Flach (Geometrie)

In d​er Mathematik werden flache Unterräume Riemannscher Mannigfaltigkeiten a​ls Flachs (engl.: flats) bezeichnet. Der Begriff i​st besonders i​n der Theorie nichtpositiver Krümmung u​nd speziell i​n der Theorie symmetrischer Räume v​on Bedeutung.

Definition

Es sei eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit. Eine -dimensionale total-geodätische Untermannigfaltigkeit ist ein r-Flach, wenn sie isometrisch zum euklidischen Raum ist. Daraus folgt insbesondere, dass die Schnittkrümmung dieser Untermannigfaltigkeit konstant Null ist.

Man k​ann Flachs a​uch charakterisieren a​ls einfach zusammenhängende, total-geodätische Untermannigfaltigkeiten, d​eren Schnittkrümmung konstant Null ist.

Die Flachs maximaler Dimension in einer Mannigfaltigkeit werden als maximale Flachs in bezeichnet.

Beispiele

Im euklidischen Raum sind die affinen Unterräume die einzigen Flachs. Es gibt zwar weitere Untermannigfaltigkeiten verschwindender Schnittkrümmung (z. B. Kreiszylinder im ), aber diese sind nicht einfach zusammenhängend und deshalb nicht isometrisch zu einem euklidischen Raum.

In Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung s​ind die Geodäten (1-dimensionale Flachs) bereits d​ie maximalen Flachs, d​a 2-dimensionale Flachs verschwindende Krümmung hätten.

Flachs in symmetrischen Räumen

Es sei ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ vom Rang , und seine Cartan-Zerlegung. Für sei die Exponentialabbildung in .

Dann sind alle enthaltenden -Flachs von der Form

für eine maximal abelsche Unteralgebra .

(Insbesondere lässt s​ich der Begriff d​er Weyl-Kammern a​uf Flachs i​n symmetrischen Räumen übertragen.)

Weiterhin gibt es zu je zwei Flachs und je zwei Punkten eine Isometrie mit

.

Der Rang e​ines symmetrischen Raumes i​st (per Definition) d​ie Dimension e​ines maximalen Flachs.

Siehe auch

Literatur

  • Sigurdur Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7
  • Patrick Eberlein: Geometry of nonpositively curved manifolds. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1996. ISBN 0-226-18197-9; 0-226-18198-7
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