Quantenlogik

Als Quantenlogik (englisch quantum logic) werden Versuche bezeichnet, e​in logisches System z​u formulieren, d​as den Prinzipien d​er Quantenmechanik gerecht wird.

Die Strukturen d​er Quantenphysik wirken paradox u​nd sind teilweise schwer nachzuvollziehen. Fragestellungen w​ie die, o​b Schrödingers Katze lebt, fordern d​as Verständnis heraus. Im Kontext d​er mathematischen Strukturen d​er Schrödingergleichung u​nd der Heisenbergschen Unschärferelation w​urde deshalb e​ine Logik gesucht, d​ie Deutungen d​er Quantenmechanik w​ie dem Komplementaritätsprinzip o​der dem Korrespondenzprinzip nachempfunden ist. Dazu musste d​ie herkömmliche Logik modifiziert werden.

Es g​ibt im Wesentlichen d​rei verschiedene Ansätze z​ur Quantenlogik:

• John von Neumann und Garrett Birkhoff entdeckten als erste in den mathematischen Strukturen der Quantenphysik (Hilbertraum, Hamiltonoperator) eine von der bis dahin üblichen Booleschen Algebra abweichende so genannte orthomodulare Logik.
• Hans Reichenbach und andere entwickelten aus einer Wahrscheinlichkeitslogik eine dreiwertige Quantenlogik mit den Wahrheitswerten wahr, falsch und unbestimmt.
• Peter Mittelstaedt, Ernst-Walther Stachow und Carl Friedrich von Weizsäcker entwickelten die dialogische Logik zu einer zeitlichen Logik der Quantenprozesse um.

Hilary Putnam n​ahm 1968 d​ie Quantenlogik z​um Anlass, d​ie a-priori-Geltung logischer Gesetze insgesamt i​n Frage z​u stellen, w​as eine Debatte u​m den Status logischer u​nd algebraischer Gesetzmäßigkeiten auslöste.

Überblick

Ausgangsproblem

Zusammen m​it der Relativitätstheorie wirkte d​ie etwa 1900 entstandene Quantenphysik w​ie eine Revolution d​er Physik. Das Doppelspaltexperiment w​arf etliche Fragen auf, insbesondere, o​b Elektronen o​der Lichtquanten Teilchen o​der Wellen sind. Im Jahre 1926 erschienen s​echs Arbeiten v​on Erwin Schrödinger, d​ie schließlich z​u einer komplexen Differentialgleichung führten, d​ie man Schrödingergleichung nennt. 1927 w​urde die Heisenbergsche Unschärferelation formuliert.[1] Sie besagt, d​ass zwei komplementäre Eigenschaften e​ines Teilchens n​icht gleichzeitig beliebig g​enau bestimmbar sind. Die Welt d​er Elementarteilchen schien g​anz anders z​u sein, a​ls man e​s von d​er bisherigen Physik kannte.

Wenn man aus der Quantenmechanik eine Logik entwickeln will, wird das Distributivgesetz der Verknüpfung von und (${\displaystyle \wedge }$) und oder (${\displaystyle \vee }$) verletzt.[2] Das geht aus der Unschärferelation hervor:

• Es sei p die Aussage: „Das Elektron ist schnell“ (Die Messung des Impulses ergibt eine Zahl in einem bestimmten Intervall.)
• q sei die Aussage: „Das Elektron ist in einem linken Intervall“ und
• r sei die Aussage: „Das Elektron ist in einem rechten Intervall“.

q und r seien Aussagen über zwei benachbarte Ortsintervalle, die gemeinsam auch bei Unschärfe den Aufenthaltsort des Elektrons gewährleisten. Dann gilt zwar ${\displaystyle p\wedge (q\vee r)}$, aber gemäß der Unschärferelation nicht mehr unbedingt ${\displaystyle (p\wedge q)\vee (p\wedge r)}$.[3] Das Distributivgesetz besagt dagegen, dass beide Ausdrücke identisch sind. Dies führt also zum Ablehnen der klassischen distributiven Logik, denn Impuls und Ort des Elektrons lassen sich nicht beide gleichzeitig genau bestimmen.

Fortgang

John v​on Neumann schlug zunächst vor,[4] Aussagen über beobachtbare physikalische Größen a​ls Projektionen i​n einem Hilbert-Raum z​u interpretieren. Einen geeigneten Kalkül entwickelten e​r und Birkhoff i​n ihrer Veröffentlichung a​us dem Jahr 1936. Eine Axiomatisierung dieses Systems w​urde von George Mackey unternommen.[5] Die quantenlogischen Forschungen wurden 1963–1968 vornehmlich i​n der Schweiz d​urch Josef-Maria Jauch u​nd Constantin Piron fortgesetzt. Saul Kripkes Übertragung i​n einen modallogischen Kalkül bildete d​ie Grundlage für d​ie Arbeiten v​on Bas v​an Fraassen u​nd später Maria L. Dalla Chiara.

Parallel h​atte Reichenbach begonnen, dreiwertige Logiken z​ur Beschreibung d​er Quantenmechanik einzusetzen. V. Weizsäckers Vorschlag z​ur Entwicklung e​ines dialogischen Kalküls w​urde seit 1970 v​or allem i​n Köln (Peter Mittelstaedt, Ernst-Walther Stachow) umgesetzt. Weitere Zentren d​er Forschung w​aren seit d​en 1970ern Genua (Enrico Beltrametti) u​nd Amherst (Charles H. Randall, David J. Foulis). 1976 f​and ein erstes internationales Treffen v​on Quantenlogikern i​n Bad Homburg statt; e​s folgten Kolloquien i​n Erice/Sizilien 1979 u​nd in Köln 1984, b​ei denen d​ie große Bandbreite d​er philosophischen, logischen, linguistischen, algebraischen, geometrischen u​nd wahrscheinlichkeitstheoretischen Forschungen z​um Thema Quantenlogik sichtbar wurden, d​ie heute i​n verschiedenen Sektionen d​er IQSA vertreten sind.

Mittelstaedt führte Erweiterungen d​er Quantenlogik z​u einer Relativistischen Quantenlogik durch[6] u​nd erarbeitete e​ine Quantenontologie. Von Weizsäcker suchte n​ach einer Quantentheorie d​er Ur-Alternativen, i​n der iteriert d​ie Quantenlogik a​uf Ur-Alternativen angewandt wird.[7]

Debatte um die Empirizität der Logik

Die Forschungen z​ur Quantenlogik brachten Fragen z​um Status d​er Logik überhaupt auf. Ihre Abweichungen v​on der klassischen Logik stellen infrage, o​b diese d​en physikalischen Zusammenhängen entspricht.[8] Damit i​st die Geltung d​er klassischen Logik infrage gestellt. Es lässt s​ich sogar bezweifeln, o​b überhaupt e​in einzelnes logisches System d​en Anspruch erheben kann, e​in korrektes u​nd adäquates Gerüst für e​ine wahrheitserhaltende Beschreibung naturwissenschaftlicher Prozesse u​nd Zustände z​u liefern. Prominent i​st das Postulat Hilary Putnams, d​ass nur e​ine Quantenlogik korrekt s​ein kann, d​eren Gültigkeit s​ich uns jedoch n​icht analytisch erschließt.[9] Damit w​ird die Frage, welche Logik korrekt ist, letztlich z​u einer empirischen Frage. Eine Erwiderung erfolgt v​or allem d​urch Michael Dummett,[10] d​er das Problem a​n die moderne Realismusdebatte anschloss. Putnams Forderung n​ach der Infragestellung d​er Logik s​etzt ihm zufolge e​ine realistische Position voraus, d​ie jedoch ihrerseits sowohl d​ie Distributivität a​ls auch d​as Bivalenzprinzip d​er klassischen Logik voraussetzt. Die Frage n​ach einer Geltung d​er Logik für d​ie Welt s​etzt voraus, d​ass die Aussagen, i​n der d​ie Welt grundlegend beschrieben werden kann, w​ahr oder falsch sind.

Herangehensweisen im Einzelnen

Aussagenlogischer Kalkül nach Birkhoff und von Neumann

In e​inem Arbeitspapier[11] schlugen John v​on Neumann u​nd Garrett Birkhoff 1936 vor, d​ie Operatoren d​er Schrödingergleichung a​ls Aussagen über d​as Quantensystem z​u interpretieren:

• Den Projektionsoperatoren entsprechen die elementaren Aussagen der Logik.
• Den Eigenwerten 1 und 0 entsprechen die Wahrheitswerte dieser Logik.[12]

Damit w​ar die Quantenlogik geboren. Sie w​ich allerdings i​n einigen Punkten v​on der herkömmlichen Logik ab. Das algebraisch formulierte Logiksystem d​er Booleschen Algebra musste überarbeitet werden.

Den algebraischen Beziehungen entsprechend g​ibt es Beziehungen zwischen d​en Aussagen, d​ie einen Kalkül bilden, i​n dem – entgegen d​er klassischen Aussagenlogik – d​as Distributivgesetz d​urch die s​o genannte Orthomodularität ersetzt w​ird und d​as Tertium n​on datur n​ur noch eingeschränkt gilt.[13]

Die Quantenlogik lässt s​ich in d​er mathematischen Sprache analog z​um modularen Verband formalisieren. Hier werden zunächst n​eun Grundregeln[14] wiedergegeben, m​an nennt d​as Regelpaket d​ie Orthologik OL.[15] Der Querstrich i​st ein Folgerungsstrich, a​lso die Regel besagt jeweils, d​ass man v​on den o​ben stehenden Aussagen z​u den u​nten stehenden übergehen darf:

Nr.	Regel	Bezeichnung
1	${\displaystyle {\frac {A}{A}}}$	Aus A folgt A: reflexiver Schluss
2	${\displaystyle {\frac {A\wedge B}{A}}}$	${\displaystyle \wedge }$-Beseitigung 1
3	${\displaystyle {\frac {A\wedge B}{B}}}$	${\displaystyle \wedge }$-Beseitigung 2
4	${\displaystyle {\frac {\lnot \lnot A}{A}}}$	Duplex negatio affirmat
5	${\displaystyle {\frac {A}{\lnot \lnot A}}}$	Doppelte-Negations-Einführung
6	${\displaystyle {\frac {A\wedge \lnot A}{B}}}$	Ex contradictione sequitur quodlibet
7	${\displaystyle {\frac {A\rightarrow B,B\rightarrow C}{A\rightarrow C}}}$	transitiver Kettenschluss
8	${\displaystyle {\frac {A\rightarrow B,A\rightarrow C}{A\rightarrow B\wedge C}}}$	${\displaystyle \wedge }$ Einführung mit Prämissen A
9	${\displaystyle {\frac {A\rightarrow B}{\lnot B\rightarrow \lnot A}}}$	Kontraposition
10	${\displaystyle {\frac {A\wedge (\lnot A\vee (A\wedge B))}{B}}}$	Orthomodularität

Die 10. axiomatische Regel, die Orthomodularität, ist hier nach André Fuhrmann wie die anderen neun Regeln von OL in junktorenlogischer Schreibweise notiert.[14] Sie setzt sich zusammen aus dem Modularitätsgesetz (${\displaystyle x\leq b}$ impliziert ${\displaystyle x\vee (a\wedge b)=(x\vee a)\wedge b}$) einerseits und Spiegelungen andererseits. Dies sind so genannte Orthokomplemente, die die Funktion der Negation übernehmen.

Logiker untersuchen Logiken u​nter anderem daraufhin, o​b sie entscheidbar sind; s​o wurde a​uch dieses Logiksystem ausgiebig untersucht. Die Regel d​er Orthomodularität entspricht keiner i​n der ersten Stufe d​er Logik formulierbaren Rahmen-Bedingung, weshalb i​hre Entscheidbarkeit bislang n​och nicht bewiesen ist.[14]

Schreibweise	Sprechweise
${\displaystyle \Diamond p}$	Es ist möglich, dass p
${\displaystyle \Box p}$	Es ist notwendig, dass p
${\displaystyle \Diamond p\wedge \Diamond \neg p}$	p ist kontingent

1963 konnte Saul Kripke ein Modell (Kripke-Rahmen K: ${\displaystyle \Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)}$) für die Vielzahl der bis dahin vorgeschlagenen modallogischen Systeme entwickeln.[16] Die oben genannte Orthologik OL lässt sich in die intuitionistische Modallogik abbilden und durch eine Klasse von Kripke-Rahmen vollständig charakterisieren.[14] Auf dieser axiomatischen Grundlage verwendeten seit den 1970er Jahren Bas van Fraassen (Toronto) und Maria L. Dalla Chiara (Florenz) Modalitäten im Rahmen der Quantenlogik.[17] Franz Josef Burghardt entwickelte die Modallogik der Quanten weiter.[18]

Dreiwertige Logik

→ Hauptartikel: Dreiwertige Logik

Die Statue Quantum Man (2006) von Julian Voss-Andreae zeigt die in der Quantenlogik versuchte verschiedene Ansicht von ein und demselben Realen.

Da i​n der Quantenmechanik d​ie klassisch vorausgesetzte Kommensurabilitätsbedingung n​icht erfüllt z​u sein braucht, h​aben einige Wissenschaftler w​ie z. B. Paulette Destouches-Février, Hans Reichenbach u​nd Bas v​an Fraassen[19] versucht, e​ine dreiwertige Logik a​ls Quantenlogik einzuführen. Damit w​ird das Prinzip d​er Zweiwertigkeit allerdings verlassen.

Van Fraassen entwickelte e​ine Ausschlussnegation. Wenn e​ine physikalische Größe m n​icht einen bestimmten Wert – beispielsweise 7 – annimmt, s​o kann d​ies im Sinne d​er Ausschlussnegation n​icht nur bedeuten, d​ass m n​icht 7 ist, sondern auch, d​ass sich d​as System i​n keinem Zustand befindet, z​u dem e​in Wert v​on m gehört.[20]

Hans Reichenbach behauptet, d​ass man s​ich bei d​er Beurteilung wissenschaftlicher Aussagen n​ur auf Wahrscheinlichkeitserwägungen stützen kann. Gewissheit dürfe v​on der Wissenschaft n​icht erwartet werden.[21] In d​en 1930er u​nd nachfolgenden Jahren arbeitete e​r an Problemen d​er Wahrscheinlichkeitslogik. Zur logischen Beschreibung d​er Quantenmechanik erstellte Reichenbach a​us dieser Wahrscheinlichkeitslogik e​ine dreiwertige Quantenlogik m​it den Wahrheitswerten wahr, falsch u​nd unbestimmt. Sie benutzt d​rei Arten d​er Negation (ausschließende, diametrale u​nd vollständige Negation) u​nd drei Arten d​er Implikation (Standardimplikation, Alternativimplikation, Quasiimplikation).[22] Nachdem Ulrich Blau e​ine dreiwertige Logik d​er natürlichen Sprache z​ur Diskussion gestellt hat, w​urde eine Parallele z​ur Dreiwertigkeit b​ei Reichenbach gezogen, w​eil bereits alltägliche Beispiele für d​en Fall unerfüllter Präsuppositionen e​ine solche Bewertung nahelegen.[23]

Für die Junktoren und (${\displaystyle \wedge }$) und oder (${\displaystyle \vee }$) gelten folgende Wahrheitstafeln mit falsch (f), unbestimmt (u) und wahr (w):[24]

a und b b a f u w f f f f u f u u w f u w

a oder b b a f u w f f u w u u u w w w w w

Die Subjunktion (auch Implikation genannt: wenn-dann) w​ird nicht einheitlich gestaltet. Hier s​ind die Versionen v​on Jan Łukasiewicz, Ulrich Blau[25] s​owie die Alternativ- u​nd die Quasiimplikation v​on Reichenbach dargestellt:

Łukasiewicz b a f u w f w w w u u w w w f u w

Blau b a f u w f w w w u w w w w f u w

Alternativimplikation b a f u w f w w w u w w w w f f w

Quasiimplikation b a f w f u u w f w

Verteidiger d​er dreiwertigen Logik meinen, d​ie Logik müsse s​ich der Unbestimmtheit d​er Messaussagen d​er Quantenphysik anpassen u​nd nicht umgedreht.[26]

Dialogische Logik zeitlicher Aussagen

Carl Friedrich von Weizsäcker (links) und Peter Mittelstaedt während des Internationalen Symposiums für Quantenlogik, Köln 1984

1955 r​egte Carl Friedrich v​on Weizsäcker i​n Göttingen an, d​en von Birkhoff u​nd v. Neumann aufgestellten Aussagenkalkül a​us grundsätzlichen erkenntnistheoretischen Überlegungen z​ur Quantenmechanik abzuleiten.[27] Peter Mittelstaedt führte d​ies in d​en Jahren 1958–1963 s​o weit aus, w​ie es m​it den seinerzeit z​ur Verfügung stehenden mathematischen Mitteln möglich war.[28] Die Ausarbeitung e​iner Logik zeitlicher Aussagen Weizsäckers k​lang auch i​m Spätwerk Rudolf Carnaps an.[29] Mittelstaedt entlehnte 1959 d​en Arbeiten Paul Lorenzens Dialoge z​ur semantischen Begründung zusammengesetzter Aussagen über physikalische Größen (Observable).[30] Aus dieser dialogischen Logik w​urde eine zeitliche Quantenlogik erforscht.[31]

In der dialogischen Logik von Lorenzen und Kuno Lorenz wird die Wahrheit eines Satzes durch einen Dialog von Proponent (P) und Opponent (O) bestimmt, in dem die Dialogpartner sich jeweils auf voriges Behaupten und Zeigen beziehen. Der Proponent hat gewonnen, wenn er eine angegriffene nicht mehr logisch verknüpfte Aussage (Elementaraussage) verteidigt hat oder wenn der Opponent (auf der linken Spalte mit O notiert) eine angegriffene Elementaraussage nicht verteidigt. Der Junktor Subjunktion (${\displaystyle \rightarrow }$ wenn-dann) ist im hier gebrauchten Zusammenhang das, was bei Reichenbach in der dreiwertigen Logik Implikation heißt. Es gibt zwei Dialoge, einen um den Wennsatz und anschließend einen um den Dannsatz. Hier werden mit dem Fragezeichen jeweils die vorhergehenden Zeilen angegriffen.

${\displaystyle O}$	${\displaystyle P}$	Kommentar
	${\displaystyle A\rightarrow A}$	Zusammengesetzte Gesamtaussage: Wenn A dann A.
${\displaystyle A?}$		Der Wennsatz wird behauptet und dadurch die Gesamtaussage angegriffen.
	${\displaystyle$ ?}	Ein Beweis bzw. ein Vorzeigen wird verlangt.
${\displaystyle [A]}$		Das behauptete A wird vorgezeigt oder bewiesen.
	${\displaystyle A}$	Als Verteidigung muss gemäß der ${\displaystyle \rightarrow }$-Regel der Dannsatz behauptet werden.
${\displaystyle$ ?}		Ein Beweis bzw. ein Vorzeigen wird verlangt.
	${\displaystyle [A]}$	Das behauptete A wird vorgezeigt oder bewiesen. P hat gewonnen, die Gesamtaussage ist wahr.

An dieser Stelle setzen Mittelstaedt u​nd Weizsäcker an. Man k​ann die Grundregeln d​er dialogischen Logik s​o gestalten, d​ass der Beweis für e​ine zu Beginn gemachte Aussage n​ach einer gewissen Zeit n​icht mehr z​ur Verfügung steht.[32]

Von Weizsäcker stellt folgende Überlegung an: Es sei beispielsweise m die konkrete Aussage: „Der Mond ist zu sehen“ (für A eingesetzt). Der Proponent behauptet wie im Schaubild ${\displaystyle A\rightarrow A}$.

„Der Opponent s​etzt m für A ein. Zum Beweis aufgefordert, s​agt er: ‚Hier s​ieh den Mond, gerade über d​em Horizont!‘ Der Proponent erkennt d​en Beweis an. Nunmehr selbst z​um Beweis aufgefordert, s​agt er: ‚Hier s​ieh den Mond, gerade über d​em Horizont!‘ Der Opponent m​uss den Beweis u​nd damit s​eine Niederlage anerkennen. – Aber d​er Proponent m​uss in diesem Beispiel darauf achten, d​ass er schnell g​enug reagiert. Sonst könnte d​er Opponent, d​er ihm gerade n​och den Mond gezeigt hatte, d​ie Anerkennung d​es zweiten Beweises verweigern: d​er Mond i​st inzwischen untergegangen.“

– Carl Friedrich von Weizsäcker: Die Einheit der Natur. S. 245.

In der üblichen formalen nichttemporalen Logik ist diese Gesamtaussage ${\displaystyle A\rightarrow A}$ sofort formallogisch wahr, weil der Proponent das Setzen von A des Opponenten einfach übernehmen darf. In der temporalen Logik ist die materiale Wahrheit beweis- bzw. vorzeigeabhängig.

Peter Mittelstaedt hat gezeigt, dass in der Quantenlogik aus diesen Gründen das Gesetz ${\displaystyle A\rightarrow (B\rightarrow A)}$ nicht gilt.[33] Es gibt vier weitere Gesetze, die durch die Quantenlogik verletzt werden.[34] Mittelstaedt begründet die Verletzung dieser Gesetze durch die Anwendung der Unschärferelation: Man setze für A die Aussage „Dieses Elektron hat den Impuls p“ und für B „Dieses Elektron hat den Ort q“ ein. Der Opponent misst nun den Impuls des Elektrons und findet p, dann misst er den Ort und findet q. Jetzt wiederholt der Proponent die Impulsmessung, aber leider findet er den Wert p nicht wieder.[35] Das Gesetz ${\displaystyle A\rightarrow (B\rightarrow A)}$ gilt also nicht, der Proponent kann das zweite A (Impuls p) nicht mehr durch Messung beweisen.

Diese v​on Mittelstaedt charakterisierte pointierte Subjunktion w​ird auch Sasaki-hook genannt.[36] 1952 entwickelte d​er japanische Wissenschaftler Sasaki Usa e​ine Quantenprojektion,[37] d​ie von Richard Joseph Greechie z​u einer Nichtstandard-Quantenlogik ausgearbeitet wurde.[38]

Gegenwärtige Beurteilung

Wolfgang Stegmüller h​at die Quantenlogik kritisch untersucht.[39] Er hält d​ie Kritik v​on Ernest Nagel für berechtigt, wonach Reichenbachs Vorschlag e​iner dreiwertigen Logik a​uf einer z​u engen Anwendung d​es Empirismusprinzips beruhe.[40] Erhard Scheibe[41] behauptet, d​ass ein Aufbau d​er Quantentheorie u​nter Beibehaltung d​er klassischen Logik möglich ist, w​enn man für d​as kontingente Verhalten e​ines Systems e​ine epistemische Formulierung wählt, d​ie sich unmittelbar a​uf unsere experimentelle Feststellungen bezieht u​nd nicht a​uf Behauptungen über d​as Vorliegen v​on Eigenschaften.[42] Andreas Kamlah f​ragt kritisch, o​b die dialogische Quantenlogik e​ine analytische Theorie sei.[43]

Nach 2000 wurden zunehmend d​ie Verdienste d​er Quantenlogik a​ls Beitrag z​ur Sprachforschung anerkannt, s​o unter anderen v​on Brigitte Falkenburg.[44]

Nach e​inem modernen, e​her formalistischen Logikverständnis k​ann man d​avon ausgehen, d​ass die d​rei unterschiedlichen Ansätze n​icht mehr miteinander konkurrieren: In d​er dialogischen Logik u​nd bei anderen Logiksystemen v​om Gentzentyp werden verschiedene Rahmenregelpakete angeboten, d​ie jeweils z​u einer bestimmten Logik führen, s​o auch z​ur Quantenlogik. Dasselbe g​ilt für d​ie Axiomensysteme v​om Hilberttyp. Durch d​iese Möglichkeiten k​ann innerhalb e​ines logischen Regelwerks überlegt werden, für welches Regelpaket m​an sich entscheiden will. Somit braucht m​an nicht g​anz grundsätzlich d​ie gesamten Regelwerke gegeneinander auszuspielen.

Maria Luisa Dalla Chiara u​nd Roberto Giuntini beurteilen d​ie Situation so: Quantenlogiken u​nd deren formale Eigenschaften g​eben keinen Hinweis a​uf reale Eigenschaften o​der Mechanismen zwischen d​en Observablen d​er Quantentheorie. Ein diesbezüglicher Realismus, d​en Pioniere w​ie v. Neumann, Reichenbach u​nd v. Weizsäcker vertreten haben, s​ei daher ebenso abzulehnen w​ie Putnams Vorschlag, d​ass die Geltung e​iner bestimmten Logik e​ine Frage d​er Empirie sei. Vielmehr halten s​ie fest, d​ass es n​icht nur verschiedene Logiken, sondern a​uch verschiedene Quantenlogiken gebe. Daher s​ei es fraglich, o​b es e​ine eindeutige Quantenlogik gebe.[45]

Literatur

• Garrett Birkhoff, John von Neumann: The logic of quantum mechanics. In: Ann. of Math. 37, 1936 (PDF; 761 kB).
• Ulrich Blau: Die Logik der Unbestimmtheiten und Paradoxien. Heidelberg 2008, S. 191–290.
• Enrico Beltrametti, Bas van Fraassen (Hrsg.): Current Issues in Quantum Logic (= Ettore Majorana International Science Series. Vol. 8). New York/London 1981, ISBN 0-306-40652-7.
• André Fuhrmann: Quantenlogik. In: Jürgen Mittelstraß: Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 6, Metzler 2016, ISBN 978-3-476-02105-2, S. 532–533.
• Peter Mittelstaedt, Ernst-Walther Stachow (Hrsg.): Recent Developments in Quantum Logic (= Grundlagen der exakten Naturwissenschaften Bd. 6). Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01695-7.
• Peter Mittelstaedt: Quantum Logic (= Synthese Library. Vol. 126). Doordrecht 1978, ISBN 90-277-0925-4.
• Peter Mittelstaedt: Are the Laws of Quantum Logic Laws of Nature?. In: Journal for General Philosophy of Science / Zeitschrift für Allgemeine Wissenschaftstheorie 43 (2), 2012, S. 215–222.
• Ewald Richter: Quantenlogik. In: Joachim Ritter et al. (Hrsg.): Historisches Wörterbuch der Philosophie. Band 7, Basel 1989, ISBN 978-3-7965-0698-7, S. 1782–1785.
• Carl Friedrich von Weizsäcker: Komplementarität und Logik. In: Die Naturwissenschaften 42, 1955, S. 521–529 u. 545–555.
• Carl Friedrich von Weizsäcker: Die Einheit der Natur. Studien, Hanser, München 1971.

Weblinks

• D. J. Foulis: A Half Century of Quantum Logic — What Have we Learned? University of Massachusetts, Amhest 1995.
• Maria Luisa Dalla Chiara, Roberto Giuntini: Quantum Logics. Florenz 2008.
• Mladen Pavičić: Bibliography on Quantum Logics and related structures. Zagreb 1992.
• Alex Wilce: Quantum Logic and Probability Theory. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy. Stanford 2002/2012/2017.
• C. de Ronde, G. Domenech, H. Freytes: Quantum Logic in Historical and Philosophical Perspective. In: J. Fieser, B. Dowden (Hrsg.): Internet Encyclopedia of Philosophy.

Einzelnachweise

1. Friedrich Hund: Geschichte der Quantentheorie. 3. Auflage 1984.
2. Klaus Mainzer: Quantentheorie. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 6, Metzler 2016, S. 538.
3. Peter Forrest: Quantum logic. In: Edward Craig (Hrsg.): Routledge Encyclopedia of Philosophy. Vol. 7, 1998, S. 882ff.
4. John von Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. 1932.
5. George Mackey: Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. 1963.
6. Peter Mittelstaedt: Relativistic Quantum Logic. In: Int. Journal of Theor. Physics 22, 1983, S. 293–314.
7. Carl Friedrich von Weizsäcker: Aufbau der Physik. Carl Hanser Verlag, 1985, Achtes Kapitel Rekonstruktion der abstrakten Quantentheorie.
8. Peter Schroeder-Heister: Logik, mehrwertige. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 5, Metzler 2013, S. 62.
9. Hilary Putnam: Is Logic empirical? In: Boston Studies in the Philosophy of Science. Band 5. D. Reidel, Dordrecht 1968, S. 216–241.
10. Michael Dummet: Is Logic Empirical? In: Contemporary British Philosophy. Band 4, 1976.
11. John von Neumann, Garrett Birkhoff: The logic of quantum mechanics. In: Annals of Mathematics 37, 1936, S. 823–843.
12. Carl Friedrich von Weizsäcker: Die Einheit der Natur. Studien, Hanser, München 1971, 2. Auflage 1981, S. 242.
13. Peter Mittelstaedt: Quantum Logic. S. 6–26. Zum Tertium non datur in der Quantenlogik ausführlich Peter Mittelstaedt und Ernst-Walther Stachow: The principle of excluded middle. In: Journal of Philosophical Logic 7, 1978, S. 181–208.
14. André Fuhrmann: Quantenlogik. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 6, Metzler 2016, ISBN 978-3-476-02105-2, S. 532.
15. Maria Luisa Dalla Chiara, Roberto Giuntini: Quantum Logics. Florenz 2008, S. 36.
16. Saul A. Kripke: Semantical Analysis of Logic I. Normal propositional Calculi. In: Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 9, 1963, S. 67–96.
17. Bas van Fraassen: Meaning Relations and Modalities. In: Nous. 3, 1969, S. 155–167. M. L. Dalla Chiara: Quantum Logic and Physical Modalities. In: Journal of Philosophical Logic. 6, 1977, S. 391–404.
18. Franz Josef Burghardt: Modalities and Quantum Mechanics. In: Int. Journal of Theor. Physics 23, 1984, S. 1171–1196, mit weiterer Literatur.
19. Bas van Fraassen: The Labyrinth of Quantum Logics. In: Cohen, Wartofsky: The Logico-Algebraic Approach to Quantum Mechanics (= The University of Western Ontario Series in Philosophy of Science. Vol. 5a). S. 577–607.
20. Bas van Fraassen: The Labyrinth of Quantum Logics. S. 577–607.
21. Martin Carrier: Reichenbach, Hans. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Erste Auflage. Band 3, Metzler 1995/2004, S. 542.
22. Hans Reichenbach: Gesammelte Werke. Band 5: Philosophische Grundlagen der Quantenmechanik und Wahrscheinlichkeit. S. 182f.
23. Ewald Richter: Quantenlogik. 1989, S. 1784.
24. Werner Stelzner: Logik, mehrwertige. In: Hans Jörg Sandkühler (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Meiner, Hamburg 2010, Bd. 2, S. 1462ff.
25. Peter Schroeder-Heister: Logik, mehrwertige. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 5, Metzler 2013, S. 62.
26. Peter Schroeder-Heister: Logik, mehrwertige. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 5, Metzler 2013, S. 63.
27. Carl Friedrich von Weizsäcker: Komplementarität und Logik. In: Die Naturwissenschaften 42, 1955, S. 521–529 u. 545–555.
28. Peter Mittelstaedt: Quantenlogik. In: Fortschritte der Physik 9, 1961, S. 106–147.
29. Am Ende seines letzten Buches Philosophical Foundations of Physics (New York 1966, dt. Ausgabe Einführung in die Philosophie der Naturwissenschaft. München 1969, 2. Aufl. 1974, S. 286) äußert sich Carnap zu den Arbeiten von Birkhoff und von Neumann: „Hier berühren wir tiefliegende, noch ungelöste Probleme. […] Es ist schwer vorherzusagen, wie die Sprache der Physik sich ändern wird. Aber ich bin überzeugt, dass zwei Tendenzen, die im Verlaufe des letzten halben Jahrhunderts zu großen Verbesserungen in der Sprache der Mathematik geführt haben, in gleicher Weise die Sprache der Physik schärfen und klären werden; die Anwendung der modernen Logik und Mengenlehre und die Verwendung der axiomatischen Methode in ihrer modernen Form, die eine formalisierte Sprache voraussetzt. In der Physik von heute, in der […] die ganze Begrifflichkeit der Physik diskutiert wird, könnten beide Methoden sich als äußerst nützlich erweisen.“
30. Peter Mittelstaedt: Quantenlogik. In: Fortschritte der Physik 9, 1961, S. 106–147, hier S. 124–128; auch in der ersten Auflage von Peter Mittelstaedt: Philosophische Probleme der modernen Physik. Mannheim 1963, S. 127–133. Jetzt ausführlich in ders.: Quantum Logic. S. 48–98.
31. Peter Mittelstaedt: Time dependent propositions and quantum logic. In: Journal of Phil. Logic 6, 1977, S. 463–472. Carl Friedrich von Weizsäcker: In welchem Sinne ist die Quantenlogik eine zeitliche Logik? In: Jürgen Nitsch, Joachim Pfarr, Ernst-Walther Stachow: Grundlagenprobleme der modernen Physik. Festschrift für Peter Mittelstaedt zum 50. Geburtstag. Mannheim 1981, ISBN 3-411-01600-0, S. 311–317.
32. Zur Verfügbarkeit einer Aussage siehe: Kuno Lorenz: Logik, dialogische. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 5, Metzler 2013, S. 24.
33. Peter Mittelstaedt: Philosophische Probleme der modernen Physik. Mannheim 1986.
34. Maria Luisa Dalla Chiara, Roberto Giuntini: Quantum Logics. Florenz 2008, S. 25.
35. Weizsäcker: Die Einheit der Natur. München 1981, S. 246.
36. Maria Luisa Dalla Chiara, Roberto Giuntini: Quantum Logics. Florenz 2008, S. 25.
37. Sasaki Usa: Lattice theoretic characterisation of affine geometry of arbitrary dimensions. In: Journal of Science. Hiroshima Univ. Series A, 16, Hiroshima 1952, S. 223–238.
38. Richard Joseph Greechie: A non-standard quantum logic with a strong set of states. In: E. G. Beltrametti, Bas van Fraassen (Hrsg.): Current Issues in Quantum Logic (= Ettore Majorana International Science Series. Vol. 8). Plenum, New York 1981, S. 375–380.
39. Wolfgang Stegmüller: Hauptströmungen der Gegenwartsphilosophie. Stuttgart 1975, ISBN 3-520-30905-X, S. 208–220.
40. Wolfgang Stegmüller: Wissenschaftliche Erklärung und Begründung. Berlin/Heidelberg/New York 1969, S. 506.
41. Erhard Scheibe: Die kontingenten Aussagen der Physik. 1964.
42. Ewald Richter: Quantenlogik. 1989.
43. Andreas Kamlah: Ist die Mittelstaedt-Stachowsche Quantendialogik eine analytische Theorie? In: Peter Mittelstaedt, Joachim Pfarr: Grundlagen der Quantentheorie. (= Grundlagen der exakten Naturwissenschaften. Band 1). Mannheim 1980, S. 73–92.
44. Brigitte Falkenburg: Language and Reality. Peter Mittelstaedts contribution to the Philosophy of Physics. In: Foundations of Physics 40, 2010, S. 1171–1188.
45. Maria Luisa Dalla Chiara, Roberto Giuntini: Quantum Logics. Florenz 2008, S. 96–97.