Skalenfaktor

Der Skalenfaktor ${\displaystyle a}$ ist ein kosmologischer Parameter des Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Modells. Er ist eine Funktion der Zeit und gibt die relative Expansion des Universums an, d. h., er stellt einen Zusammenhang her zwischen physikalischen Koordinaten ${\displaystyle D}$ und mitbewegten Koordinaten ${\displaystyle D_{c}}$:

${\displaystyle a(t)={\frac {D(t)}{D_{c}}}.}$

Der Skalenfaktor kann im Prinzip die Einheit einer Länge haben oder dimensionslos sein. In der modernen Kosmologie wird er meistens dimensionslos gewählt, sodass gilt:

${\displaystyle a(t_{0})=1.}$

Die Zeit t wird von der Entstehung des Universums an gemessen und ${\displaystyle t_{0}}$ stellt das heutige Alter des Universums mit (13,7 ± 0,2) Milliarden Jahren dar.

Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors wird durch die Formeln der allgemeinen Relativitätstheorie bestimmt, welche im Falle eines lokal isotropen und lokal homogenen Universums durch die Friedmann-Gleichungen dargestellt sind. Die Ableitung des Skalenfaktors nach der Zeit kann mit dem Expansionsfaktor E berechnet werden:

${\displaystyle {\dot {a}}(t)=H(t)a(t)=E(t)H(t_{0})a(t)}$

Der Skalenfaktor und seine zeitliche Änderung definieren den Hubble-Parameter:

${\displaystyle H(t)={\frac {{\dot {a}}(t)}{a(t)}}.}$

Auch die weiteren Ableitungen werden benötigt, mit der Kosmologischen Konstante Λ:

${\displaystyle {\ddot {a}}(t)=({\dot {H}}(t)+H(t)^{2})a(t)}$

${\displaystyle {\dot {H}}(t)={\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}-H(t)^{2}={\frac {c^{2}\Lambda }{2}}-1,5H(t)^{2}.}$

In der Literatur wird gerne der Beschleunigungs-, Akzelerations-, Dezelerations-, Brems- oder auch Verzögerungsparameter q verwendet:

${\displaystyle q(t)={\frac {-a(t){\ddot {a}}(t)}{{\dot {a}}(t)^{2}}}=-1-{\frac {{\dot {H}}(t)}{H(t)^{2}}}={\frac {{\ddot {a}}(t)}{H(t)^{2}a(t)}}.}$

Literatur

• Arnold Hanslmeier: Einführung in Astronomie und Astrophysik, Spektrum Akademischer Verlag, 2. Auflage 2007, ISBN 978-3-8274-1846-3