Relativ hyperbolische Gruppe

In d​er Mathematik s​ind relativ hyperbolische Gruppen e​in Konzept d​er geometrischen Gruppentheorie, welches d​en Begriff d​er hyperbolischen Gruppe verallgemeinert u​nd insbesondere d​ie Fundamentalgruppen hyperbolischer Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens umfasst, während n​ur die Fundamentalgruppen kompakter hyperbolischer Mannigfaltigkeiten hyperbolische Gruppen sind.

Die relative Hyperbolizität e​iner Gruppe i​st relativ z​u einer Familie v​on Untergruppen definiert. Man spricht a​uch von relativ hyperbolischen Gruppen a​ls Gruppen, d​ie relativ z​u einer echten Untergruppe hyperbolisch sind.

Definition

Sei ${\displaystyle G}$ eine endlich erzeugte Gruppe und ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ eine endliche Menge von Konjugationsklassen von Untergruppen von ${\displaystyle G}$.

${\displaystyle (G,{\mathcal {P}})}$ ist relativ hyperbolisch, wenn es eine eigentlich diskontinuierliche Gruppenwirkung von ${\displaystyle G}$ durch Isometrien auf einem eigentlichen hyperbolischen Raum ${\displaystyle X}$ gibt, so dass

• jeder Punkt des Randes im Unendlichen ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ entweder ein konischer Grenzpunkt oder ein beschränkter parabolischer Fixpunkt ist, und
• die Untergruppen in den Konjugationsklassen aus ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ genau die maximalen parabolischen Untergruppen von ${\displaystyle G}$ sind.

Während der Raum ${\displaystyle X}$ auch bis auf Quasi-Isometrie nicht eindeutig bestimmt ist, ist der Rand im Unendlichen ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ eindeutig bestimmt und wird als Rand im Unendlichen ${\displaystyle \partial G}$ der relativ hyperbolischen Gruppe bezeichnet.

Für eine Untergruppe ${\displaystyle P\subset G}$ sagt man auch, dass das Paar ${\displaystyle (G,P)}$ relativ hyperbolisch oder ${\displaystyle G}$ hyperbolisch relativ zu ${\displaystyle P}$ ist, wenn für die Menge ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ der zu ${\displaystyle P}$ konjugierten Untergruppen ${\displaystyle (G,{\mathcal {P}})}$ relativ hyperbolisch ist. Analog sagt man für eine endliche Menge von Untergruppen ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}\subset G}$, dass ${\displaystyle G}$ hyperbolisch relativ zu ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$ ist, wenn ür die Menge ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ der zu einer von ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$ konjugierten Untergruppen ${\displaystyle (G,{\mathcal {P}})}$ relativ hyperbolisch ist.

Äquivalente Definitionen

Bowditchs Definition

Eine Gruppe ${\displaystyle G}$ wirke auf einem feinen, hyperbolischen Graphen ${\displaystyle K}$ mit endlichen Kanten-Stabilisatoren und endlich vielen Orbiten von Kanten. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ sei die Menge der Stabilisatoren von Knoten unendlicher Valenz. Dann ist das Paar ${\displaystyle (G,{\mathcal {P}})}$ relativ hyperbolisch.

Farbs Definition

Zu einer endlich erzeugten Gruppe ${\displaystyle G}$ und einer endlichen Menge ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ von Konjugationsklassen von Untergruppen von ${\displaystyle G}$ sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}(G,{\mathcal {P}},A)}$ der Graph, dessen Knoten die Knoten des Cayleygraphen ${\displaystyle {\mathcal {C}}(G,A)}$ sowie ${\displaystyle v_{j}P}$ für jedes ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ und dessen Kanten die von ${\displaystyle {\mathcal {C}}(G,A)}$ (mit Länge 1) sowie die zwischen (mit Länge 1/2) sind. ${\displaystyle (G,{\mathcal {P}})}$ ist relativ hyperbolisch, wenn dieser Graph hyperbolisch ist und wenn beschränkte Nebenklassen-Penetration (bounded coset penetration, BCP) gilt, d. h. ${\displaystyle \forall \lambda >1\exists a>0}$, so dass wenn ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ zwei ${\displaystyle (\lambda ,0)}$-Quasigeodäten ohne Backtracking mit ${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)}$ und ${\displaystyle d(\gamma _{1}(1),\gamma _{2}(1))\leq 1}$ sind, dann gilt:

• wenn ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ein ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ penetriert, ${\displaystyle \gamma _{2}}$ aber nicht, dann ist der Abstand zwischen den Eingangs- und Ausgangsknoten von ${\displaystyle \gamma _{1}}$ höchstens ${\displaystyle a}$,
• wenn ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ beide ein ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ penetrieren, dann ist der Abstand der Eingangsknoten von ${\displaystyle \gamma _{1}}$ und ${\displaystyle \gamma _{2}}$ höchstens ${\displaystyle a}$ und der Abstand der Ausgangsknoten von ${\displaystyle \gamma _{1}}$ und ${\displaystyle \gamma _{2}}$ höchstens ${\displaystyle a}$.

Der Rand im Unendlichen ist dann die Vereinigung ${\displaystyle \partial {\mathcal {C}}(G,{\mathcal {P}},A)\cup V_{P}}$.

Spezialfälle

• Sei ${\displaystyle S}$ eine hyperbolische Fläche mit zusammenhängendem, total geodätischem Rand. Dann ist die Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}S}$ eine freie Gruppe ${\displaystyle F}$. Das Paar ${\displaystyle (F,\emptyset )}$ ist relativ hyperbolisch und sein Rand im Unendlichen ist eine Cantormenge. Wenn ${\displaystyle c}$ die Homotopieklasse der Randkurve und ${\displaystyle \langle c\rangle }$ die von ihr erzeugte zyklische Untergruppe von ${\displaystyle F}$ ist, dann ist für ihre Konjugationsklasse ${\displaystyle \left[\langle c\rangle \right]}$ das Paar ${\displaystyle (F,\left[\langle c\rangle \right])}$ ebenfalls eine relativ hyperbolische Gruppe, deren Rand im Unendlichen ein Kreis (der Rand im Unendlichen der hyperbolischen Ebene) ist.
• Sei ${\displaystyle G}$ eine CAT(0)-Gruppe mit isolierten Flachs und bestehe ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ aus den (Konjugationsklassen der) Stabilisatoren der Flachs. Dann ist das Paar ${\displaystyle (G,{\mathcal {P}})}$ relativ hyperbolisch und sein Rand im Unendlichen entsteht aus dem von ${\displaystyle G}$ durch Kollabieren der Ränder im Unendlichen der Flachs zu jeweils einem Punkt.[1] Sei zum Beispiel ${\displaystyle G}$ die Fundamentalgruppe einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit endlichen Volumens, dann ist sie eine CAT(0)-Gruppe und ihr Rand im Unendlichen ist ein Sierpinski-Teppich, in der universellen Überlagerung bilden Horosphären eine Familie isolierter Flachs und das so definierte Paar ${\displaystyle (G,{\mathcal {P}})}$ hat als Rand im Unendlichen eine Sphäre.
• Sei ${\displaystyle G}$ eine hyperbolische Gruppe und ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ eine fast-malnormale Familie quasikonvexer Untergruppen, dann ist ${\displaystyle (G,{\mathcal {P}})}$ eine relativ hyperbolische Gruppe, deren Rand im Unendlichen man aus dem von ${\displaystyle G}$ durch Kollabieren der Ränder im Unendlichen der Untergruppen in den Konjugationsklassen von ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ erhält.[2] Sei zum Beispiel ${\displaystyle G}$ die Fundamentalgruppe einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit mit total geodätischem Rand und bestehe ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ aus den Konjugationsklassen der Fundamentalgruppen der Randkomponenten, dann ist ${\displaystyle (G,{\mathcal {P}})}$ relativ hyperbolisch und der Rand im Unendlichen ist eine Sphäre.

Beispiele

• Für eine hyperbolische Gruppe ${\displaystyle G}$ ist ${\displaystyle (G,\emptyset )}$ relativ hyperbolisch.
• Sei ${\displaystyle M}$ eine kompakte Mannigfaltigkeit mit zusammenhängendem Rand. Wenn das Innere von ${\displaystyle M}$ eine hyperbolische Metrik endlichen Volumens besitzt, dann ist ${\displaystyle (\pi _{1}M,\pi _{1}\partial M)}$ relativ hyperbolisch.
• Das Paar ${\displaystyle (\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} ,\mathbb {Z} \oplus 1)}$ ist nicht relativ hyperbolisch.
• Die Abbildungsklassengruppe einer Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle g\geq 2}$ ist zu keiner echten Untergruppe relativ hyperbolisch.
• Die äußere Automorphismengruppe einer freien Gruppe vom Rang ${\displaystyle n\geq 3}$ ist zu keiner echten Untergruppe relativ hyperbolisch.
• Wenn ${\displaystyle (G,H)}$ relativ hyperbolisch und ${\displaystyle H}$ hyperbolisch ist, dann ist ${\displaystyle G}$ hyperbolisch.

Literatur

• B. Bowditch: Relatively hyperbolic groups, Int. J. Alg. Comp. 22 (2012)
• Benson Farb: Relatively hyperbolic groups, Geom. Funct. Anal. 8 (1998), 810–840.
• Daniel Groves, Jason Manning: Dehn filling in relatively hyperbolic groups, Isr. J. of Math. 168 (2008), 317–429.

Einzelnachweise

1. C. Hruska, B. Kleiner: Hadamard spaces with isolated flats, with an appendix written jointly with Mohamad Hindawi, Geom. Topol. 9 (2005), 1501–1538
2. J. Manning, O. Wang: Cohomology of the Bowditch boundary, Preprint (2018)