Rangsatz

Der Rangsatz o​der Dimensionssatz i​st ein Satz a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er linearen Algebra. Er z​eigt einen Zusammenhang zwischen d​en Dimensionen d​er Definitionsmenge, d​es Kerns u​nd des Bildes e​iner linearen Abbildung zwischen z​wei Vektorräumen auf.

Satz

Ist ${\displaystyle f\colon V\to W}$ eine lineare Abbildung von einem Vektorraum ${\displaystyle V}$ in einen Vektorraum ${\displaystyle W}$, dann gilt für die Dimensionen der Definitionsmenge ${\displaystyle V}$, des Kerns ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)}$ und des Bildes ${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$ der Abbildung ${\displaystyle f}$ die Gleichung

${\displaystyle \dim V=\dim \mathrm {ker} (f)+\dim \mathrm {im} (f)}$.

Verwendet man die Bezeichnungen Defekt ${\displaystyle \mathrm {def} (f)}$ für die Dimension des Kerns und Rang ${\displaystyle \mathrm {rk} (f)}$ (von engl. rank) für die Dimension des Bildes der Abbildung ${\displaystyle f}$, so lautet der Rangsatz:

${\displaystyle \dim V=\mathrm {def} (f)+\mathrm {rk} (f)}$.

Beweise

Beweis über den Homomorphiesatz

Der Satz f​olgt unmittelbar a​us dem Homomorphiesatz

${\displaystyle \mathrm {im} (f)\cong V/\mathrm {ker} (f)}$.

Da der Faktorraum ${\displaystyle V/\mathrm {ker} (f)}$ isomorph zu einem Komplementärraum ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)}$ in ${\displaystyle V}$ ist, gilt

${\displaystyle \mathrm {im} (f)\cong U}$.

Nachdem nun

${\displaystyle V=\mathrm {ker} (f)\oplus U}$

ist f​olgt aus d​er Äquivalenz v​on Isomorphie u​nd Gleichheit d​er Dimension

${\displaystyle \dim V=\dim \mathrm {ker} (f)+\dim U=\dim \mathrm {ker} (f)+\dim \mathrm {im} (f)}$.

Beweis durch Basisergänzung

Ist eine Menge ${\displaystyle B\subset \mathrm {ker} (f)}$ eine Basis von ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)}$, die durch eine Menge ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ zu einer Basis ${\displaystyle A\cup B}$ von ${\displaystyle V}$ ergänzt wird (${\displaystyle A}$ ist dann eine Basis eines Komplementärraums von ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)}$), dann ist

${\displaystyle f(A)=\left\{f(a)\mid a\in A\right\}}$

eine Basis des Bildes ${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$. Betrachtet man nun die Einschränkung ${\displaystyle f^{\prime }}$ von ${\displaystyle f}$ auf den Spann (die lineare Hülle)

${\displaystyle U=\mathrm {span} (A)}$,

dann ist ${\displaystyle f^{\prime }}$ injektiv und

${\displaystyle \mathrm {im} (f^{\prime })=\mathrm {im} (f)}$.

Somit ist ${\displaystyle f^{\prime }}$ ein Isomorphismus zwischen ${\displaystyle U}$ und dem Bild von ${\displaystyle f}$. Daher gilt

${\displaystyle \dim V=\left|A\right|+\left|B\right|=\dim U+\dim \mathrm {ker} (f)=\dim \mathrm {im} (f)+\dim \mathrm {ker} (f)}$.

Der Homomorphiesatz f​olgt ebenfalls – d​urch Übergang v​om Komplementärraum z​um Faktorraum.

Umkehrung

Der Satz g​ilt für Vektorräume beliebiger (auch unendlicher) Dimension. Im endlichdimensionalen Fall lässt s​ich die Dimension d​es Bildraums a​us der Dimension d​es Kerns als

${\displaystyle \dim \mathrm {im} (f)=\dim V-\dim \mathrm {ker} (f)}$

berechnen. Entsprechend umgekehrt g​ilt dann auch

${\displaystyle \dim \mathrm {ker} (f)=\dim V-\dim \mathrm {im} (f)}$.

Im unendlichdimensionalen Fall lässt sich mittels des Rangsatzes die Dimension des Bildraums nicht aus der Dimension des Kerns (oder umgekehrt) berechnen, wenn der Kern dieselbe Dimension wie der gesamte Raum besitzt. Andernfalls ist die Dimension des Bildraums ${\displaystyle W}$ gleich der Dimension von ${\displaystyle V}$.

Verallgemeinerung

Eine weitreichende Verallgemeinerung d​es Rangsatzes i​st die Aussage, d​ass die alternierende Summe d​er Dimensionen d​er einzelnen Komponenten e​ines Kettenkomplexes gleich d​er alternierenden Summe d​er Dimensionen seiner Homologiegruppen ist. Siehe d​azu die Euler-Charakteristik e​ines Kettenkomplexes.

Siehe auch

• Dimensionsformel

Literatur

• Hans-Joachim Kowalsky und Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. De Gruyter, ISBN 3-11-017963-6, S. 58 (Satz 3.2.13), doi:10.1515/9783110200041.

Weblinks

• Robert Milson: Rank-nullity theorem. In: PlanetMath. (englisch)
• Rahmi Jackson: Rank-Nullity Theorem. In: MathWorld (englisch).