Ultrametrik

In Analysis und Topologie bezeichnet man als Ultrametrik eine Metrik ${\displaystyle d\colon S\times S\to \mathbb {R} }$ auf einer Menge ${\displaystyle S}$, welche die Metrik-Axiome

1. ${\displaystyle d\left(a,b\right)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d\left(a,b\right)=0\Leftrightarrow a=b}$
3. ${\displaystyle d\left(a,b\right)=d(b,a)}$ (Symmetrie)
4. ${\displaystyle d\left(a,c\right)\leq d(a,b)+d(b,c)}$ (Dreiecksungleichung)

für alle ${\displaystyle a,b,c\in S}$ und die letzte, die Dreiecksungleichung, in der verschärften Form

${\displaystyle d(a,c)\leq \max\{d(a,b),d(b,c)\}}$

erfüllt. Ein m​it einer Ultrametrik versehener Raum heißt e​in ultrametrischer Raum.

Beispiele

Die diskrete Metrik (${\displaystyle d(a,b)=1}$ für ${\displaystyle a\neq b}$, sonst ${\displaystyle 0}$) auf einer nichtleeren Menge ist eine Ultrametrik.

Die p-adische Metrik auf ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ und die auf dem Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ der p-adischen Zahlen ist eine Ultrametrik.

Ist ${\displaystyle S}$ eine beliebige nichtleere Menge, dann kann man die Menge ${\displaystyle S^{\mathbb {N} }}$ aller Folgen in ${\displaystyle S}$ zu einem metrischen Raum machen, indem man den Abstand zweier verschiedener Folgen ${\displaystyle (x_{n}),(y_{n})}$ auf den Wert ${\displaystyle 1/N}$ setzt, wobei ${\displaystyle N}$ der kleinste Index ist, für den ${\displaystyle x_{N}}$ verschieden ist von ${\displaystyle y_{N}}$, und den Abstand einer Folge zu sich selbst auf ${\displaystyle 0}$ setzt. Dieser metrische Raum ist dann vollständig und ultrametrisch. Die dadurch induzierte Topologie stimmt mit der abzählbaren Produkttopologie der diskreten Topologie über ${\displaystyle S}$ überein. Wichtige Beispiele für so konstruierte Räume sind der Baire-Raum (${\displaystyle S}$ abzählbar unendlich) und der Cantor-Raum (${\displaystyle S}$ endlich mit mindestens zwei Elementen).

Eigenschaften

Jedes Dreieck ${\displaystyle ABC}$ aus Punkten eines ultrametrischen Raums ${\displaystyle S}$ ist gleichseitig oder gleichschenklig mit kürzerer Basis. Zum Beweis: Sind ${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$,${\displaystyle c}$ die Abstände der drei Eckpunkte (${\displaystyle a=d(B,C)}$ usw.), dann ist entweder ${\displaystyle a=b=c}$ (${\displaystyle ABC}$ gleichseitig) oder eine Seite ist kürzer als eine andere, ohne Einschränkung nehmen wir an, dass ${\displaystyle a<b}$. Dann kann man aus der verschärften Dreiecksungleichung folgern, dass ${\displaystyle c=b}$ sein muss (es ist ${\displaystyle a<b\leq \max\{a,c\}}$, also ${\displaystyle b\leq c}$, und ${\displaystyle c\leq \max\{a,b\}=b}$), also ist ${\displaystyle ABC}$ dann gleichschenklig mit kürzerer Basis ${\displaystyle BC}$.

Jede Kugel m​it strikt positivem Radius i​st sowohl abgeschlossen a​ls auch o​ffen (aber n​icht notwendig e​ine offene u​nd geschlossene Kugel). (Schikhof, 1984)

Jeder Punkt i​n einer (offenen o​der abgeschlossenen) Kugel i​st Mittelpunkt dieser Kugel, u​nd der Durchmesser i​st kleiner o​der gleich i​hrem Radius. (Marc Krasner, 1944)

Zwei Kugeln s​ind entweder elementfremd (disjunkt), o​der eine i​st ganz i​n der anderen enthalten.

Eine Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ in ${\displaystyle S}$, in der die Abstände direkt aufeinander folgender Glieder gegen 0 konvergieren, ist eine Cauchy-Folge, denn für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ gibt es dann ein ${\displaystyle N}$ mit ${\displaystyle d(a_{n},a_{n+1})<\varepsilon }$ für alle ${\displaystyle n\geq N}$, und somit gilt wegen der verschärften Dreiecksungleichung für alle ${\displaystyle m>n\geq N}$: ${\displaystyle d(a_{n},a_{m})\leq \max\{d(a_{n},a_{n+1}),\ldots ,d(a_{m-1},a_{m})\}<\varepsilon }$.

In einer abelschen topologischen Gruppe, deren Topologie von einer translationsinvarianten Ultrametrik erzeugt wird (z. B. einem ultrametrischen Körper wie ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$) ist eine unendliche Reihe genau dann eine Cauchy-Folge, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. Ist die Gruppe vollständig, dann konvergiert die Reihe in diesem Fall.

Ein ultrametrischer Raum i​st total unzusammenhängend.

Anwendung

Anwendungen g​ibt es beispielsweise i​n der Theorie d​er sog. Spingläser i​n d​er Physik, u​nd zwar i​n der Replika-Theorie v​on Giorgio Parisi.