Endliche Gruppe

Endliche Gruppen treten im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie auf. Eine Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ heißt endliche Gruppe, wenn ${\displaystyle G}$ eine endliche Menge ist, also eine endliche Anzahl von Elementen hat.

Axiome

Die Annahme d​er Endlichkeit ermöglicht e​in vereinfachtes Axiomensystem:[1]

Ein Paar ${\displaystyle (G,*)}$ mit einer endlichen Menge ${\displaystyle G}$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung ${\displaystyle *\colon G\times G\to G}$ heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

• Assoziativität: Für alle Gruppenelemente ${\displaystyle a,b,c}$ gilt ${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}$,

• Kürzungsregel: Aus ${\displaystyle a*x=a*x'}$ oder ${\displaystyle x*a=x'*a}$ folgt ${\displaystyle x=x'}$.

Aus der Kürzungsregel folgt, dass die Links- und Rechtsmultiplikationen ${\displaystyle x\mapsto a*x}$ und ${\displaystyle x\mapsto x*a}$ injektiv sind, woraus wegen der Endlichkeit auch die Surjektivität folgt. Daher gibt es ein ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle a*x=a}$, was zur Existenz des neutralen Elementes ${\displaystyle e}$ führt, und dann ein ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle a*x=e}$, was die Existenz der inversen Elemente zeigt.

Endliche Untergruppe

Die allgemeine Bedingung, dass eine nichtleere Menge ${\displaystyle S\subseteq G}$ eine Untergruppe der Gruppe ${\displaystyle G}$ ist,

S1: ${\displaystyle \quad a,b\in S\Rightarrow a*b\in S}$

S2: ${\displaystyle \quad a\in S\Rightarrow a^{-1}\in S}$

vereinfacht sich ebenfalls, da S2 aus S1 folgt: Wenn ${\displaystyle S}$ endlich ist, muss jedes Element ${\displaystyle a}$ von ${\displaystyle S}$ eine endliche Ordnung ${\displaystyle n}$ besitzen, woraus ${\displaystyle a^{n}=e}$ folgt. Das bedeutet aber, dass ${\displaystyle a^{n-1}=a^{-1}}$ bereits in ${\displaystyle S}$ ist. Eine nichtleere endliche Teilmenge ${\displaystyle S}$ einer beliebigen Gruppe ist also genau dann eine Untergruppe, wenn für alle ${\displaystyle a,b\in S}$ auch ${\displaystyle a*b}$ in ${\displaystyle S}$ liegt.

Einfache Gruppen

→ Hauptartikel: Endliche einfache Gruppe

Jede endliche Gruppe i​st zusammengesetzt a​us einer endlichen Anzahl v​on endlichen einfachen Gruppen. Jedoch k​ann diese Zusammensetzung kompliziert sein. Trotz Kenntnis d​er Bausteine (der einfachen Gruppen) i​st man n​och weit d​avon entfernt, a​lle endlichen Gruppen z​u kennen.

Obwohl d​ie endlichen einfachen Gruppen s​eit 1982 a​ls vollständig klassifiziert galten, schlossen Mathematiker u​m Aschbacher d​ie Klassifikation e​rst im Jahre 2002 m​it einem 1200 Seiten langen Beweis ab:[2]

• Fast alle dieser Gruppen lassen sich einer von 18 Familien endlicher einfacher Gruppen zuordnen.
• Es existieren 26 Ausnahmen. Diese Gruppen werden als sporadische Gruppen bezeichnet.

Beispiele

• Endliche Gruppen sind etwa die zyklischen Gruppen bis auf die unendliche zyklische Gruppe oder die Permutationsgruppen (siehe: Symmetrische Gruppe, Alternierende Gruppe) endlicher Mengen.
• Diedergruppen und Quasi-Diedergruppen
• Zu den sporadischen Gruppen zählen die Conway-Gruppe, das Babymonster und die Monstergruppe (mit fast 10⁵⁴ Elementen die größte sporadische Gruppe).

Anwendungen

Symmetrien v​on Körpern, namentlich i​n der Molekülphysik, werden d​urch Punktgruppen beschrieben; Symmetrien v​on Kristallen d​urch 230 verschiedene Raumgruppen.

Siehe auch

• Liste kleiner Gruppen
• Endliche p-Gruppe

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Finite Group. In: MathWorld (englisch).

Literatur

• Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen. Eine Einführung. Springer-Verlag, ISBN 3-540-60331-X, doi:10.1007/978-3-642-58816-7.
• Bertram Huppert: Endliche Gruppen. Band 1, Springer Verlag 1967.
• B. Huppert, N. Blackburn: Finite Groups. Band 2, 3, Springer-Verlag, 1982.
• Daniel Gorenstein: Finite Groups. Harper and Row, 1968.
• Michael Aschbacher: Finite Group Theory. Cambridge University Press, 1986.

Einzelnachweise

1. Van der Waerden: Algebra I. Springer, 1971, 8. Auflage, S. 15–17.
2. Aschbacher, Smith: The classification of quasithin groups. AMS.