Quasigeodäte

In d​er Mathematik kommen Quasigeodäten (auch Quasi-Geodäten) i​n Differentialgeometrie, metrischer Geometrie u​nd geometrischer Gruppentheorie vor. Es handelt s​ich um Kurven, d​ie nicht unbedingt kürzeste Verbindungen sind, a​ber deren Länge n​ur auf kontrollierte Weise v​on der d​er kürzesten Verbindungen abweicht.

Definition

Es sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ein (endliches oder unendliches) abgeschlossenes Intervall. Eine (nicht notwendig stetige) Abbildung

${\displaystyle c\colon I\to X}$

ist eine Quasigeodäte, wenn es Konstanten ${\displaystyle \lambda ,\epsilon >0}$ gibt, so dass für alle ${\displaystyle s,t\in I}$ gilt:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}|s-t|-\epsilon \leq d(c(s),c(t))\leq \lambda |s-t|+\epsilon }$.

Mit anderen Worten: ${\displaystyle c\colon I\to X}$ ist eine quasi-isometrische Einbettung.

Beispiele

• Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ oder allgemeiner in jeder einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung ist eine Geodäte immer eine Quasigeodäte.
• Die logarithmische Spirale ${\displaystyle c(t)=(t\cos(\ln(1+t)),t\sin(\ln(1+t)))}$ ist eine Quasigeodäte, denn es gilt ${\displaystyle |s-t|\leq d(c(s),c(t))\leq (2\pi +1)|s-t|}$.
• Kontrollierte Störungen einer Quasigeodäten sind wieder Quasigeodäten, mit einer evtl. anderen Konstanten ${\displaystyle \epsilon }$.

Genauer: Wenn ${\displaystyle c}$ eine Quasigeodäte ist und ${\displaystyle d(c(t),c^{\prime }(t))<K}$ für eine Konstante ${\displaystyle K}$ und alle ${\displaystyle t\in I}$ gilt, dann ist ${\displaystyle c^{\prime }}$ eine Quasigeodäte.

• Wenn ${\displaystyle c\colon I\to X}$ eine Quasigeodäte und ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine quasi-isometrische Einbettung ist, dann ist ${\displaystyle f\circ c}$ eine Quasigeodäte.

Morse-Lemma

Es sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein Gromov-hyperbolischer Raum, zum Beispiel eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung. Dann hat jede Quasigeodäte ${\displaystyle c\colon \left[a,b\right]\to X}$ endlichen Hausdorff-Abstand von der (eindeutigen) Geodäte ${\displaystyle c^{\prime }}$ durch ${\displaystyle c(a)}$ und ${\displaystyle c(b)}$.

Genauer: Zu allen ${\displaystyle \lambda ,\epsilon ,\delta }$ gibt es ein ${\displaystyle R(\lambda ,\epsilon ,\delta )}$, so dass jede ${\displaystyle (\lambda ,\epsilon )}$-Quasigeodäte in einem ${\displaystyle \delta }$-hyperbolischen Raum im Abstand ${\displaystyle <R}$ von einer Geodäten liegt.

Insbesondere, wenn ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$-hyperbolisch und ${\displaystyle c}$ stetig und rektifizierbar ist, dann gilt für alle ${\displaystyle x\in im(c^{\prime })}$

${\displaystyle d(x,im(c))\leq \delta |\log _{2}l(c)|+1}$,

wobei ${\displaystyle l(c)}$ die Länge von ${\displaystyle c}$ bezeichnet.

Die analoge Aussage für CAT(0)-Räume oder Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung trifft nicht zu. Ein Gegenbeispiel ist die logarithmische Spirale im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Literatur

• Ghys, Étienne; de la Harpe, Pierre: Quasi-isométries et quasi-géodésiques. Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (Bern, 1988), 79–102, Progr. Math., 83, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990.

Weblinks

• Lück: Hyperbolische Gruppen
• Wilton: Quasi-geodesics