Abelsche Kategorie

Im mathematischen Teilgebiet d​er Algebra u​nd angrenzenden Gebieten versteht m​an unter e​iner abelschen Kategorie e​ine Kategorie, d​ie sich i​n einigen wesentlichen Aspekten w​ie die Kategorie d​er abelschen Gruppen verhält. In geringerem Umfang g​ilt dies a​uch für additive Kategorien.

Definition

Es sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine Kategorie zusammen mit der Struktur einer abelschen Gruppe auf jeder Morphismenmenge ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)}$ für Objekte ${\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}}$.

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ist eine präadditive Kategorie, wenn zusätzlich folgende Bedingungen erfüllt sind:

• Die Komposition von Morphismen ist biadditiv, das heißt für Morphismen ${\displaystyle f,f_{1},f_{2}\in \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)}$ und ${\displaystyle g,g_{1},g_{2}\in \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(Y,Z)}$ gilt ${\displaystyle g\circ (f_{1}+f_{2})=(g\circ f_{1})+(g\circ f_{2})}$ bzw. ${\displaystyle (g_{1}+g_{2})\circ f=(g_{1}\circ f)+(g_{2}\circ f)}$, wobei die Additionen in den Morphismengruppen jeweils mit demselben Symbol ${\displaystyle +}$ bezeichnet sind.

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ist eine additive Kategorie, wenn sie präadditiv ist und zusätzlich die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• Es gibt ein Nullobjekt.
• Es gibt endliche Produkte.

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ist eine abelsche Kategorie, wenn sie präadditiv ist und zusätzlich die folgenden (stärkeren) Bedingungen erfüllt sind:

• Es gibt ein Nullobjekt.
• Es gibt (endliche) Biprodukte, d. h. zu je zwei Objekten ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ gibt es ein Objekt ${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2}}$ zusammen mit Morphismen ${\displaystyle p_{\nu }\colon X_{1}\oplus X_{2}\to X_{\nu }}$ und ${\displaystyle i_{\nu }\colon X_{\nu }\to X_{1}\oplus X_{2}}$ für ${\displaystyle \nu =1,2}$, so dass

${\displaystyle p_{\nu }\circ i_{\nu }=\operatorname {id} _{X_{\nu }}}$ und ${\displaystyle i_{1}\circ p_{1}+i_{2}\circ p_{2}=\operatorname {id} _{X_{1}\oplus X_{2}}}$

gilt und dass ${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2}}$ mit ${\displaystyle p_{\nu }}$ ein Produkt bildet und mit ${\displaystyle i_{\nu }}$ ein Koprodukt.

• Es gibt Kerne und Kokerne.
• Jeder Monomorphismus ist ein Kern, jeder Epimorphismus ein Kokern.

Bedeutung

Abelsche Kategorien s​ind ein wichtiges Werkzeug, u​m Aussagen über abelsche Gruppen z​u verallgemeinern; s​o gelten beispielsweise d​as Fünferlemma o​der das Schlangenlemma i​n jeder abelschen Kategorie. Abelsche Kategorien s​ind auch d​er natürliche Kontext für d​ie homologische Algebra.

Eigenschaften

Für abelsche Kategorien gilt:

• Die Kategorie ist ausgeglichen: Ein Morphismus ist genau dann ein Isomorphismus, wenn er ein Monomorphismus und ein Epimorphismus, also ein Bimorphismus, ist.
• Jeder Morphismus besitzt eine im Wesentlichen eindeutige Faktorisierung ${\displaystyle i\circ p}$ in einen Epimorphismus ${\displaystyle p}$ und einen Monomorphismus ${\displaystyle i}$.
• Die Homomorphie- und Isomorphiesätze gelten.

Beispiele

• Jeder unitäre Ring ist die Morphismenmenge einer präadditiven Kategorie mit einem einzigen Objekt.

Additiv ist:

• Die Kategorie Div der teilbaren Gruppen: Der Kern eines Homomorphismus ${\displaystyle f\colon \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to G}$ ist stets das Nullobjekt (mit Nullhomomorphismus), selbst dann, wenn ${\displaystyle f}$ nicht injektiv ist. Daher ist die kanonische Projektion ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ kein Kern, obwohl es sich andererseits um einen Monomorphismus handelt.

Abelsch s​ind beispielsweise:

• Die Kategorie Ab der abelschen Gruppen.
• Die Kategorie der ${\displaystyle K}$-Vektorräume für einen Körper ${\displaystyle K}$.
• Die Kategorie der ${\displaystyle A}$-Moduln für einen Ring ${\displaystyle A}$.
• Die Kategorie der Garben abelscher Gruppen auf einem topologischen Raum.
• Die Kategorie der endlichen abelschen Gruppen, die Kategorie der endlich erzeugten abelschen Gruppen, allgemeiner die Kategorie der endlich erzeugten Moduln über einem noetherschen Ring.

Einbettungssätze

Die e​nge Verwandtschaft z​u den abelschen Gruppen g​eht so weit, d​ass man Objekte e​iner abelschen Kategorie mithilfe e​ines geeigneten Funktors a​ls spezielle abelsche Gruppen auffassen k​ann (Einbettungssatz v​on Mitchell):

• Für jede kleine abelsche Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ gibt es einen exakten treuen Funktor ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab} }$.
• Für jede kleine abelsche Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ gibt es einen Ring ${\displaystyle A}$ und einen volltreuen exakten Funktor von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ in die Kategorie der ${\displaystyle A}$-Moduln.

Geschichte

Erste Ansätze z​ur Definition d​es Begriffes "abelsche Kategorie" stammen v​on S. Eilenberg u​nd S. Mac Lane a​us den frühen 50er Jahren. Der Durchbruch gelang jedoch e​rst mit A. Grothendiecks epochemachendem Artikel Sur quelques points d'algèbre homologique a​us dem Jahre 1957.

Literatur

• Peter Freyd: Abelian Categories. An Introduction to the Theory of Functors. Harper & Row, New York NY u. a. 1964.
• Alexander Grothendieck: Sur quelques points d'algèbre homologique. In: Tohôku Mathematical Journal. Ser. 2, Bd. 9, Nr. 2, 1957, S. 119–221, doi:10.2748/tmj/1178244839.
• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. 5). Springer, New York NY u. a. 1971, ISBN 0-387-90036-5.