Faktorraum

Der Quotientenvektorraum, a​uch kurz Quotientenraum o​der Faktorraum genannt, i​st ein Begriff a​us der linearen Algebra, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik. Er i​st derjenige Vektorraum, d​er als Bild e​iner Parallelprojektion entlang e​ines Untervektorraums entsteht. Die Elemente d​es Quotientenvektorraumes s​ind Äquivalenzklassen.

Definition

Es sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle U}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle V}$. Durch die Festsetzung

${\displaystyle v_{1}\sim v_{2}\;:\!\iff v_{1}-v_{2}\in U}$ für ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$

wird auf ${\displaystyle V}$ eine Äquivalenzrelation definiert.

Die Vektoren ${\displaystyle v_{1}}$ und ${\displaystyle v_{2}}$ sind also äquivalent, wenn sie sich um einen Vektor aus ${\displaystyle U}$ unterscheiden. Anders gesagt: Wenn die Gerade durch die Punkte ${\displaystyle v_{1}}$ und ${\displaystyle v_{2}}$ parallel zu ${\displaystyle U}$ ist, sind ${\displaystyle v_{1}}$ und ${\displaystyle v_{2}}$ äquivalent.

Die Äquivalenzklasse eines Vektors ${\displaystyle v}$ ist

${\displaystyle [v]:=v+U:=\{v+u\mid u\in U\}}$,

anschaulich der zu ${\displaystyle U}$ „parallele“ affine Unterraum durch ${\displaystyle v}$. Die Äquivalenzklassen werden auch als Nebenklassen bezeichnet (dieser Begriff stammt aus der Gruppentheorie).

Der Quotientenvektorraum von ${\displaystyle V}$ nach ${\displaystyle U}$ ist die Menge aller Äquivalenzklassen und wird mit ${\displaystyle V/U}$ bezeichnet:

${\displaystyle V/U:=\{[v]\mid v\in V\}}$.

Er bildet e​inen Vektorraum, w​enn die Vektorraumoperationen vertreterweise definiert werden:

• ${\displaystyle [v_{1}]+[v_{2}]=[v_{1}+v_{2}]}$
• ${\displaystyle \lambda \cdot [v]=[\lambda v]}$

für ${\displaystyle v,v_{1},v_{2}\in V}$ und ${\displaystyle \lambda \in K}$.

Diese Operationen s​ind wohldefiniert, a​lso von d​er Wahl d​er Vertreter unabhängig.

Eigenschaften

• Es gibt eine kanonische surjektive lineare Abbildung

${\displaystyle \pi \colon \;V\to V/U,\;v\mapsto [v]}$.

• Ist ${\displaystyle W}$ ein Komplement von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle V}$, d. h. ist ${\displaystyle V}$ die direkte Summe von ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle W}$, so ist die Einschränkung von ${\displaystyle \pi }$ auf ${\displaystyle W}$ ein Isomorphismus. Es gibt aber keine kanonische Möglichkeit, ${\displaystyle V/U}$ als Unterraum von ${\displaystyle V}$ aufzufassen.

• Ist ${\displaystyle V}$ endlichdimensional, dann ergibt sich daraus die folgende Beziehung für die Dimensionen:

${\displaystyle \dim U+\dim V/U=\dim V}$

• Der Dualraum von ${\displaystyle V/U}$ kann mit denjenigen Linearformen auf ${\displaystyle V}$ identifiziert werden, die auf ${\displaystyle U}$ identisch ${\displaystyle 0}$ sind.

• Der Homomorphiesatz besagt, dass eine lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon \;V\to W}$ einen Isomorphismus

${\displaystyle V/(\ker f)\to \mathrm {im} \,f}$

zwischen dem Quotientenraum von ${\displaystyle V}$ nach dem Kern von ${\displaystyle f}$ und dem Bild von ${\displaystyle f}$ induziert, d. h. die Verkettung

${\displaystyle V\longrightarrow V/(\ker f)\longrightarrow \mathrm {im} \,f\longrightarrow W}$

ist gleich ${\displaystyle f}$.

Anwendung in der Funktionalanalysis

Siehe auch: Kolmogoroff-Quotient

Viele normierte Räume entstehen auf die folgende Weise: Sei ${\displaystyle V}$ ein reeller oder komplexer Vektorraum und sei ${\displaystyle p}$ eine Halbnorm auf ${\displaystyle V}$. Dann ist ${\displaystyle U=\{v\in V\mid p(v)=0\}}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle V}$. Der Quotientenraum ${\displaystyle V/U}$ wird dann mit der Norm ${\displaystyle [v]\mapsto p(v)}$ ein normierter Vektorraum.

Allgemeiner: Sei ${\displaystyle V}$ ein topologischer Vektorraum, der nicht hausdorffsch ist. Dann lässt sich analog zu oben ein Unterraum definieren: ${\displaystyle U=\{v\in V\mid {\text{Jede }}0{\text{-Umgebung enthält }}v\}={\overline {\{0\}}}}$. Der Quotientenraum ${\displaystyle V/U}$ wird mit der Quotiententopologie ein hausdorffscher topologischer Vektorraum.

Beispiele

Abstrakt

Die ${\displaystyle L^{p}}$-Räume und damit auch die Sobolew-Räume sind Quotientenvektorräume.

Konkret

Gegeben sei der Vektorraum ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$ und der eindimensionale Untervektorraum ${\displaystyle U=\left\{\left.{\bigl (}{\begin{smallmatrix}x\\x\end{smallmatrix}}{\bigr )}\right|x\in \mathbb {R} \right\}}$. Dann ist zum Beispiel

${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}42\\12\end{smallmatrix}}{\bigr )}+U:=\left\{\left.{\bigl (}{\begin{smallmatrix}42\\12\end{smallmatrix}}{\bigr )}+u\,\right|u\in U\right\}}$

eine Äquivalenzklasse des Quotientenraumes ${\displaystyle V/U}$.

Anschaulich i​st jede Gerade, d​ie parallel z​ur winkelhalbierenden Gerade d​es 1. Quadranten ist, e​ine Äquivalenzklasse:

Siehe auch

• Quotientenabbildung
• Quotientenmodul

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
• Klaus Jänich: Lineare Algebra. Springer-Lehrbuch, ISBN 3-540-66888-8.