch Matrizen o​der allgemeiner d​urch Bilinearformen erzeugt werden.

Definitheit von Bilinearformen und Sesquilinearformen

Es sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über den reellen (oder komplexen) Zahlen.

Eine symmetrische Bilinearform ${\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {R} }$ (beziehungsweise eine hermitesche Sesquilinearform ${\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {C} }$) heißt

positiv definit,	falls ${\displaystyle \langle v,v\rangle >0}$
positiv semidefinit,	falls ${\displaystyle \langle v,v\rangle \geq 0}$
negativ definit,	falls ${\displaystyle \langle v,v\rangle <0}$
negativ semidefinit,	falls ${\displaystyle \langle v,v\rangle \leq 0}$

jeweils für alle ${\displaystyle v\in V}$, ${\displaystyle v\not =0}$, gilt. Man beachte, dass auch im komplexen Fall wegen der geforderten Hermitizität ${\displaystyle \langle v,v\rangle }$ stets reell ist.
Trifft keine dieser Bedingungen zu, heißt die Form indefinit. Genau in diesem Fall nimmt ${\displaystyle \langle v,v\rangle }$ sowohl positive als auch negative Werte an.

Die obigen Bedingungen bedeuten also, dass die zugehörige quadratische Form ${\displaystyle Q(v):=\langle v,v\rangle }$ positiv definit, positiv semidefinit, negativ definit, negativ semidefinit bzw. indefinit ist.

Gelegentlich werden diese Begriffe im reellen Fall auch für beliebige, nicht notwendig symmetrische Bilinearformen eingeführt. (Im komplexen Fall müsste man zusätzlich fordern, dass für alle ${\displaystyle v\in V}$ der Wert ${\displaystyle \langle v,v\rangle }$ reell ist. Daraus folgt jedoch schon, dass die Sesquilinearform hermitesch ist.)

Eine positiv definite symmetrische Bilinearform (bzw. hermitesche Sesquilinearform) heißt Skalarprodukt. Beispielsweise ist das Standardskalarprodukt auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (bzw. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) positiv definit.

Definitheit von Matrizen

Definitionen

Jede quadratische Matrix beschreibt eine Bilinearform auf ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ (bzw. eine Sesquilinearform auf ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$). Man nennt eine quadratische Matrix deshalb positiv definit, wenn diese Eigenschaft auf die durch die Matrix definierte Bilinearform bzw. Sesquilinearform zutrifft. Entsprechend definiert man auch die anderen Eigenschaften. Dies bedeutet: Eine beliebige (ggf. symmetrische bzw. hermitesche) ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrix ${\displaystyle A}$ ist

positiv definit,	falls ${\displaystyle x^{T}Ax>0}$
positiv semidefinit,	falls ${\displaystyle x^{T}Ax\geq 0}$
negativ definit,	falls ${\displaystyle x^{T}Ax<0}$
negativ semidefinit,	falls ${\displaystyle x^{T}Ax\leq 0}$

für alle ${\displaystyle n}$-zeiligen Spaltenvektoren ${\displaystyle x\in V}$ mit ${\displaystyle x\neq 0}$, wobei ${\displaystyle x^{T}}$ der Zeilenvektor ist, der aus dem Spaltenvektor ${\displaystyle x}$ durch Transponieren hervorgeht.

Im komplexen Fall muss der Vektor ${\displaystyle x}$ auf der linken Seite zum Zeilenvektor transponiert und zusätzlich komplex-konjugiert werden (hermitesch Adjungiertes, ${\displaystyle x^{*}\;={\overline {x}}^{T}}$ statt lediglich ${\displaystyle x^{T}\;}$). Damit die Ungleichungen einen Sinn ergeben, muss die linke Seite für jedes mögliche ${\displaystyle x}$ reell sein. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Matrix ${\displaystyle A}$ hermitesch ist.

Eine Matrix, die weder positiv noch negativ semidefinit ist, nennt man „indefinit“. Genau dann nimmt ${\displaystyle x^{T}Ax\;}$ (bzw. ${\displaystyle x^{*}Ax\;}$) sowohl positive als auch negative Werte an.

Eigenwerte

Eine quadratische symmetrische (bzw. hermitesche) Matrix i​st genau dann

positiv definit,	wenn alle Eigenwerte größer als null sind;
positiv semidefinit,	wenn alle Eigenwerte größer oder gleich null sind;
negativ definit,	wenn alle Eigenwerte kleiner als null sind;
negativ semidefinit,	wenn alle Eigenwerte kleiner oder gleich null sind und
indefinit,	wenn positive und negative Eigenwerte existieren.

Damit k​ann jedes Verfahren z​ur Bestimmung o​der Abschätzung v​on Eigenwerten benutzt werden, u​m die Definitheit d​er Matrix z​u bestimmen. Eine Möglichkeit s​ind die Gerschgorin-Kreise, d​ie es erlauben, d​as Spektrum zumindest abzuschätzen. Dies reicht häufig s​chon aus, u​m die Definitheit z​u bestimmen. Die Gerschgorin-Kreise g​eben anhand d​er Einträge d​er Matrix Mengen i​n der komplexen Ebene an, i​n denen d​ie Eigenwerte enthalten sind, i​m Falle v​on symmetrischen Matrizen Intervalle a​uf der reellen Achse. Damit i​st es manchmal einfach möglich, d​ie Definitheit e​iner Matrix z​u bestimmen. Einzelheiten hierzu, insbesondere über d​ie Signatur v​on symmetrischen Bilinearformen u​nd Matrizen, s​iehe Trägheitssatz v​on Sylvester.

Hauptminoren

Eine symmetrische bzw. hermitesche Matrix ${\displaystyle A}$ ist genau dann positiv definit, wenn alle führenden Hauptminoren von ${\displaystyle A}$ positiv sind. Aus der Tatsache, dass ${\displaystyle A}$ genau dann negativ definit ist, wenn ${\displaystyle -A}$ positiv definit ist, ergibt sich: ${\displaystyle A}$ ist genau dann negativ definit, wenn die Vorzeichen der führenden Hauptminoren alternieren, das heißt, falls alle ungeraden führenden Hauptminoren negativ und alle geraden positiv sind.

Bemerkungen

• Für Semidefinitheit gibt es kein Kriterium, das nur die führenden Hauptminoren berücksichtigen würde,[1] was schon an der Diagonalmatrix mit Einträgen 0 und −1 zu sehen ist. Sollen die entsprechenden Aussagen vielmehr auch für den Fall der Semidefinitheit gelten, müssen im Fall positiver Semidefinitheit nun alle, nicht nur die führenden Hauptminoren nichtnegativ, im Fall negativer Semidefinitheit alle ungeraden Hauptminoren nichtpositiv sowie alle geraden Hauptminoren nichtnegativ sein.
• Für nicht-hermitesche Matrizen gilt das Kriterium nicht. Ein Beispiel dafür ist die indefinite Matrix ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&-1\\2&-1\end{smallmatrix}}\right)}$, deren führende Hauptminoren gleichwohl beide positiv sind.
• Das Kriterium wird auch oft Sylvester-Kriterium genannt. Vereinzelt wird auch die Bezeichnung „Hurwitz-Kriterium“ verwendet, obwohl sich dieses ursprünglich nur auf Hurwitz-Matrizen bezog.

Gaußsches Eliminationsverfahren

Eine reelle symmetrische quadratische Matrix ${\displaystyle A=(a_{i,k})_{i,k=1}^{n}}$ ist genau dann positiv definit, wenn das Gaußsche Eliminationsverfahren bei Diagonalstrategie, das heißt ohne Zeilenvertauschungen, mit n positiven Pivotelementen durchgeführt werden kann. Diese Bedingung eignet sich vor allem für Fälle, in denen sowieso das Gauß-Verfahren angewandt werden muss.

Cholesky-Zerlegung

Eine symmetrische Matrix ${\displaystyle A}$ ist genau dann positiv definit, wenn es eine Cholesky-Zerlegung ${\displaystyle A=GG^{T}}$ gibt, wobei ${\displaystyle G}$ eine reguläre untere Dreiecksmatrix ist.

Diagonaldominante Matrizen

Ist eine Matrix ${\displaystyle A}$ symmetrisch und streng diagonaldominant und sind alle Diagonalelemente von ${\displaystyle A}$ positiv, so ist ${\displaystyle A}$ positiv definit.[2]

Die Umkehrung g​ilt nicht. Die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\2&100\\\end{pmatrix}}}$

ist z​war positiv definit, a​ber nicht streng diagonaldominant.

Symmetrischer Anteil bei allgemeinen Matrizen

Eine reelle quadratische Matrix ${\displaystyle A}$, die nicht notwendig symmetrisch ist, ist genau dann positiv definit, wenn ihr symmetrischer Teil

${\displaystyle A_{S}={\frac {1}{2}}\left(A+A^{T}\right)}$

positiv definit ist. Entsprechendes g​ilt für „negativ definit“ u​nd „positiv“ bzw. „negativ semidefinit“.

Bei komplexen Matrizen A ist die Situation völlig anders. Man kann für jede komplexe Matrix A den hermiteschen Anteil ${\displaystyle A_{H}={\tfrac {1}{2}}\left(A+A^{*}\right)}$ und den schiefhermiteschen Anteil ${\displaystyle A_{SH}={\tfrac {1}{2}}\left(A-A^{*}\right)}$ betrachten.

Die Matrix ${\displaystyle A_{K}={\tfrac {1}{i}}{A_{SH}}}$ ist dann hermitesch, es gilt ${\displaystyle A=A_{H}+iA_{K}}$ und ${\displaystyle A^{*}=A_{H}-iA_{K}}$. ${\displaystyle A}$ ist genau dann positiv definit, wenn der schiefhermitesche Anteil ${\displaystyle A_{SH}}$ gleich 0 und der hermitesche Anteil ${\displaystyle A_{H}}$, der demzufolge mit ${\displaystyle A}$ übereinstimmt, positiv definit ist.

Hinreichendes Kriterium für positive Semidefinitheit

Für eine beliebige reelle Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ sind sowohl die Matrix ${\displaystyle A^{T}A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, als auch die Matrix ${\displaystyle AA^{T}\in \mathbb {R} ^{m\times m}}$ stets symmetrisch und positiv semidefinit, denn aufgrund der Verschiebungseigenschaft des Standardskalarprodukts gilt für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \langle x,A^{T}Ax\rangle =\langle Ax,Ax\rangle \geq 0}$

und für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle \langle x,AA^{T}x\rangle =\langle A^{T}x,A^{T}x\rangle \geq 0}$.

Bedeutung

• Ist die Matrix ${\displaystyle A}$ symmetrisch (hermitesch) und positiv definit, dann wird durch ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{T}Ay}$ (beziehungsweise ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{*}Ay}$) ein Skalarprodukt definiert.
• Die Einschränkung einer positiv definiten Bilinear- bzw. Sesquilinearform auf einen Untervektorraum ist wieder positiv definit, insbesondere also nicht ausgeartet. Diese Tatsache ermöglicht die Zerlegung eines Raumes in einen Untervektorraum und dessen orthogonales Komplement.
• Die Definitheit der Hesse-Matrix spielt bei der Untersuchung von kritischen Stellen einer Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$, also der Extremwertberechnung, eine entscheidende Rolle.
• Die symmetrischen positiv semidefiniten Matrizen bilden im Matrizenraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$ einen Kegel, den sogenannten positiv semidefiniten Kegel. Dasselbe gilt auch für symmetrische negativ semidefinite Matrizen.
• Eine schwach positiv definite Matrix kann man immer als Multiplikation zweier positiv definiter Matrizen schreiben. Insbesondere ist dann auch jede positiv definite Matrix eine schwach positiv definite Matrix.[3]

Siehe auch

• Positiv semidefinite Funktion

Einzelnachweise

1. On Sylvester’s Criterion for Positive-Semidefinite Matrices. (PDF) IEEE, Transaction on automatic control, Juni 1973 (englisch)
2. Spezielle Matrixeigenschaften, Richard Reiner, 9126720, Gruppe: Next Generation, deutsch
3. Eugene Paul Wigner: On Weakly Positive Matrices. In: The Collected Works of Eugene Paul Wigner. S. 559–563, doi:10.1007/978-3-662-02781-3_40.