Potenzfunktion

Als Potenzfunktionen bezeichnet m​an elementare mathematische Funktionen d​er Form

${\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{r}\qquad a,r\in \mathbb {R} .}$

Graphen einiger Potenzfunktionen

Wenn man nur natürliche oder ganzzahlige Exponenten betrachtet, schreibt man für den Exponenten meistens ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{n}\qquad n\in \mathbb {Z} .}$

Ist der Exponent ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl, so ist der Funktionsterm ${\displaystyle ax^{n}}$ ein Monom.

Spezialfälle

• konstante Funktion: ${\displaystyle f\colon x\mapsto a}$ (für ${\displaystyle r=0}$)
• (homogene) lineare Funktion/Proportionalität: ${\displaystyle f\colon x\mapsto ax}$ (für ${\displaystyle r=1}$)
• Quadratfunktion und Vielfache davon: ${\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{2}}$ (für ${\displaystyle r=2}$)
• Aus den Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten ${\displaystyle r}$ werden die ganzrationalen Funktionen zusammengesetzt, aus denen mit ganzzahligem Exponenten die rationalen Funktionen.
• Für ${\displaystyle r=1/n}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ergeben sich Wurzelfunktionen.

Definitions- und Wertemenge

Die maximal mögliche Definitionsmenge hängt v​om Exponenten ab. Wenn m​an Wurzeln a​us negativen Zahlen n​icht zulässt, d​ann kann s​ie mit d​er folgenden Tabelle angegeben werden:

	r > 0	r < 0
${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$
${\displaystyle r\notin \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

Bei den Wertemengen muss man zusätzlich noch das Vorzeichen von ${\displaystyle a}$ beachten; wenn ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$ ist, kommt es außerdem auch noch darauf an, ob ${\displaystyle r}$ eine gerade oder ungerade Zahl ist:

	r > 0		r < 0
	r gerade oder ${\displaystyle \notin \mathbb {Z} }$	r ungerade	r gerade oder ${\displaystyle \notin \mathbb {Z} }$	r ungerade
a > 0	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$
a < 0	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{-}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

Graphen

Die Graphen der Potenzfunktionen mit natürlichen ${\displaystyle n}$ heißen Parabeln ${\displaystyle n}$-ter Ordnung, die mit ganzzahligen negativen ${\displaystyle n}$ Hyperbeln ${\displaystyle n}$-ter Ordnung. Der Parameter ${\displaystyle a}$ drückt eine Streckung des Graphen bezüglich der ${\displaystyle y}$-Achse um den Faktor ${\displaystyle |a|}$ und außerdem Spiegelung an der ${\displaystyle x}$-Achse aus, falls ${\displaystyle a<0}$ ist.

Hat eine Potenzfunktion die Definitionsmenge ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$, dann besteht ihr Graph aus zwei Ästen, ansonsten gibt es nur einen Ast.

Symmetrie

Nur die Graphen von Potenzfunktionen mit ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$ sind symmetrisch; genauer: sie sind gerade für gerade ${\displaystyle r}$ und ungerade für ungerade ${\displaystyle r}$. Im ersten Fall ist ihr Graph achsensymmetrisch zur ${\displaystyle y}$-Achse, im zweiten ist er punktsymmetrisch zum Ursprung.

Verhalten für x → ±∞ und x → 0

Alle Potenzfunktionen ${\displaystyle x^{r}}$ mit positiven Exponenten haben eine Nullstelle bei ${\displaystyle x=0}$, steigen (aber immer langsamer als die Exponentialfunktion ${\displaystyle e^{x}}$) und gehen gegen ${\displaystyle +\infty }$ für ${\displaystyle x\to +\infty }$. Für ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$ ergibt sich das Verhalten für ${\displaystyle x\to -\infty }$ aus der Symmetrie.

Alle Potenzfunktionen ${\displaystyle x^{r}}$ mit negativen Exponenten gehen gegen ${\displaystyle +\infty }$ für ${\displaystyle x\to 0\;(x>0)}$. Sie fallen und gehen gegen ${\displaystyle 0}$ für ${\displaystyle x\to +\infty }$.

Stetigkeit, Ableitung und Integration

Jede Potenzfunktion ${\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{r}}$ ist stetig auf ihrer Definitionsmenge.

Die zugehörige Ableitungsfunktion i​st (siehe Potenzregel)

${\displaystyle f'\colon x\mapsto arx^{r-1}.}$

Diese Formel gilt für alle ${\displaystyle x\neq 0}$ und alle ${\displaystyle r}$, wenn ${\displaystyle x^{r}}$ nur an der Stelle ${\displaystyle x}$ definiert ist. Sie gilt auch an der Stelle ${\displaystyle x=0}$, wenn ${\displaystyle r\geq 1}$ ist. Für ${\displaystyle 0<r<1}$ ist die Funktion ${\displaystyle x\mapsto a\,x^{r}}$ stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle ${\displaystyle x=0}$.

Zum Beispiel ist ${\displaystyle (x{\sqrt[{3}]{x^{2}}})'={\tfrac {5}{3}}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}$ gültig in ganz ${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$ (bzw. sogar in ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$, wenn man ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen zulässt – siehe unten).

Für eine beliebige nicht negative rationale Zahl ${\displaystyle r\neq -1}$ ist die Formel

${\displaystyle \int x^{r}\;dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C}$

für alle Intervalle, die Teilmengen der Definitionsmenge sind, gültig. Für ${\displaystyle r=-1}$ gilt

${\displaystyle \int x^{-1}\;dx=\int {\frac {1}{x}}\;dx=\ln(|x|)+C}$

Zum Beispiel gilt:

${\displaystyle \int x{\sqrt[{3}]{x^{2}}}\;dx=\int x^{5/3}\;dx=3/8~x^{8/3}+C=3/8~x^{2}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}+C}$.

Potenzfunktionen mit Wurzeln aus negativen Zahlen

In diesem Abschnitt werden n​ur Potenzfunktionen m​it rationalem Exponenten betrachtet, b​ei denen d​er Nenner d​es gekürzten Exponenten ungerade ist, u​nd es w​ird erklärt, w​ie man d​eren Definitionsmenge a​uf negative Zahlen erweitern kann. Im Folgenden w​ird dann erläutert, welche d​er oben erwähnten Eigenschaften d​er Funktionen dadurch geändert werden.

Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen

(→ Siehe a​uch Potenz)

In den bisherigen Abschnitten wurde die in vielen Schulbüchern übliche Konvention verwendet, dass Wurzeln nur für nicht-negative Radikanden definiert sind. Man kann jedoch auch ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen zulassen. Für ungerades ${\displaystyle n}$ und beliebiges ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ definiert man, analog zur bekannten Definition für positive Radikanden:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ist diejenige (eindeutige) reelle Zahl ${\displaystyle y}$, für die ${\displaystyle y^{n}=x}$ gilt.

Beispielsweise wäre nach dieser Definition die Lösung der Gleichung ${\displaystyle x^{3}=-8}$ gegeben durch ${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-8}}=-2}$ (wohingegen man nach der üblichen Definition ohne Wurzeln aus negativen Zahlen ${\displaystyle x=-{\sqrt[{3}]{8}}=-2}$ schreiben müsste).

Definitions- und Wertemenge

Bei Potenzfunktionen mit den eingangs erwähnten Eigenschaften kann man nun den Definitionsbereich auf negative ${\displaystyle x}$ erweitern : Sei ${\displaystyle r=n/m}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle m}$ dabei ungerade, und seien ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ teilerfremd, dann gilt:

${\displaystyle x^{r}={\sqrt[{m}]{x^{n}}}}$ ${\displaystyle {\qquad }}$ (oder, was äquivalent ist, ${\displaystyle {\quad }}$ ${\displaystyle x^{r}=({\sqrt[{m}]{x}})^{n}}$).

(Anmerkung: Ist ${\displaystyle m=1}$, dann ergibt dies wieder eine Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten.)

Für ${\displaystyle n>0}$ ist die Definitionsmenge dieser Funktion dann gleich ${\displaystyle \mathbb {R} }$, für ${\displaystyle n<0}$ ist sie gleich ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$.

Für die Wertemenge muss man wieder das Vorzeichen von ${\displaystyle a}$ beachten. Außerdem kommt es nun auch noch darauf an, ob eine der Zahlen ${\displaystyle m}$ oder ${\displaystyle n}$ gerade ist (d. h. das Produkt ${\displaystyle mn}$ gerade ist) oder ob diese beiden Zahlen ungerade sind (d. h. das Produkt ${\displaystyle mn}$ ungerade ist):

	n > 0		n < 0
	${\displaystyle mn}$ gerade	${\displaystyle mn}$ ungerade	${\displaystyle mn}$ gerade	${\displaystyle mn}$ ungerade
a > 0	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$
a < 0	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{-}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

Symmetrie und Verhalten für x → ±∞ und x → 0

Für die Symmetrie gilt ähnliches wie bei ganzzahligen Exponenten: die Funktion ist gerade für gerade ${\displaystyle n}$ und ungerade für ungerade ${\displaystyle n}$. Ihr Verhalten für ${\displaystyle x\to 0\;(x<0)}$ und für ${\displaystyle x\to -\infty }$ ist dann von ihren Symmetrieeigenschaften und von ihrem Verhalten auf der rechten Halbachse definiert.

Anwendungen

Potenzfunktionen h​aben vielfältige Anwendungen i​n Wirtschaft, Natur u​nd Technik:

• Proportionalitäten ${\displaystyle (r=1)}$ tauchen in vielen Zusammenhängen auf:
  • Kosten und Warenmenge (ohne Mengenrabatt)
  • Umrechnung zwischen Währungen
  • Kreisumfang und Radius
  • Masse und Volumen (bei konstanter Dichte)
  • vergangene Zeit und zurückgelegte Wegstrecke (bei konstanter Geschwindigkeit)
  • gefahrene Wegstrecke und verbrauchte Kraftstoffmenge (bei konstantem Verbrauch)
  • Kraft und Beschleunigung (bei konstanter Masse)
  • Dehnung eines Körpers und angreifende Kraft (in gewissen Grenzen, siehe Hookesches Gesetz)
• Praktisch genauso häufig kommen reziproke Proportionalitäten ${\displaystyle (r=-1)}$ vor (auch indirekte oder Anti-Proportionalität genannt):
  • Arbeiterzahl und Arbeitszeit
  • benötigte Zeit für eine Wegstrecke und (konstanter) Geschwindigkeit
  • benötigte Kraft und Länge eines Hebels (Hebelgesetz)
  • Masse und benötigte Kraft für gegebene Beschleunigung
• Viele Größen in Geometrie und Physik hängen quadratisch voneinander ab ${\displaystyle (r=2)}$:
  • Flächeninhalt eines Quadrats und seine Seitenlänge
  • Flächeninhalt eines Kreises und sein Radius
  • Spannenergie und Dehnung eines Körpers
  • Bewegungsenergie und Geschwindigkeit
  • zurückgelegte Wegstrecke und Zeit bei gleichmäßiger Beschleunigung
  • elektrische Leistung und Stromstärke bei gegebenem Widerstand
  • Luftwiderstandskraft und Geschwindigkeit bei turbulenter Strömung
• Die dritte Potenz ${\displaystyle (r=3)}$ tritt beispielsweise in der Geometrie häufig auf:
  • Radius und Volumen einer Kugel
  • Seitenlänge und Volumen eines Würfels
• Einige physikalische Größen hängen in der vierten Potenz miteinander zusammen ${\displaystyle (r=4)}$:
  • Strahlungsleistung eines schwarzen Körpers und seine absolute Temperatur (Stefan-Boltzmann-Gesetz)
  • Streuquerschnitt für Lichtstreuung und Lichtfrequenz (die u. a. für die blaue Farbe des Himmels verantwortliche Rayleigh-Streuung)
  • Volumenstrom durch ein dünnes Rohr und Rohrradius (Gesetz von Hagen-Poiseuille)
• Auch nicht-ganzzahlige Potenzen kommen in vielen Zusammenhängen vor:
  • Zusammenhang zwischen Druck, Volumen und absoluter Temperatur bei adiabatischen Zustandsänderungen (siehe auch Adiabatenexponent)
  • Zusammenhang zwischen großer Halbachse ${\displaystyle a}$ und Umlaufzeit ${\displaystyle T}$ von Planeten bzw. Monden (3. Kepler-Gesetz)
  • Skalengesetze, beispielsweise bei Phasenübergängen, aber auch in der Biologie
  • In der Geometrie gilt für den Zusammenhang zwischen Oberflächeninhalt und Rauminhalt eines Würfels: ${\displaystyle V=(O/6)^{3/2}}$; eine ähnliche Formel ergibt sich bei einer Kugel.
  • Bei einem Universum, das mit einer homogenen Substanz erfüllt ist, die eine Zustandsgleichung der Form ${\displaystyle p=w\rho }$ erfüllt, ergibt sich für die Zeitabhängigkeit des Skalenfaktors aus den Friedmann-Gleichungen: ${\displaystyle a(t)\sim t^{2/3(1+w)}}$.

Literatur

• Karl-Heinz Pfeffer: Analysis für Fachoberschulen. Vieweg+teubner 2005, ISBN 3-528-54006-0, S. 104 (eingeschränkte Online-Kopie in der Google-Buchsuche)
• Wolfgang Brauch, Hans-Joachim Dreyer, Wolfhart Haacke: Mathematik für Ingenieure. Vieweg+Teubner 2006, ISBN 3-8351-0073-4, S. 104 (eingeschränkte Online-Kopie in der Google-Buchsuche)
• Horst Stöcker: Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. Harri Deutsch Verlag 2009, ISBN 978-3-8171-1812-0, S. 146 (eingeschränkte Online-Kopie in der Google-Buchsuche)

Weblinks

• Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten (pdf; 373 kB)
• Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten (pdf; 105 kB) – ZUM-Materialien zur Potenzfunktion