Hausdorff-Raum

Ein Hausdorff-Raum (auch hausdorffscher Raum; nach Felix Hausdorff) oder separierter Raum ist ein topologischer Raum ${\displaystyle M}$, in dem das Trennungsaxiom ${\displaystyle T_{2}}$ (auch Hausdorffeigenschaft oder hausdorffsches Trennungsaxiom genannt) gilt.

Zwei Punkte, die durch Umgebungen getrennt werden.

Definition

Ein topologischer Raum ${\displaystyle M}$ hat die Hausdorffeigenschaft, wenn für alle ${\displaystyle x,y\in M}$ mit ${\displaystyle x\neq y}$ disjunkte offene Umgebungen ${\displaystyle U_{x}}$ und ${\displaystyle V_{y}}$ existieren.

Mit anderen Worten: Alle paarweise verschiedenen Punkte ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ aus ${\displaystyle M}$ werden durch Umgebungen getrennt. Ein topologischer Raum, der die Hausdorffeigenschaft erfüllt, wird Hausdorff-Raum genannt.

Eigenschaften

Ein Hausdorff-Raum ${\displaystyle M}$ lässt sich durch jede der folgenden zur Hausdorffeigenschaft äquivalenten Eigenschaften charakterisieren:

• Jeder Filter auf ${\displaystyle M}$ konvergiert gegen höchstens einen Punkt ${\displaystyle x\in M}$.
• Jede Einpunktmenge ${\displaystyle \{x\}}$ ist der Durchschnitt ihrer abgeschlossenen Umgebungen.
• Die Diagonale ${\displaystyle \Delta$ :=\{(x,x)\;|\;x\in M\}} ist abgeschlossen bezüglich der Produkttopologie.

Insbesondere sind in Hausdorff-Räumen Grenzwerte von Folgen – anders als in allgemeinen topologischen Räumen – eindeutig. Dabei konvergiere eine Folge ${\displaystyle x_{n}}$ in einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ gegen einen Punkt ${\displaystyle x}$, wenn zu jeder Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ ein ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ existiert, sodass ${\displaystyle x_{n}\in U}$ für alle ${\displaystyle n\geq N}$ gilt.

Unterräume von Hausdorff-Räumen bilden wiederum Hausdorff-Räume. Ebenso überträgt sich die Hausdorffeigenschaft auf beliebige Produkte von Hausdorff-Räumen.

Einordnung in die Hierarchie topologischer Räume

Vergleich mit schwächeren Trennungseigenschaften

Nach Definition besitzt j​eder Hausdorff-Raum d​ie T₁-Trennungseigenschaft u​nd ist d​amit auch e​in T₀-Raum.

Ein topologischer Raum i​st genau d​ann ein Hausdorff-Raum, w​enn er präregulär (R₁) ist:

alle paarweise topologisch unterscheidbaren Punkte ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ aus ${\displaystyle M}$ werden durch Umgebungen getrennt,

und d​ie Kolmogoroff-Eigenschaft (T₀) besitzt:

alle paarweise verschiedenen Punkte ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ aus ${\displaystyle M}$ sind topologisch unterscheidbar.

Topologisch unterscheidbar heißen zwei Punkte ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ genau dann, wenn es eine offene Menge gibt, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht. "Durch Umgebungen getrennt" werden die Punkte ${\displaystyle x,y}$ per definitionem dann, wenn es offene Umgebungen ${\displaystyle x\in U_{x},y\in V_{y}}$ mit ${\displaystyle U_{x}\cap V_{y}=\emptyset }$ gibt.

Beweis:

• Wenn R₁ und T₀ gegeben sind, folgt unmittelbar T₂: diesen Schluss kann man rein formal ziehen, ohne zu wissen, was topologisch unterscheidbar überhaupt heißt.
• Der umgekehrte Schluss von T₂ auf R₁ und T₀ geht so:
  • Aus der Definition von T₂ folgt für verschiedene ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ die Existenz der Menge ${\displaystyle U_{x}}$, die ${\displaystyle x}$, aber nicht ${\displaystyle y}$ enthält, ergo gilt T₀.
  • Seien ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ zwei topologisch unterscheidbare Punkte: dann gibt es eine Menge, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht; somit ist ${\displaystyle x\neq y}$. Dann folgt mit T₂, dass ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ durch Umgebungen getrennt sind. Ergo gilt R₁.

Eine weitere Abschwächung, die zwischen ${\displaystyle T_{1}}$ und Hausdorff-Raum liegt, ist der schwache Hausdorff-Raum.

Verschärfungen der Hausdorffeigenschaft

• Kann man in obiger Definition die offenen Mengen sogar so wählen, dass deren Abschlüsse auch noch disjunkt sind, so spricht man von einem Urysohn-Raum.
• Gibt es zu je zwei verschiedenen Punkten eine stetige Funktion des Raums in die reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$, die auf diesen Punkten verschiedene Werte annimmt, so nennt man den Raum einen vollständigen Hausdorff-Raum.
• Weitergehende Verschärfungen dieses Begriffs finden sich im Artikel "Trennungsaxiom".

Beispiele

So gut wie alle in der Analysis betrachteten Räume sind Hausdorff-Räume. Insbesondere ist jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum.

Im Gegensatz z​ur Filterkonvergenz i​st die Eindeutigkeit v​on Folgengrenzwerten n​ur eine notwendige Bedingung für d​ie Hausdorffeigenschaft. Stattet m​an z. B. e​ine überabzählbare Menge w​ie die reellen Zahlen m​it der koabzählbaren Topologie aus, s​o erhält m​an einen n​icht Hausdorffschen Raum, i​n dem konvergente Folgen g​enau einen Grenzwert besitzen.

Ein Beispiel für e​inen Hausdorff-Raum, d​er kein metrischer Raum ist, i​st die Menge d​er abzählbaren Ordinalzahlen m​it der gewöhnlichen Ordnungstopologie.

Wird d​as Spektrum e​ines Ringes m​it der Zariski-Topologie versehen, erhält m​an einen nüchternen topologischen Raum, d​er meist n​icht präregulär, geschweige d​enn hausdorffsch ist.

Viele Beispiele nicht-Hausdorffscher Räume erhält m​an als Quotientenräume v​on Mannigfaltigkeiten bzgl. mancher Gruppenwirkungen o​der allgemeinerer Äquivalenzrelationen. Zum Beispiel i​st der Blattraum d​er Reeb-Blätterung (also d​er Quotientenraum bzgl. d​er Äquivalenzrelation: z​wei Punkte s​ind genau d​ann äquivalent, w​enn sie z​um selben Blatt gehören) n​icht hausdorffsch.

Lokaleuklidische Räume müssen nicht Hausdorffsch sein. Der aus zwei Kopien von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ durch Identifizierung eines offenen Intervalls entstehende Raum ist lokal homöomorph zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$, aber nicht hausdorffsch.

Anmerkung

• Der Begriff des separierten Raums (= Hausdorffraums) steht in keiner Beziehung zum Begriff des separablen Raumes.[1]

Literatur

• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0.
• Horst Schubert: Topologie (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. (= Springer-Lehrbuch). 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts u. a. 1970, S. 224 ff. (MR0264581).
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.

Einzelnachweise

1. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 58.