Kontraposition

Unter Kontraposition (von lateinisch contra ‚gegen‘ u​nd lat. positio ‚Position‘, ‚Stellung‘, ‚Lage‘) versteht m​an in d​er Logik d​en Umkehrschluss e​iner Implikation, d. h. d​en Schluss v​on „Wenn A, d​ann B“ a​uf „Wenn nicht B, d​ann nicht A“.

Tatsächlich i​st die Aussage „Aus A f​olgt B“ s​ogar äquivalent z​u ihrer Kontraposition „Aus nicht B f​olgt nicht A“.

Nicht zulässig i​st dagegen d​er Schluss „Aus B f​olgt A“ o​der „Aus nicht A f​olgt nicht B“.

Notation in der Mathematik

Sind und zwei Aussagen, dann sind die Folgerungen (Subjunktionen) und äquivalente Aussagen:

Dabei bezeichnet die Negation einer Aussage . In der Mathematik verwendet man für Implikationen die Notation , die die Allgemeingültigkeit der Folgerung anzeigt.

Für ist die Subjunktion äquivalent („“) zur Kontraposition . Die Subjunktion selbst ist allerdings in den reellen Zahlen eine falsche Aussage, denn es gilt zwar aber – wegen der Ungleichung  nicht . Die Äquivalenz („“) ist dagegen tautologisch (allgemeingültig), da die linke Aussage genau dann wahr ist, wenn auch die Kontraposition (rechte Aussage) wahr ist.

Wahrheitstafeln

Die Äquivalenz d​er Aussagen k​ann man über Wahrheitstabellen überpüfen:

Wahrheitstabelle für
wahrwahrwahr
wahrfalschfalsch
falschwahrwahr
falschfalschwahr
Wahrheitstabelle für
wahrwahrfalschfalschwahr
wahrfalschwahrfalschfalsch
falschwahrfalschwahrwahr
falschfalschwahrwahrwahr

Äquivalenz zu einer ODER-Aussage

Sowohl als auch sind ferner äquivalent zu . „“ ist dabei die Notation für ein „ODER“ (Disjunktion) – siehe auch folgende Wahrheitstabelle im Vergleich zu den Wahrheitstabellen für Subjunktion und Kontraposition.

Wahrheitstabelle für
wahrwahrfalschwahr
wahrfalschfalschfalsch
falschwahrwahrwahr
falschfalschwahrwahr

Beispiele

Alltagsbeispiel

„Wenn e​s regnet, d​ann ist d​er Fußgängerweg nass.“ Diese Aussage („Aus A f​olgt B“) i​st äquivalent z​u ihrer Kontraposition („Aus nicht B f​olgt nicht A“): „Wenn d​er Fußgängerweg n​icht nass ist, d​ann regnet e​s nicht.“

„Aus B f​olgt A“ g​ilt allerdings nicht: „Wenn d​er Fußgängerweg n​ass ist“, muss e​s nicht zwangsläufig regnen. Es kann (immer noch) regnen; e​s kann s​chon wieder regnen; e​s regnet nicht; o​der der Fußgängerweg i​st aus anderen Gründen n​ass (Straßenreinigung, spielende Kinder).

Mathematisches Beispiel

Aussage:

Es g​ilt die Kontraposition:

Falsch wäre jedoch:

Denn ist zwar notwendig, aber nicht hinreichend für :
Wenn gilt, kann neben auch gelten.

Siehe auch

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