Hyperbolische Gruppe

Hyperbolische Gruppen (auch: wort-hyperbolische Gruppen, Gromov-hyperbolische Gruppen, negativ gekrümmte Gruppen) s​ind eines d​er zentralen Themen d​er geometrischen Gruppentheorie.

Der Begriff w​urde in d​en 1980er Jahren v​on Michail Leonidowitsch Gromow eingeführt, d​ie Verwendung geometrischer Methoden i​n der Gruppentheorie h​at aber e​ine lange b​is zu Max Dehns Verwendung hyperbolischer Geometrie z​ur Lösung d​es Wortproblems für Fundamentalgruppen kompakter Flächen zurückreichende Tradition. In gewissem Sinne s​ind fast a​lle Gruppen hyperbolisch. Zahlreiche Methoden a​us der Geometrie negativ gekrümmter Räume lassen s​ich auf hyperbolische Gruppen übertragen u​nd so für d​ie Gruppentheorie nutzbar machen.

Definition

Eine endlich erzeugte Gruppe ist hyperbolisch, wenn der einem endlichen Erzeugendensystem zugeordnete Cayley-Graph ${\displaystyle \delta }$-hyperbolisch für ein ${\displaystyle \delta >0}$ ist. Diese Definition ist unabhängig von der Wahl des endlichen Erzeugendensystems.

Ausführlicher:

Der Cayleygraph der freien Gruppe mit zwei Erzeugern ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$

Der zu einem endlichen Erzeugendensystem S einer Gruppe G zugeordnete Cayley-Graph ist der wie folgt definierte Graph ${\displaystyle (V,E)}$: Die Knotenmenge ${\displaystyle V}$ ist die Gruppe ${\displaystyle G}$, die Kantenmenge ${\displaystyle E}$ besteht aus Paaren der Form ${\displaystyle (g,gs)}$, wobei ${\displaystyle g}$ ein beliebiges Gruppenelement und ${\displaystyle s}$ ein Element aus ${\displaystyle S\cup S^{-1}}$ ist. Das Bild rechts zeigt den Cayley-Graphen der von zwei Elementen ${\displaystyle S=\left\{a,b\right\}}$ erzeugten freien Gruppe.

Durch die Festlegung, dass alle Kanten Länge ${\displaystyle 1}$ haben, wird der Cayley-Graph zu einem metrischen Raum. (Die induzierte Metrik auf der Knotenmenge ${\displaystyle G}$ heißt die Wortmetrik der Gruppe ${\displaystyle G}$.)

Für verschiedene endliche Erzeugendensysteme erhält m​an quasi-isometrische Cayleygraphen. Alle b​is auf Quasi-Isometrie bestimmten geometrischen Eigenschaften v​on Graphen entsprechen a​lso Eigenschaften v​on Gruppen.

Ein geodätisches Dreieck in einer negativ gekrümmten Fläche

Ein δ-dünnes Dreieck

Ein metrischer Raum heißt ${\displaystyle \delta }$-hyperbolisch für ein ${\displaystyle \delta >0}$ wenn alle geodätischen Dreiecke δ-dünn sind, d. h. jede Kante des Dreiecks in der ${\displaystyle \delta }$-Umgebung der Vereinigung der beiden anderen Kanten enthalten ist:

${\displaystyle [x,y]\subseteq B_{\delta }([y,z]\cup [z,x]),}$

${\displaystyle [y,z]\subseteq B_{\delta }([z,x]\cup [x,y]),}$

${\displaystyle [z,x]\subseteq B_{\delta }([x,y]\cup [y,z]).}$

Diese Bedingung ist zum Beispiel für geodätische Dreiecke in Bäumen mit ${\displaystyle \delta =0}$ oder in der hyperbolischen Ebene mit ${\displaystyle \delta =\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)}$ erfüllt, allgemeiner für geodätische Dreiecke in einfach zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung. Im Euklidischen Raum ist die Eigenschaft dagegen nicht erfüllt: für jedes ${\displaystyle \delta >0}$ kann man in einem Dreieck durch einfache Skalierung mit einem konstanten positiven, von ${\displaystyle \delta }$ abhängigen Faktor zu einem Dreieck gelangen, bei dem die ${\displaystyle \delta }$-Umgebung von zwei Kanten nicht die ${\displaystyle \delta }$-Umgebung der dritten Kante im Dreieck umfasst.

Wenn zwei metrische Räume ${\displaystyle (X_{1},d_{1})}$ und ${\displaystyle (X_{2},d_{2})}$ quasi-isometrisch sind, dann ist ${\displaystyle (X_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle \delta }$-hyperbolisch für ein ${\displaystyle \delta >0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle (X_{2},d_{2})}$ ${\displaystyle \delta ^{\prime }}$-hyperbolisch für ein (eventuell verschiedenes) ${\displaystyle \delta ^{\prime }>0}$ ist. Insbesondere ist der einem endlichen Erzeugendensystem zugeordnete Cayley-Graph einer Gruppe ${\displaystyle \delta }$-hyperbolisch für ein ${\displaystyle \delta >0}$ genau dann, wenn dies für jedes endliche Erzeugendensystem zutrifft.

Damit kann man dann unabhängig vom gewählten endlichen Erzeugendensystem ${\displaystyle S}$ einer Gruppe ${\displaystyle G}$ definieren: die Gruppe ${\displaystyle G}$ ist hyperbolisch, wenn der Cayley-Graph ${\displaystyle \delta }$-hyperbolisch für ein ${\displaystyle \delta >0}$ ist.

Beispiele

• Endliche Gruppen und virtuell zyklische Gruppen sind hyperbolisch, diese Gruppen werden oft als elementare hyperbolische Gruppen bezeichnet.
• Endlich erzeugte freie Gruppen sind hyperbolisch.
• Fundamentalgruppen kompakter Riemannscher Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung sind hyperbolisch. Das umfasst insbesondere Fundamentalgruppen kompakter hyperbolischer Mannigfaltigkeiten, zum Beispiel Fundamentalgruppen von kompakten Flächen negativer Euler-Charakteristik.
• Eine „zufällig gewählte“ Gruppe ist hyperbolisch. Das heißt genauer: Für eine (beliebig, aber fest gewählte) natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ und ein ${\displaystyle d\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle 1/2<d<1}$ betrachte man zu jeder natürlichen Zahl ${\displaystyle L}$ alle Gruppen mit ${\displaystyle n}$ Erzeugern und (höchstens) ${\displaystyle dL}$ Relationen der Länge (höchstens) ${\displaystyle L}$. Sei ${\displaystyle P(n,d,L)}$ der Anteil der hyperbolischen Gruppen in dieser Menge von Gruppen. Gromov hat bewiesen, dass für ${\displaystyle L}$ gegen unendlich der Anteil ${\displaystyle P(n,d,L)}$ gegen 100 % geht.[1]
• Eine Gruppe, die ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ als Untergruppe enthält, ist nicht hyperbolisch.

Anwendungen

Verschiedene für beliebige Gruppen formulierbare (und i​m Allgemeinen offene) Vermutungen wurden für d​ie Klasse d​er hyperbolischen Gruppen u​nter Benutzung d​eren spezieller Geometrie bewiesen. Dazu gehören:

• die Novikov-Vermutung[2]
• die Baum-Connes-Vermutung[3]
• die Farrell-Jones-Vermutung[4]

Rand im Unendlichen

${\displaystyle \delta }$-hyperbolische Räume ${\displaystyle X}$ haben einen meist als Gromov-Rand bezeichneten Rand im Unendlichen ${\displaystyle \partial X}$. Dieser ist definiert als die Menge der Äquivalenzklassen geodätischer Strahlen, wobei zwei Strahlen genau dann äquivalent sind, wenn sie endlichen Abstand haben.

Nach Wahl eines festen Basispunktes ${\displaystyle x\in X}$ definiert man die Topologie von ${\displaystyle \partial X}$ wie folgt: Als Umgebungsbasis eines Punktes ${\displaystyle p\in \partial X}$ verwendet man alle ${\displaystyle V(p,r)\subset \partial X}$ mit ${\displaystyle r\geq 0}$, wobei ${\displaystyle V(p,r)}$ die Menge aller ${\displaystyle q\in \partial X}$ ist, so dass ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ durch von ${\displaystyle x}$ ausgehende geodätische Strahlen ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ repräsentiert werden, für die ${\displaystyle \liminf _{t\rightarrow \infty }(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))_{x}\geq r}$ ist. Hier bezeichnet ${\displaystyle (.,.)_{x}}$ das Gromov-Produkt ${\displaystyle (y,z)_{x}={\frac {1}{2}}(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z))}$. Die Topologie auf ${\displaystyle \partial X}$ ist unabhängig vom gewählten ${\displaystyle x}$.[5]

Quasi-isometrische Räume haben homöomorphe Ränder im Unendlichen. Insbesondere ist der Rand einer hyperbolischen Gruppe wohldefiniert (unabhängig vom Erzeugendensystem ${\displaystyle S}$) als Rand im Unendlichen des Cayley-Graphen. Beispiele: für freie Gruppen ist der Rand im Unendlichen eine Cantormenge, für Fundamentalgruppen kompakter ${\displaystyle n}$-dimensionaler Riemannscher Mannigfaltigkeiten mit negativer Schnittkrümmung ist der Rand im Unendlichen eine ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale Sphäre, für die „meisten“ hyperbolischen Gruppen ist der Rand im Unendlichen ein Menger-Schwamm.

Quasi-Isometrien, insbesondere Isometrien, eines ${\displaystyle \delta }$-hyperbolischen Raumes ${\displaystyle X}$ wirken als Homöomorphismen auf ${\displaystyle \partial X}$. Insbesondere wirkt jede hyperbolische Gruppe ${\displaystyle G}$ durch Isometrien auf ihrem Cayley-Graphen und damit durch Homöomorphismen auf dessen Rand im Unendlichen. Die Wirkung der hyperbolischen Gruppe auf dem Rand im Unendlichen ist ein „chaotisches“ dynamisches System.

Eine hyperbolische Gruppe w​irkt als Konvergenzgruppe a​uf ihrem Rand i​m Unendlichen u​nd dies erlaubt e​ine topologische Charakterisierung hyperbolischer Gruppen: Eine Gruppe i​st genau d​ann hyperbolisch, w​enn sie a​ls gleichmäßige Konvergenzgruppe a​uf einem perfekten, kompakten, metrisierbaren Raum wirkt.

Siehe auch

• Relativ hyperbolische Gruppe
• Azylindrisch hyperbolische Gruppe

Literatur

• Mikhail Gromov: Hyperbolic groups. In: Stephen M. Gersten (Hrsg.): Essays in group theory (= Mathematical Sciences Research Institute Publications. Bd. 8). Springer, New York NY u. a. 1987, S. 75–263, ISBN 0-387-96618-8. online (PDF; 30 MB)
• Michel Coornaert, Thomas Delzant, Athanase Papadopoulos: Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 1441). Springer, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52977-2.
• Étienne Ghys, Pierre de la Harpe (Hrsg.): Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (= Progress in Mathematics. Bd. 83). Birkhäuser Boston, Inc., Boston MA u. a. 1990, ISBN 0-8176-3508-4.

Einzelnachweise

1. Mikhail Gromov: Random walk in random groups. In: Geometric & Functional Analysis. Bd. 13, Nr. 1, 2003, S. 73–146, doi:10.1007/s000390300002, Digitalisat (Seite nicht mehr abrufbar, Suche in Webarchiven)  Info: Der Link wurde automatisch als defekt markiert. Bitte prüfe den Link gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis. (PDF; 787,25 kB).
2. Alain Connes, Henri Moscovici: Cyclic cohomology, the Novikov conjecture and hyperbolic groups. In: Topology. Bd. 29, Nr. 3, 1990, S. 345–388, doi:10.1016/0040-9383(90)90003-3.
3. Igor Mineyev, Guoliang Yu: The Baum-Connes conjecture for hyperbolic groups. In: Inventiones Mathematicae. Bd. 149, Nr. 1, 2002, S. 97–122, doi:10.1007/s002220200214, Digitalisat (PDF; 250 kB).
4. Arthur Bartels, Wolfgang Lück, Holger Reich: The K-theoretic Farrell-Jones conjecture for hyperbolic groups. In: Inventiones Mathematicae. Bd. 172, Nr. 1, 2008, S. 29–70, doi:10.1007/s00222-007-0093-7, Digitalisat (PDF; 470,9 kB).
5. Ilya Kapovich, Nadia Benakli: Boundaries of hyperbolic groups. In: Sean Cleary, Robert Gilman, Alexei G. Myasnikov, Vladimir Shpilrain (Hrsg.): Combinatorial and geometric group theory. AMS Special Session Combinatorial Group Theory, November 4–5, 2000, New York, New York. AMS Special Session Computational Group Theory, April 28–29, 2001, Hoboken, New Jersey (= Contemporary Mathematics. Bd. 296). American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-2822-3, S. 39–93, Digitalisat (PDF; 488 kB).