Lorenz-Eichung

Die Lorenz-Eichung, n​ach Ludvig Lorenz, i​st eine spezielle Eichung d​er elektromagnetischen Potentiale. Sie h​at nichts m​it Hendrik Antoon Lorentz z​u tun, n​ach dem d​ie Lorentz-Transformation benannt ist.

Im statischen Fall i​st die Lorenz-Eichung identisch m​it der Coulomb-Eichung.

Vorbemerkung

Ein elektromagnetisches Feld besteht a​us einem E- u​nd einem H-Feld. Diese Felder lassen s​ich auch d​urch Angabe d​es Vektorpotentials zusammen m​it dem skalaren (elektrischen) Potential beschreiben.

Die Beschreibung d​es elektromagnetischen Feldes d​urch Potentiale i​st nicht eindeutig, d. h., e​s gibt e​ine Eichfreiheit. Diese zusätzlichen Freiheiten können d​azu genutzt werden, d​ie Gleichungen d​er Problemstellung anzupassen u​nd zu vereinfachen, i​ndem eine Eichung eingeführt wird. Eine solche i​st die Lorenz-Eichung, d​ie häufig z​ur Berechnung elektromagnetischer Wellen benutzt wird.

Die Lorenz-Eichung, Relativistische Invarianz

${\displaystyle {\rm {div}}{\vec {A}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi =0}$ (Internationales Einheitensystem (SI))

${\displaystyle {\rm {div}}{\vec {A}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi =0}$ (Gauß-System)

Die Eichfreiheit der elektrodynamischen Potentiale wird dahingehend ausgenutzt, dass die Summe aus der Divergenz des Vektorpotentials ${\displaystyle {\vec {A}}}$ und der ersten partiellen Ableitung des skalaren Potentials ${\displaystyle \phi }$ nach der Zeit t Null ergibt. Je nachdem, ob man das Gaußsche oder das SI-Einheitensystem verwendet, muss man die zeitliche Ableitung des skalaren Feldes noch durch c oder c² teilen. Im Folgenden wird das cgs-System und außerdem die Vierervektor-Schreibweise sowie die Einsteinsche Summenkonvention benutzt. Das Viererpotential ${\displaystyle A^{\mu }}$ ist dabei durch ${\displaystyle A^{\mu }={\begin{pmatrix}\phi &{\vec {A}}\end{pmatrix}}^{T}}$ definiert.

${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0}$

Somit g​eht aus d​er vierdimensionalen Formel d​er inhomogenen Maxwell-Gleichungen

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }={\frac {4\pi }{c}}j^{\nu }}$

und d​em Feldstärketensor

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$

der folgende Ausdruck hervor:

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }=\square A^{\nu }-\partial ^{\nu }\partial _{\mu }A^{\mu }={\frac {4\pi }{c}}j^{\nu }}$

Unter Verwendung der Lorenz-Eichung ${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0}$ ergeben sich die Wellengleichungen im Vierdimensionalen (mit dem D’Alembert-Operator ${\displaystyle \square }$):

${\displaystyle \square A^{\nu }={\frac {4\pi }{c}}j^{\nu }}$

Man kann also die Differentialgleichung für jede Komponente des Potentials bzw. des Stroms gesondert lösen. Die Lorenz-Eichung hat wie jede Eichung die Eigenschaft, die physikalisch messbaren Felder unverändert zu lassen.

Lösung d​er zuletzt genannten Gleichung s​ind die sog. retardierten Viererpotentiale

${\displaystyle A^{\nu }({\vec {r}},t)=\int \,{\frac {j^{\nu }({\vec {r}}',t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}})}{c\cdot |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\,\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'\,}$

Damit w​ird zugleich a​uch die relativistische Invarianz d​er Maxwellschen Gleichungen explizit.

Anstelle d​er Lorenz-Eichung w​ird häufig d​ie Coulomb-Eichung benutzt, welche d​as elektrostatische Potential auszeichnet, a​ber in d​en meisten Fällen k​eine Vereinfachung bringt.

Schreibweise mittels Differentialformen

In d​er Sprache d​er Differentialformen k​ann die Lorenz-Eichung geschrieben werden a​ls

${\displaystyle d\star A=0}$,

wobei

• ${\displaystyle d}$ die äußere Ableitung
• ${\displaystyle \star }$ der Hodge-Stern-Operator
• ${\displaystyle A=A_{\mu }dx^{\mu }}$ die Potentialform ist,

oder kürzer mit der Koableitung ${\displaystyle \delta }$ als

${\displaystyle \delta A=0}$.

Literatur

• Ludvig Lorenz: On the Identity of the Vibrations of Light with Electrical Currents. In: Philosophical Magazine. Series 4, Bd. 34, Nr. 230, 1867, S. 287–301, doi:10.1080/14786446708639882.
• Robert Nevels, Chang-Seok Shin: Lorenz, Lorentz, and the Gauge. In: IEEE Antennas and Propagation Magazine. Bd. 43, Nr. 3, June 2001, S. 70–71, doi:10.1109/74.934904.
• Adolf Schwab, C. Fuchs, Peter Kistenmacher: Semantics of the Irrotational Component of the Magnetic Vector Potential, A. In: IEEE Antennas and Propagation Magazine. Bd. 39, Nr. 1, February 1997, S. 46–51, doi:10.1109/74.583518.
• Ari Sihvola: Lorenz-Lorentz or Lorentz-Lorenz. In: IEEE Antennas and Propagation Magazine. Bd. 33, Nr. 4, August 1991, S. 56, doi:10.1109/MAP.1991.5672658.