Topologischer Ring

In d​er Mathematik i​st ein topologischer Ring e​in Ring, welcher bezüglich d​er Addition e​ine topologische Gruppe i​st und dessen Multiplikation i​n der gegebenen Topologie ebenfalls stetig ist. Ist R s​ogar ein Körper u​nd ist a​uch die multiplikative Inversenbildung stetig, d​ann spricht m​an von e​inem topologischen Körper. Entsprechend k​ann man e​inen topologischen Schiefkörper definieren. Im Gegensatz z​u den nichtkommutativen topologischen Ringen (wie d​en Endomorphismenringen s. u.) s​ind „echte“ topologische Schiefkörper v​on geringem Interesse. Wo i​n diesem Artikel n​icht ausdrücklich darauf hingewiesen wird, gelten d​ie über Körper gemachten Aussagen a​uch für Schiefkörper.

Lokale Charakterisierung der Stetigkeit

Die Stetigkeit der Multiplikation bzw. der Inversenbildung kann man in einem Ring ${\displaystyle R}$, der bezüglich seiner Addition eine topologische Gruppe ist, allein mit Nullumgebungen charakterisieren. Sei dazu ${\displaystyle B(0)}$ eine Umgebungsbasis von 0:
Die Linksmultiplikation mit einem festen Element ${\displaystyle c}$ ist auf ${\displaystyle R}$ genau dann stetig, wenn

für jede Umgebung ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle B(0)}$ eine Umgebung ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle B(0)}$ existiert, so dass ${\displaystyle c\cdot V\subseteq U}$ gilt.

Entsprechend lässt sich die Stetigkeit der Rechtsmultiplikation mit ${\displaystyle c}$ charakterisieren. Im Fall eines kommutativen Ringes sind die beiden Bedingungen gleichwertig. Ist die Links- und Rechtsmultiplikation mit jedem Element ${\displaystyle c}$ stetig und gilt dann noch

für alle ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle B(0)}$ existiert ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle B(0)}$, so dass ${\displaystyle V\cdot V\subseteq U}$ gilt,

dann ist die Multiplikation stetig und ${\displaystyle R}$ ein topologischer Ring.
Die Inversenbildung ist genau dann stetig im invertierbaren Element ${\displaystyle x\in R^{\times }}$, wenn zu jedem ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle B(0)}$ ein ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle B(0)}$ existiert, so dass die Inversen von ${\displaystyle x+V}$ alle in ${\displaystyle x^{-1}+U}$ liegen. Ist ${\displaystyle R}$ also ein Körper und trifft dies für alle seine Elemente ${\displaystyle x\neq 0}$ zu, dann ist ${\displaystyle R}$ ein topologischer Körper.

Eigenschaften. Vervollständigung

• Der Abschluss eines Unterringes (bzw. Linksideals, Rechtsideals, zweiseitigen Ideals) ist wieder ein Unterring (Linksideal, Rechtsideal, zweiseitiges Ideal).
• Insbesondere ist der Abschluss ${\displaystyle N}$ des Nullideals ein zweiseitiges Ideal. Der Faktorring ${\displaystyle R/N}$ mit der Quotiententopologie ist hausdorffsch.
• Zu jedem topologischen Ring ${\displaystyle R}$ gibt es einen im Wesentlichen eindeutig bestimmten vollständigen hausdorffschen topologischen Ring ${\displaystyle {\hat {R}}}$ zusammen mit einem stetigen Ringhomomorphismus ${\displaystyle R\to {\hat {R}}}$ mit Kern ${\displaystyle N}$ und dichtem Bild. ${\displaystyle {\hat {R}}}$ wird als Vervollständigung von ${\displaystyle R}$ bezeichnet. Im Allgemeinen muss die Vervollständigung eines topologischen Körpers aber kein topologischer Körper mehr sein, sondern kann sogar Nullteiler besitzen.

Beispiele

Topologische Körper

• Die Körper der rationalen, reellen und komplexen Zahlen sind topologische Körper bezüglich der üblichen Topologie (des durch die Betragsfunktion definierten metrischen Raumes).
• Etwas allgemeiner sind alle bewerteten Körper topologische Körper. Hierzu gehören wieder die rationalen Zahlen mit einer ${\displaystyle p}$-adischen Bewertung (${\displaystyle p}$ Primzahl). Bezüglich jeder ${\displaystyle p}$-adischen Bewertung kann ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ zu einem vollständigen metrischen Raum, wieder einem topologischen Körper, dem Körper der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen komplettiert werden.
• Ein Beispiel für einen „echten“ topologischen Schiefkörper ist der Quaternionenschiefkörper ${\displaystyle \mathbb {H} }$.

Endomorphismenringe

• Wichtige Beispiele für topologische Ringe liefern die Algebren ${\displaystyle A}$ von stetigen linearen Selbstabbildungen ${\displaystyle F}$ eines normierten Vektorraumes ${\displaystyle V}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ mit ${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq K\subseteq \mathbb {C} }$. Als Norm legt man hier die Abbildungsnorm zugrunde:

${\displaystyle ||F||_{A}:=\sup _{x\in V,\,||x||_{V}=1}\;||Fx||_{V}}$

• Hierzu gehören als einfachste Beispiele die vollen Matrizenringe ${\displaystyle R={\mathcal {M}}_{n\times n}(K)}$ der quadratischen Matrizen mit Einträgen aus ${\displaystyle K}$. Die Norm kann hier anstelle der Abbildungsnorm jede beliebige Norm auf ${\displaystyle R}$ sein, da alle dieselbe Topologie induzieren.

Beachte: Die vollen Endomorphismenringe sind, v​on Trivialfällen abgesehen, n​icht kommutativ u​nd auch k​eine Schiefkörper. Häufig s​ind Unterringe v​on Interesse, d​ie gelegentlich e​ine dieser Eigenschaften haben:

• Der Ring ${\displaystyle D}$ der Diagonalmatrizen ist ein (für ${\displaystyle n>1}$ echter) kommutativer Unterring von ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n\times n}(K)}$ und damit ein topologischer Ring.
• Allgemein lassen sich alle endlichdimensionalen Algebren über einem bewerteten Körper als Matrixringe darstellen und so mit einer Topologie versehen, die mit ihren Verknüpfungen verträglich ist.

Funktionenräume

Siehe auch: Funktionenraum

vollständige topologische Ringe in der Funktionalanalysis:

• Jede Banachalgebra. Ein besonders wichtiges Beispiel ist ${\displaystyle C(T)}$, die Menge der stetigen Funktionen auf einem kompakten topologischen Raum ${\displaystyle T}$.

topologische Ringe in der Funktionentheorie:

• Die Menge der holomorphen Funktionen auf einem Gebiet ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ ist ein topologischer Ring (sogar ein Integritätsring), die Topologie ist die Topologie der kompakten Konvergenz.
  Auf speziellen Gebieten in der komplexen Zahlenebene sind eindeutige Darstellungen der dort holomorphen Funktionen möglich:
• Ist ${\displaystyle G}$ das Innere einer Kreisscheibe, dann besitzt jede auf ${\displaystyle G}$ holomorphe Funktion eine eindeutige Darstellung als kompakt konvergente Potenzreihe. Umgekehrt sind die auf ${\displaystyle G}$ kompakt konvergenten Potenzreihen holomorph auf ${\displaystyle G}$.
• Ist ${\displaystyle G}$ eine (rechte) Halbebene der komplexen Zahlenebene (d. h. ${\displaystyle G}$ besteht aus allen Zahlen ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle Re(z)>\sigma }$ für eine feste reelle Zahl ${\displaystyle \sigma }$), dann existiert eine eindeutige Darstellung durch eine auf ${\displaystyle G}$ kompakt konvergente Dirichletreihe. Auch hier trifft analog zu den Potenzreihen die Umkehrung zu.

Literatur

• Vladimir I. Arnautov, S. T. Glavatsky, Aleksandr V. Michalev: Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules (= Pure and Applied Mathematics. Bd. 197) Marcel Dekker Inc, New York NY u. a. 1996, ISBN 0-8247-9323-4.
• Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématique. Topologie générale. Hermann, Paris 1971, Abschnitt III § 6.
• Seth Warner: Topological Rings (= North-Holland Mathematics Studies. Bd. 178). North-Holland, Amsterdam u. a. 1993, ISBN 0-444-89446-2.

Zu d​en Anwendungen i​n der Funktionalanalysis u​nd Funktionentheorie k​ann jedes einführende Lehrbuch z​u diesen Gebieten herangezogen werden. Siehe e​twa diese Literaturangaben z​ur Funktionalanalysis u​nd diese z​ur Funktionentheorie.