Sierpinski-Teppich

Der Sierpinski-Teppich i​st ein Fraktal, d​as auf d​en polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński zurückgeht u​nd das dieser i​n einer ersten Beschreibung i​m Jahre 1916 vorgestellt hat. Es i​st verwandt m​it dem Sierpinski-Dreieck u​nd dem Menger-Schwamm.[1][2]

Konstruktionsskizze

Schrittweise Konstruktion des Sierpinski-Teppichs

Aus einem Quadrat wird in der Mitte ein ${\displaystyle {\tfrac {1}{9}}}$ der Fläche entfernt. Aus den um das Loch verbliebenen 8 quadratischen Feldern wird wiederum je ein ${\displaystyle {\tfrac {1}{9}}}$ der Fläche entfernt und so weiter.

Stufe 0	Stufe 1	Stufe 2	Stufe 3	Stufe 4	Stufe 5

Die fraktale Dimension des Sierpinski-Teppichs beträgt ${\displaystyle {\frac {\ln 8}{\ln 3}}\approx 1{,}8928}$ – insbesondere ist sein Flächeninhalt (im Lebesgue-Maß) gleich 0.[3]

Die Konstruktion ähnelt s​tark der Konstruktion d​er Cantor-Menge, d​ort wird a​us einer Strecke d​er mittlere Teil entfernt, o​der dem Sierpinski-Dreieck, b​ei dem a​us einem Dreieck d​er Mittelteil entfernt wird.

Die Verallgemeinerung d​es Sierpinski-Teppichs i​n 3 Dimensionen i​st der Menger-Schwamm.[4]

Mathematische Zusammenhänge

Als klassisches Fraktal i​st der Sierpinski-Teppich e​in Musterbeispiel für exakte Selbstähnlichkeit: Die i​n jedem Schritt erzeugten Teilquadrate enthalten verkleinerte exakte Kopien d​es gesamten Fraktals. Eine passende Skalierung e​ines beliebigen quadratischen Teils d​es Fraktals erscheint w​ie das Gesamtobjekt selbst. Es i​st somit skaleninvariant.

Nach ${\displaystyle k}$ Iterationsschritten bleiben ${\displaystyle 8^{k}}$ Teilquadrate gleicher Seitenlänge übrig und es werden ${\displaystyle {\frac {8^{k}-1}{7}}}$ Quadrate verschiedener Seitenlänge entfernt.

Die folgende Tabelle zeigt die Anzahlen der verschiedenen Teilquadrate des Sierpinski-Teppichs nach ${\displaystyle k}$ Iterationsschritten für ${\displaystyle k\leq 4}$:

Anzahl der Teilquadrate
Iterationsschritt	übriggeblieben	neu gelöscht	insgesamt gelöscht	insgesamt
k	8^k	8^k − 1	(8^k − 1) / 7	(8^k + 1 − 1) / 7
0	1	0	0	1
1	8	1	1	9
2	64	8	9	73
3	512	64	73	585
4	4096	512	585	4681

Flächeninhalt

Mit jedem Iterationsschritt verringert sich der gesamte Flächeninhalt, der am Anfang ${\displaystyle A_{0}=a^{2}}$ beträgt, um ${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$, oder anders ausgedrückt, er multipliziert sich mit dem Faktor ${\displaystyle {\frac {8}{9}}}$. Der Flächeninhalt des verbliebenen Sierpinski-Teppichs lässt sich als Folge darstellen: Ist ${\displaystyle a}$ die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats, so gilt für die explizite Darstellung ${\displaystyle A_{k}=\left({\frac {8}{9}}\right)^{k}\cdot a^{2}}$ und für die rekursive Darstellung ${\displaystyle A_{k+1}=A_{k}-{\frac {1}{9}}\cdot \left({\frac {8}{9}}\right)^{k}\cdot a^{2}}$, ${\displaystyle A_{0}=1}$. Er teilt sich auf ${\displaystyle 8^{k}}$ Teildreiecke mit der Seitenlänge ${\displaystyle {\frac {a}{3^{k}}}}$ auf. Der Flächeninhalt der übriggebliebenen Teildreiecke geht gegen 0, wenn die Anzahl ${\displaystyle k}$ der Schritte sehr groß wird und gegen unendlich geht. Formal lässt sich das mit ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{k}=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {8}{9}}\right)^{k}\cdot a^{2}=0}$ ausdrücken.

Zusammenhang mit dem Quadratgitter

Quadratgitter

Der Sierpinski-Teppich s​teht im Zusammenhang m​it dem Quadratgitter, d​as die euklidische Ebene vollständig m​it kongruenten Quadraten ausfüllt (siehe Abbildung). Dieses Quadratgitter i​st spiegelsymmetrisch, punktsymmetrisch, drehsymmetrisch u​nd translationssymmetrisch u​nd eine sogenannte platonische Parkettierung (englisch: uniform tiling).

Das Quadratgitter ist eine feinere Zerlegung des Sierpinski-Teppichs nach dem Iterationsschritt ${\displaystyle k}$. Dabei werden die gelöschten Quadrate des Iterationschritts ${\displaystyle i}$, deren Seitenlänge um den Faktor ${\displaystyle 3^{k-i}}$ größer als die Seitenlänge der übriggebliebenen Quadrate ist, jeweils in ${\displaystyle (3^{k-i})^{2}=9^{k-i}}$ kongruente Quadrate mit dieser Seitenlänge zerlegt. Das äußere Gebiet, das theoretisch ins Unendliche der zweidimensionalen Ebene geht, wird ebenfalls in solche Quadrate zerlegt. Der Sierpinski-Teppich nach dem Iterationsschritt ${\displaystyle k}$ überdeckt ziemlich offensichtlich ${\displaystyle 9^{k}}$ Quadrate des Quadratgitters.

Programmierung

Das folgende Java-Applet zeichnet e​inen Sierpinski-Teppich m​it Hilfe e​iner rekursiven Methode:[5]

import java.awt.*;
import java.applet.*;

public class SierpinskiCarpet extends Applet
{
    private Graphics graphics = null;

    public void init()
    {
        graphics = getGraphics(); // Erzeugt ein Grafikobjekt für das Zeichnen im Applet.
        resize(729, 729); // Größe des Fensters auf Breite und Höhe 3^6 = 729 setzen
    }

    public void paint(Graphics graphics)
    {
        // Rekursion starten
        drawSierpinskiCarpet(0, 0, getWidth(), getHeight()); // Aufruf der rekursiven Methode
    }

    private void drawSierpinskiCarpet(int x, int y, int breite, int hoehe)
    {
        if (breite >= 3 && hoehe >= 3) // Wenn Breite und Höhe mindestens 3 Pixel, dann Quadrat ausfüllen und in 8 Teilquadrate zerlegen
        {
            int b = breite / 3;
            int h = hoehe / 3;
            graphics.fillRect(x + b, y + h, b, h); // Quadrat ausfüllen
            for (int k = 0; k < 9; k++) // for Schleife für das Zerlegen in 8 Teilquadrate
            {
                if (k != 4) // Das mittlere Teilquadrat wird nicht ausgefüllt.
                {
                    int i =(k -1)/ 3; // Spaltenindex des Teilquadrats
                    int j = k % 3; // Zeilenindex des Teilquadrats
                    drawSierpinskiCarpet(x + i * b, y + j * h, b, h); // Rekursive Aufrufe der Methode für das Zerlegen des aktuellen Quadrats in 8 Teilquadrate mit 1/3 der Breite und Höhe.
                }
            }
        }
    }
}

Topologie

In der Topologie betrachtet man den Sierpinski-Teppich als Unterraum des mit der euklidischen Metrik versehenen ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}$. Er stellt ein im ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}$ nirgends dichtes, lokal zusammenhängendes, metrisches Kontinuum dar und gilt – zusammen mit dem Sierpinski-Dreieck – nicht zuletzt deswegen als besonders bemerkenswerter topologischer Raum.[1]

Literatur

• P. S. Alexandroff: Einführung in die Mengenlehre und in die allgemeine Topologie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 85). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1984.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, doi:10.1007/978-3-662-45461-9.

Einzelnachweise

1. P. S. Alexandroff: Einführung in die Mengenlehre und in die allgemeine Topologie. 1984, S. 191–192.
2. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik. 2015, S. 225–226.
3. Wolfram MathWorld: Sierpiński Carpet
4. Larry Riddle, Agnes Scott College: Sierpinski Carpet
5. Rosetta Code: Sierpinski carpet