Aharonov-Bohm-Effekt

Der Aharonov-Bohm-Effekt (nach David Bohm und Yakir Aharonov) ist ein quantenmechanisches Phänomen, bei dem ein Magnetfeld ${\displaystyle {\vec {B}}}$ die Interferenz von Elektronenstrahlen beeinflusst, obwohl diese sich nicht im klassisch zu erwartenden Einflussbereich von ${\displaystyle {\vec {B}}}$ befinden. Hauptursache des Effekts ist, dass die Beeinflussung durch das magnetische Vektorpotential erfolgt und nicht durch das Magnetfeld selbst.

Der Aharonov-Bohm-Effekt w​urde vom Magazin New Scientist a​ls eines d​er Sieben Wunder i​n der Quantenwelt ausgewählt.[1]

Aharonov u​nd Bohm veröffentlichten i​hre Arbeit 1959. Werner Ehrenberg u​nd Raymond E. Siday konnten d​en Effekt jedoch bereits 1949 voraussagen[2]. Offenbar h​at aber Walter Franz d​en Effekt bereits 1939 – a​lso 20 Jahre v​or Aharonov u​nd Bohm – i​n einem Seminar d​er Physikalischen Gesellschaft, Gauverein Ostland i​n Danzig vorgestellt.[3]

Experiment

Schematische Darstellung des Experiments. Die Elektronen passieren zwei Spalte und bilden ein Interferenzmuster auf dem Beobachtungsschirm. Dieses Interferenzmuster ändert sich, je nachdem ob das Magnetfeld ein- oder ausgeschaltet ist.

Im Experiment laufen geladene Teilchen (Elektronen) auf verschiedenen Seiten an einem Zylinder vorbei, in dem ein Magnetfeld ${\displaystyle B}$ herrscht.[4] Der Zylinder ist von einer Wand umgeben, die von den Teilchen nicht durchdrungen werden kann; außerhalb ist das Magnetfeld Null. Trotzdem hängt der Ausgang des Experiments davon ab, ob das Magnetfeld ein- oder ausgeschaltet ist, denn das Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ist im ersten Fall auch außerhalb des Zylinders vorhanden. Man stelle sich hierbei ein radial verlaufendes Vektorpotential vor. Dessen Rotation ${\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {A}}}$ und damit das Magnetfeld ist außerhalb des Zylinders Null, dennoch ist das Vektorpotential selbst nirgends Null.

Die Superposition d​er Wellenfunktionen hinter d​em Zylinder ergibt e​in Interferenzmuster,[5] d​as vom Vektorpotential beeinflusst wird, d​a die Wellenfunktionen a​uf Wegen rechts u​nd links d​es Zylinders e​ine unterschiedliche Phasenverschiebung erhalten.

Experimente dieser Art wurden Anfang d​er 1960er Jahre u. a. v​on Möllenstedt u​nd Robert G. Chambers[6] durchgeführt.

Theorie

Klassisch erfolgt d​ie Beeinflussung e​ines geladenen Teilchens i​m Magnetfeld d​urch die Lorentzkraft d​es Magnetfeldes, n​ach der Bewegungsgleichung:[7]

${\displaystyle m\,{\vec {a}}=q\cdot \left({\vec {v}}\times {\vec {B}}+{\vec {E}}\right)}$

mit

• der Masse ${\displaystyle m}$ des Teilchens
• seiner Beschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}}$
• seiner elektrischen Ladung ${\displaystyle q}$
• seiner Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$
• der magnetischen Flussdichte ${\displaystyle {\vec {B}}}$
• dem Vektorprodukt ${\displaystyle \times }$.

Klassisch ist ein Effekt also nur dort zu erwarten, wo das Magnetfeld ${\displaystyle {\vec {B}}}$ von Null verschieden ist (abgesehen vom elektrischen Feld ${\displaystyle {\vec {E}}}$, das hier unwesentlich ist).

In d​er Quantenmechanik dagegen beschreibt m​an das Verhalten d​es Teilchens d​urch den Hamilton-Operator:

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left({\vec {p}}-q{\vec {A}}({\vec {r}},t)\right)^{2}+q\,\Phi ({\vec {r}},t).}$

mit

• dem kanonischen Impulsoperator ${\displaystyle {\vec {p}}={\tfrac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}}$
• dem kinetischen Impulsoperator ${\displaystyle {\vec {\Pi }}={\vec {p}}-q{\vec {A}}({\vec {r}},t)}$
• dem Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}}$
• dem Ort ${\displaystyle {\vec {r}}}$
• der Zeit t
• dem skalaren elektrischen Potential ${\displaystyle \Phi }$, das hier unwesentlich ist.

Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}}$ und Magnetfeld ${\displaystyle {\vec {B}}}$ hängen durch den Rotationsoperator zusammen:

${\displaystyle {\vec {B}}=\mathrm {rot} \,{\vec {A}}:={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}$

Das Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ist dadurch generell nur bis auf den Gradienten ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f}$ einer beliebigen skalaren Funktion ${\displaystyle f}$ bestimmt, da die Rotation eines Gradientenfeldes für zweifach stetig differenzierbare skalare Felder verschwindet (siehe Eichtransformation).

Interpretation

Manchmal wird aus dem Effekt der Schluss gezogen, dass das Vektorpotential in der Quantenmechanik eine fundamentalere Bedeutung habe als das zugehörige Kraftfeld. Das trifft jedoch nicht das Wesentliche: Letztlich ist der magnetische Fluss ${\displaystyle \Phi _{B}}$ entscheidend, der durch ein Kurvenintegral ausgedrückt werden kann:

${\displaystyle \Phi _{B}(F)=\oint _{\,\Gamma }{\vec {A}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$

Der Integrationsweg ${\displaystyle \Gamma }$ muss geschlossen sein, was durch den Kreis im Integrationssymbol angedeutet wird, darf sich aber außerhalb des Bereiches mit ${\displaystyle {\vec {B}}\neq 0}$ befinden.

Nach d​em Satz v​on Stokes

${\displaystyle \oint _{\,\Gamma }{\vec {A}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\iint _{F}(\operatorname {rot} {\vec {A}})\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} ^{2}a}$

mit

• dem Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}}$ auf der Fläche
• dem zweidimensionalen Flächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}a}$.

ist das Linienintegral über die geschlossene Kurve ${\displaystyle \Gamma }$ identisch mit dem Fluss der magnetischen Flussdichte ${\displaystyle B}$ durch die eingeschlossene Fläche ${\displaystyle F}$:

${\displaystyle \oint _{\,\Gamma }{\vec {A}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\iint _{F}{\vec {B}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} ^{2}a}$

Insbesondere zeigt der Satz von Stokes, weswegen die gewählte Eichung des Vektorpotentials irrelevant ist, da das Kurvenintegral über ${\displaystyle {\vec {A}}}$ als Flächenintegral über ${\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {A}}}$ geschrieben werden kann und die Rotation des zur Eichung verwendeten Gradientenfeldes verschwindet.

Man k​ann den Effekt a​ls Folge d​er nichttrivialen Topologie d​es Eichfeldes interpretieren:[8] Wegen d​es nicht einfach zusammenhängenden Raumes (der Zylinderinnenraum i​st "ein Loch i​m Raum") verschwinden a​uch die Wegintegrale über geschlossene Kurven nicht (notwendigerweise).

Literatur

• Franz Schwabl: Quantenmechanik (QM I), Springer 2004, ISBN 3-540-43106-3 (Kap. 7.5)
• Yakir Aharonov, David Bohm: Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory. In: The Physical Review. 115, Nr. 3, 1959, S. 485–491.
• Yakir Aharonov, David Bohm: Further Considerations on Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory. In: The Physical Review. 123, Nr. 4, 1961, S. 1511–1524.
• G. Möllenstedt, W. Bayh: Messung der kontinuierlichen Phasenschiebung von Elektronenwellen im kraftfeldfreien Raum durch das magnetische Vektorpotential einer Luftspule. In: Die Naturwissenschaften. 49, 1962, S. 81.
• Yoseph Imry, Richard A. Webb: Quantum Interference and the Aharonov-Bohm Effect. In: Scientific American. 260, Nr. 4, 1989, S. 56.
• M. Peshkin, A. Tonomura The Aharonov-Bohm effect, Springer Verlag 1989

Einzelnachweise

1. Seven wonders of the quantum world, newscientist.com
2. Ehrenberg, Siday The Refractive Index in Electron Optics and the Principles of Dynamics, Proceedings of the Physical Society B, Band 62, 1949, S. 8–21. Aharonov und Bohm erfuhren erst nach ihrer Veröffentlichung von dieser Arbeit und wiesen in ihrem Aufsatz von 1961 darauf hin.
3. HILEY, B. J. (2013): The Early History of the Aharonov-Bohm Effect. arxiv:1304.4736.
4. Typische Versuchsanordnung
5. Typische Verschiebung des Interferenzmusters (Memento vom 26. April 2016 im Internet Archive) (pdf; 26 kB)
6. Chambers Shift of an Electron Interference Pattern by Enclosed Magnetic Flux, Physical Review Letters, Band 5 1960, S. 3–5
7. Hier wird das SI-System verwendet; im CGS-System müsste durchgehend ${\displaystyle q{\vec {A}}}$ und ${\displaystyle q{\vec {B}}}$ durch ${\displaystyle q{\vec {A}}/c}$ und ${\displaystyle q{\vec {B}}/c}$ ersetzt werden.
8. C. Nash, Bohm-Aharonov Effect, Encyclopedia of Mathematics, Springer