Kongruenzrelation

In d​er Mathematik, genauer d​er Algebra, n​ennt man e​ine Äquivalenzrelation a​uf einer algebraischen Struktur e​ine Kongruenzrelation, w​enn die fundamentalen Operationen d​er algebraischen Struktur m​it dieser Äquivalenzrelation verträglich sind.

Definitionen

Kongruenzrelation und Quotientenalgebra

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ${\displaystyle A}$ hat nicht notwendigerweise etwas mit der Struktur zu tun, die darauf definiert ist. Speziell in der Algebra sind jedoch solche Äquivalenzrelationen ${\displaystyle \equiv }$ von besonderem Interesse, deren (surjektive) Quotientenabbildung

${\displaystyle \mathrm {q} _{\equiv }\colon \,A\twoheadrightarrow A/{\equiv },\,a\mapsto [a]_{\equiv },}$

mit der algebraischen Struktur ${\displaystyle \mathbf {A} =(A,(f_{i})_{i\in I})}$ verträglich bzw. ein Homomorphismus ist. Denn dann ist die von ${\displaystyle \mathrm {q} _{\equiv }}$ induzierte Struktur auf der Quotientenmenge ${\displaystyle A/{\equiv }}$, die sogenannte Faktor- oder Quotientenalgebra ${\displaystyle \mathbf {A} /{\equiv }:=(A/{\equiv },(f_{i,\equiv })_{i\in I})}$ von ${\displaystyle \mathbf {A} }$ nach ${\displaystyle \equiv }$ mit Operationen ${\displaystyle f_{i,\equiv }}$,

${\displaystyle f_{i,\equiv }([a_{1}]_{\equiv },\dotsc ,[a_{n_{i}}]_{\equiv }):=[f_{i}(a_{1},\dotsc ,a_{n_{i}})]_{\equiv }}$ für alle ${\displaystyle a_{1\!\;\!},\dotsc ,a_{n_{i}\!}\in A}$ und jedes ${\displaystyle i\in I}$,

von der gleichen Art wie die von ${\displaystyle A}$.

Man nennt eine solche Äquivalenzrelation ${\displaystyle \equiv }$ eine Kongruenzrelation auf ${\displaystyle \mathbf {A} }$ und zwei Elemente ${\displaystyle a,b\in A}$ kongruent nach ${\displaystyle \equiv }$, wenn sie bezüglich ${\displaystyle \equiv }$ äquivalent sind:

${\displaystyle a\equiv b\iff [a]_{\equiv }=[b]_{\equiv }}$.

Die Äquivalenzklasse ${\displaystyle [a]_{\equiv }}$ von jedem ${\displaystyle a\in A}$ heißt dann Kongruenzklasse.

Eine Äquivalenzrelation ${\displaystyle \equiv }$ auf ${\displaystyle A}$ ist genau dann eine Kongruenzrelation auf einer algebraischen Struktur ${\displaystyle \mathbf {A} =(A,(f_{i})_{i\in I})}$, wenn alle fundamentalen Operationen ${\displaystyle f_{i}}$, ${\displaystyle i\in I}$, verträglich sind mit ${\displaystyle \equiv }$, d. h. für alle ${\displaystyle a_{1\!\;\!},\dotsc ,a_{n_{i}\!\;\!},b_{1},\dotsc ,b_{n_{i}\!}\in A}$, ${\displaystyle n_{i}\in \mathbb {N} }$, mit ${\displaystyle a_{1\!}\equiv b_{1},\dotsc ,a_{n_{i}\!}\equiv b_{n_{i}\!}}$ gilt:

${\displaystyle f_{i}(a_{1},\dotsc ,a_{n_{i}\!\;\!})\equiv f_{i}(b_{1},\dotsc ,b_{n_{i}\!\;\!})}$.

Kern eines Homomorphismus

Sind ${\displaystyle \mathbf {A} =(A,(f_{i})_{i\in I})}$ und ${\displaystyle \mathbf {B} =(B,(g_{i})_{i\in I})}$ zwei algebraische Strukturen gleicher Art und ist ${\displaystyle \varphi \colon \,\mathbf {A} \to \mathbf {B} }$ ein Homomorphismus dieser Art, dann ist der Kern von ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \ker \varphi$ :=\varphi ^{-1}\circ \varphi =\{(a,b)\in A\times A\mid \varphi (a)=\varphi (b)\}=\colon \equiv }

eine Kongruenzrelation ${\displaystyle \equiv }$ auf ${\displaystyle \mathbf {A} }$ und für alle ${\displaystyle a\in A}$ gilt:

${\displaystyle [a]_{\equiv }=\varphi ^{-1}(\{\varphi (a)\})=\varphi ^{-1}(\varphi (\{a\}))=\ker \varphi (\{a\})}$.

${\displaystyle \varphi }$ lässt sich wie folgt in einen surjektiven, einen bijektiven sowie einen injektiven Homomorphismus zerlegen (Homomorphiesatz):

${\displaystyle \varphi =\mathrm {i} _{\varphi }\circ \varphi ^{\equiv \!}\circ \mathrm {q} _{\equiv }}$

mit ${\displaystyle \varphi ^{\equiv }\colon \,A/{\equiv }\;{\!\;\twoheadrightarrow \;\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\rightarrowtail }\;\varphi (A),\,[a]_{\equiv }\mapsto \varphi (a),}$ und der Inklusionsabbildung ${\displaystyle \mathrm {i} _{\varphi }\colon \,\varphi (A)\rightarrowtail B,\,\varphi (a)\mapsto \varphi (a)}$.

Verallgemeinerung

Quotientenstruktur

Allgemein spielen diejenigen Äquivalenzrelationen ${\displaystyle \equiv }$ auf einer Menge ${\displaystyle A}$ eine wichtige Rolle, deren Quotientenabbildung

${\displaystyle \mathrm {q} _{\equiv }\colon \,A\twoheadrightarrow A/{\equiv },\,a\mapsto [a]_{\equiv },}$

mit der Struktur ${\displaystyle \mathbf {A} =(A,(R_{i})_{i\in I})}$ auf ${\displaystyle A}$ verträglich bzw. ein Homomorphismus ist.

Die durch ${\displaystyle \mathrm {q} _{\equiv }}$ gegebene Struktur auf der Quotientenmenge ${\displaystyle A/{\equiv }}$, die sogenannte Faktor- oder Quotientenstruktur ${\displaystyle \mathbf {A} /{\equiv }:=(A/{\equiv },(R_{i,\equiv })_{i\in I})}$ mit Relationen ${\displaystyle R_{i,\equiv }}$,

${\displaystyle ([a_{1}]_{\equiv },\dotsc ,[a_{n_{i}}]_{\equiv })\in R_{i,\equiv }\;:\!\iff (a_{1},\dotsc ,a_{n_{i}})\in R_{i}\;\;}$ für jedes ${\displaystyle i\in I}$,

ist dann wieder von der gleichen Art wie die von ${\displaystyle A}$.

Insbesondere sind dann auch alle zu ${\displaystyle \mathbf {A} }$ gehörenden Funktionen mit ${\displaystyle \equiv }$ verträglich.

Spezielle Kongruenzen

Normalteiler einer Gruppe

Bezeichne nun ${\displaystyle \mathbf {G} =(G,*)}$ eine Gruppe, ${\displaystyle e}$ deren neutrales Element und ${\displaystyle \mathbf {N} =(N,*)}$ eine beliebige normale Untergruppe von ${\displaystyle \mathbf {G} }$.

Für jedes ${\displaystyle a\in G}$ sei

${\displaystyle aN:=\{a*n\mid n\in N\}}$

die zugehörige Nebenklasse des Normalteilers ${\displaystyle N}$.[1] Mit

${\displaystyle G/N:=\{aN\mid a\in G\}}$

und dem Komplexprodukt ${\displaystyle \cdot }$ bildet dann ${\displaystyle \mathbf {G} /N:=(G/N,\cdot )}$ eine Gruppe mit dem neutralen Element ${\displaystyle N=eN}$: die Faktorgruppe von ${\displaystyle \mathbf {G} }$ nach ${\displaystyle N}$.

Weil aber

${\displaystyle \varphi _{N}\colon \,\mathbf {G} \to \mathbf {G} /N,\,a\mapsto aN,}$

ein Gruppenhomomorphismus ist, ist

${\displaystyle \equiv _{N\,}:=\ker \varphi _{N}}$

eine Kongruenzrelation auf ${\displaystyle \mathbf {G} }$ und für alle ${\displaystyle a,b\in G}$ gilt:

${\displaystyle a\equiv _{N\!}b\iff \varphi _{N}(a)=\varphi _{N}(b)\iff aN=bN}$.

Umgekehrt liefert jede beliebige Kongruenzrelation ${\displaystyle \equiv }$ auf ${\displaystyle \mathbf {G} }$ genau einen Normalteiler ${\displaystyle [e]_{\equiv }}$ in ${\displaystyle \mathbf {G} }$.

Bei einer Gruppe entsprechen also die Normalteiler genau den Kongruenzrelationen. Daher wird für einen beliebigen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon \,\mathbf {G} \to \mathbf {H} }$ auch der Normalteiler

${\displaystyle [e]_{\equiv }=\ker \varphi (\{e\})}$

als der Kern von ${\displaystyle \varphi }$ bezeichnet.

Kongruenz nach einem Modul

Eine additive abelsche Gruppe ${\displaystyle \mathbf {G} =(G,+)}$ nennt man einen Modul (von lat. modulus Maß). Da jede Untergruppe ${\displaystyle \mathbf {M} =(M,+)}$ von ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ein Modul und zudem normal ist, entsprechen die Trägermengen der Untergruppen[1] genau den Kongruenzrelationen auf einem Modul.

Dies g​ilt ebenso für d​ie Trägermengen d​er Untermoduln e​ines Moduls über e​inem Ring u​nd insbesondere a​uch für d​ie Untervektorräume e​ines Vektorraumes.

Man bezeichnet für alle ${\displaystyle a\in G}$ die Nebenklasse

${\displaystyle a+M:=\{a+m\mid m\in M\}}$

als Restklasse nach ${\displaystyle M}$ oder Restklasse modulo ${\displaystyle M}$ (von lat. modulō, Ablativ zu modulus) und die Faktorgruppe ${\displaystyle \mathbf {G} /M:=(G/M,+)}$ heißt Restklassenmodul von ${\displaystyle \mathbf {G} }$ nach ${\displaystyle M}$.

Wenn zwei Elemente ${\displaystyle a,b\in G}$ kongruent nach ${\displaystyle \equiv _{M}}$ sind, dann nennt man sie auch kongruent nach dem Modul ${\displaystyle M}$[1] oder kongruent modulo ${\displaystyle M}$ und schreibt dies

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {M}}\quad }$ oder ${\displaystyle \quad a\equiv b\mod M\quad }$ oder kurz ${\displaystyle \quad a\equiv b\;\;(M)}$.

Es gilt:

${\displaystyle a\equiv b\mod M\;\;\iff \;\;-b+a\in M}$.

Ist ${\displaystyle M}$ einfach erzeugt in ${\displaystyle G}$, also ${\displaystyle M=\langle m\rangle$ :=\{\zeta m\mid \zeta \in \mathbb {Z} \}} für ein ${\displaystyle m\in G}$, dann sagt man auch, dass ${\displaystyle a,b}$ kongruent modulo ${\displaystyle m}$ sind und notiert

${\displaystyle a\equiv b\mod m}$.

Beispiele

Identitätsrelation

Für jede algebraische Struktur ${\displaystyle \mathbf {A} =(A,(f_{i})_{i\in I})}$ ist die durch den Graphen der identischen Abbildung ${\displaystyle \operatorname {id} _{A}}$ auf ${\displaystyle A}$ gegebene Äquivalenzrelation, die Gleichheits- oder Identitätsrelation

${\displaystyle \mathrm {I} _{A}:=\{(a,b)\in A\times A\mid a=b\}=\{(a,a)\mid a\in A\}}$,

eine Kongruenzrelation auf ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Allrelation

Auf ${\displaystyle \mathbf {A} =(A,(f_{i})_{i\in I})}$ seien nun jeweils zwei beliebige Elemente äquivalent. Dadurch ist eine Äquivalenzrelation gegeben, die sogenannte All- oder Universalrelation

${\displaystyle \mathrm {U} _{A}:=A\times A=\{(a,b)\mid a,b\in A\}}$,

auch sie ist eine Kongruenzrelation auf ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Ringideale

Jeder Ring ${\displaystyle \mathbf {R} =(R,+,\cdot )}$ ist ein Modul ${\displaystyle (R,+)}$ über sich selbst und die Trägermengen der zugehörigen Untermoduln sind genau die Ideale des Ringes, daher entsprechen die Ringideale genau den Kongruenzrelationen auf ${\displaystyle \mathbf {R} }$.

L^p-Raum

Im Vektorraum ${\displaystyle ({\mathcal {L}}^{p},+)}$ der ${\displaystyle p}$-fach integrierbaren Funktionen, ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$, ist

${\displaystyle {\mathcal {U}}_{0}:=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}\mid f(x)=0}$ fast überall${\displaystyle \}}$

Trägermenge eines Unterraums von ${\displaystyle ({\mathcal {L}}^{p},+)}$.

Den Quotientenvektorraum

${\displaystyle (L^{p},+):=({\mathcal {L}}^{p\!}/{\mathcal {U}}_{0},+)}$

bezeichnet man als ${\displaystyle L^{p\!}}$-Raum.

Kongruenz ganzer Zahlen

„Kongruenz“ nannte man ursprünglich jede auf dem Hauptidealring der ganzen Zahlen ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$ definierte Kongruenz zweier ganzer Zahlen ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ modulo einer weiteren ganzen Zahl ${\displaystyle \mu }$:

${\displaystyle \alpha \equiv \beta \mod \mu \;\;\iff \;\;\alpha -\beta \in (\mu ):=\mathbb {Z} \mu =\{\zeta \mu \mid \zeta \in \mathbb {Z} \}}$.

${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ sind genau dann kongruent modulo ${\displaystyle \mu }$, wenn sie denselben Rest bei Division durch ${\displaystyle \mu }$ haben.

Weitere Kongruenzbegriffe

• Kongruente Zahl
• Kongruenz (Geometrie)

Literatur

• Stanley Burris, H. P. Sankappanavar: A Course in Universal Algebra. Millennium Edition. 2012 Update, ISBN 978-0-9880552-0-9 (math.uwaterloo.ca [PDF; 4,4 MB]).
• Udo Hebisch, Hanns Joachim Weinert: Halbringe. Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. Teubner, Stuttgart 1993, ISBN 3-519-02091-2.
• Thomas Ihringer: Allgemeine Algebra. Mit einem Anhang über Universelle Coalgebra von H. P. Gumm (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 10). Heldermann, Lemgo 2003, ISBN 3-88538-110-9.
• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte. Bände 1 und 2. 9. und 8. Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1991 und 1992, ISBN 3-423-03007-0 und ISBN 3-423-03008-9.
• B. L. van der Waerden: Algebra. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. Band I (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 9. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1993, ISBN 978-3-642-85528-3, doi:10.1007/978-3-642-85527-6.

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Zwischen einer Gruppe ${\displaystyle \mathbf {G} =(G,*)}$ und ihrer Trägermenge ${\displaystyle G}$ wird in der Literatur meist nicht klar unterschieden.