Modulhomomorphismus

In der Mathematik ist ein Modulhomomorphismus eine Abbildung ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ zwischen zwei Moduln ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ über einem Ring ${\displaystyle R}$, welche mit der Modulstruktur verträglich ist. Sie übersetzt beispielsweise die Addition von ${\displaystyle M}$ in die Addition von ${\displaystyle N}$. Eine Addition kann man zweifach übersetzen.

1. Man addiert zunächst in ${\displaystyle M}$ und übersetzt dann mit ${\displaystyle f}$.
2. Man übersetzt mit ${\displaystyle f}$ die Summanden und berechnet die Summe in ${\displaystyle N}$.

Bei e​inem Homomorphismus ergibt s​ich stets dasselbe. Ersetzt m​an in d​er Definition d​er linearen Abbildung zwischen Vektorräumen d​en Körper d​urch einen Ring, erhält m​an einen Modulhomomorphismus. Der Ring braucht n​icht kommutativ z​u sein.

Homomorphismus

Definition

Es seien zwei Rechtsmoduln ${\displaystyle M,N}$ über einem Ring ${\displaystyle R}$ gegeben. Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ heißt Homomorphismus von ${\displaystyle M}$ nach ${\displaystyle N}$, wenn für alle ${\displaystyle m_{1},m_{2}\in M}$ und alle ${\displaystyle r\in R}$ gilt:

${\displaystyle f(m_{1}+m_{2})=f(m_{1})+f(m_{2})}$ und ${\displaystyle f(m_{1}\cdot r)=f(m_{1})\cdot r}$

Entsprechend erklärt man den Begriff des Homomorphismus zwischen Linksmoduln: Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ zwischen zwei Linksmoduln ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ über dem Ring ${\displaystyle R}$ heißt Homomorphismus von ${\displaystyle M}$ nach ${\displaystyle N}$, wenn für alle ${\displaystyle m_{1},m_{2}\in M}$ und alle ${\displaystyle r\in R}$ gilt:

${\displaystyle f(m_{1}+m_{2})=f(m_{1})+f(m_{2})}$ und ${\displaystyle f(r\cdot m_{1})=r\cdot f(m_{1})}$

Die Menge der Homomorphismen von ${\displaystyle M}$ nach ${\displaystyle N}$ wird mit ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$ bezeichnet.

Ein Homomorphismus ${\displaystyle f\colon M\rightarrow M}$ von einem Modul ${\displaystyle M}$ in sich selbst heißt Endomorphismus von ${\displaystyle M}$.

Sind ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ zwei ${\displaystyle S}$-${\displaystyle R}$-Bimoduln über Ringen ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$, so heißt eine Abbildung ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ein Homomorphismus von S-R-Bimoduln, wenn für alle ${\displaystyle m_{1},m_{2}\in M,\ s\in S,\ r\in R}$ gilt:

${\displaystyle f(m_{1}+m_{2})=f(m_{1})+f(m_{2})}$ und ${\displaystyle f(s\cdot m\cdot r)=s\cdot f(m\cdot r)=s\cdot f(m)\cdot r}$.

Beispiele

1. Ist ${\displaystyle M}$ ein beliebiger Modul, so gibt es genau einen Homomorphismus ${\displaystyle 0\colon \{0\}\rightarrow M}$, nämlich ${\displaystyle 0\mapsto 0\in M}$. Es ist ${\displaystyle \{0\}}$ ein Anfangsobjekt in der Kategorie der Rechtsmoduln. Genauso gibt es nur einen Homomorphismus ${\displaystyle M\to \{0\}}$, die Nullabbildung (${\displaystyle m\mapsto 0}$ für alle ${\displaystyle m\in M}$). Es ist auch ${\displaystyle \{0\}}$ ein Endobjekt. Man fasst zusammen, wenn man sagt, ${\displaystyle \{0\}}$ ist ein Nullobjekt.
2. Die Identität ${\displaystyle \mathbf {1} _{M}\colon M\to M,\,m\mapsto m}$ ist ein Homomorphismus.
3. Das Zentrum eines Ringes ${\displaystyle R}$ ist die Menge ${\displaystyle Z=\{s\in R\mid s\cdot r=r\cdot s{\text{ für alle }}r\in R\}}$ ist ein Unterring des Ringes ${\displaystyle R}$. Ist ${\displaystyle s}$ im Zentrum des Ringes, so ist ${\displaystyle l(s)\colon M\to M,\,m\mapsto m\cdot s}$ ein Homomorphismus.
4. Sind ${\displaystyle f,g\colon M\rightarrow N}$ zwei Homomorphismen, so ist ihre Summe ${\displaystyle f+g\colon M\to N,\,m\mapsto f(m)+g(m)}$ ein Homomorphismus.

Eigenschaften

• Ist ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ ein Homomorphismus und ist ${\displaystyle V\hookrightarrow N}$ ein Untermodul von ${\displaystyle N}$ so ist ${\displaystyle f^{-1}(V):=\{m\in M\mid f(m)\in V\}}$ ein Untermodul von ${\displaystyle M}$. Insbesondere ist ${\displaystyle f^{-1}(\{0\})}$ ein Untermodul von ${\displaystyle M}$. Dieser Untermodul heißt Kern des Homomorphismus ${\displaystyle f}$. Er wird oft mit ${\displaystyle \operatorname {Kern} (f)}$ oder auch einfach ${\displaystyle \operatorname {Ke} (f)}$ bezeichnet.
• Ist ${\displaystyle U}$ ein Untermodul von ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ein Modulhomomorphismus, so ist ${\displaystyle f(U)=\{f(u)\mid u\in U\}}$ ein Untermodul von ${\displaystyle N}$. Er heißt Bild von ${\displaystyle U}$ unter ${\displaystyle f}$. Insbesondere ist ${\displaystyle f(M)}$, die Bildmenge von ${\displaystyle f}$, ein Untermodul von ${\displaystyle N}$. Er wird oft mit ${\displaystyle \operatorname {Bild} (f)}$ oder einfach ${\displaystyle \operatorname {Bi} (f)}$ bezeichnet.
• Die Verkettung oder Komposition zweier Homomorphismen ist ein Homomorphismus. Die Menge der Moduln über einem Ring bilden zusammen mit den Homomorphismen eine Kategorie.
• Ist ${\displaystyle M}$ ein Modul, so bildet die Menge der Endomorphismen einen unitären Ring. Dabei ist die Addition die Addition der Endomorphismen und die Multiplikation ist die Verkettung.

Monomorphismus

Satz

Für einen Homomorphismus ${\displaystyle f\colon M_{R}\rightarrow N_{R}}$ zwischen Moduln sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${\displaystyle \operatorname {Kern} (f)=\{m\in M\mid f(m)=0\}=\{0\}}$
2. Für alle ${\displaystyle a,b\in M}$ mit ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ist ${\displaystyle a=b}$.
3. ${\displaystyle f}$ ist links kürzbar. Das heißt: Für alle Moduln ${\displaystyle L_{R}}$ und alle Homomorphismen ${\displaystyle g,h:L_{R}\rightarrow M_{R}}$ gilt: ${\displaystyle fg=fh\Rightarrow g=h}$.

Erfüllt ein Homomorphismus ${\displaystyle f\colon M_{R}\rightarrow N_{R}}$ eine und damit alle äquivalenten Eigenschaften des Satzes, so heißt ${\displaystyle f\,}$ Monomorphismus zwischen den Moduln. Die dritte Aussage des Satzes besagt, dass ${\displaystyle f}$ im Sinne der Kategorientheorie ein Monomorphismus ist.

Beispiele

1. Ist ${\displaystyle U\hookrightarrow M}$ ein Untermodul, so ist die Inklusionsabbildung ${\displaystyle \iota \colon U\to M,\,u\mapsto u}$ ein Monomorphismus.
2. Jeder ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Homomorphismus von der Menge der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen, welcher nicht die Nullabbildung ist, ist ein Monomorphismus.

Bemerkungen

1. Sind ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ und ${\displaystyle g\colon N\rightarrow O}$ Monomorphismen, so ist ${\displaystyle g\circ f}$ ein Monomorphismus.
2. Ist ${\displaystyle g\circ f}$ ein Monomorphismus, so ist ${\displaystyle f}$ ein Monomorphismus.
3. Ist ${\displaystyle g\circ f}$ ein Monomorphismus, so ist ${\displaystyle f(M)\cap \operatorname {Kern} (g)=\{0\}}$.

Epimorphismus

Definition

Für einen Modulhomomorphismus ${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$ sind folgende Aussagen äquivalent:

1. ${\displaystyle N/f(M)=0}$. Dabei ist ${\displaystyle N/f(M)}$ der Faktormodul von N modulo f(M).
2. Die Abbildung ${\displaystyle f}$ ist surjektiv.
3. ${\displaystyle f}$ ist rechts kürzbar. Das heißt, für alle Moduln ${\displaystyle P}$ und alle Homomorphismen ${\displaystyle g,h\in \operatorname {Hom} _{R}(N,P)}$ gilt: ${\displaystyle gf=hf\Rightarrow g=h}$.

Ein Homomorphismus, d​er eine u​nd damit a​lle diese Eigenschaften erfüllt, heißt Epimorphismus. Die dritte Eigenschaft d​es Satzes besagt, d​ass der Homomorphismus i​m Sinne d​er Kategorientheorie e​in Epimorphismus ist.

Beispiele

1. Die Identität ${\displaystyle M\to M,\,m\mapsto m}$ ist ein Epimorphismus.
2. Ist ${\displaystyle R}$ ein Integritätsring und ${\displaystyle K}$ sein Quotientenkörper, so ist jeder Homomorphismus ${\displaystyle 0\neq f\in \operatorname {Hom} _{R}(K,K)}$ ein Monomorphismus und ein Epimorphismus.
3. Es sei p eine Primzahl und ${\displaystyle \mathbb {Z} [p^{-1}]=\{z\cdot p^{-i}\mid z\in \mathbb {Z} ,i\in \mathbb {N} \}}$ der kleinste Unterring der rationalen Zahlen, der ${\displaystyle p^{-1}}$ enthält. Ist ${\displaystyle M_{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} [p^{-1}]/\mathbb {Z} }$, so ist jeder Endomorphismus von ${\displaystyle M_{\mathbb {Z} }}$, der ungleich der Nullabbildung ist, ein Epimorphismus. Aber die Multiplikation mit p ist kein Monomorphismus.

Eigenschaften

1. Die Verkettung von Epimorphismen ist ein Epimorphismus.
2. Ist ${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} _{R}(M,N),\quad g\in \operatorname {Hom} _{R}(N,P)}$ und ${\displaystyle gf}$ ein Epimorphismus, so ist ${\displaystyle g}$ ein Epimorphismus und es ist ${\displaystyle \operatorname {Kern} (g)+f(M)=N}$.

Isomorphismen

Ein Homomorphismus ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomorphismus ${\displaystyle g\colon N\rightarrow M}$ gibt, so dass ${\displaystyle g\circ f=\mathbf {1} _{M}}$ und ${\displaystyle f\circ g=\mathbf {1} _{N}}$ ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn ${\displaystyle f}$ ein Monomorphismus und ein Epimorphismus ist. Dabei ist ${\displaystyle \mathbf {1} _{M}}$ die Identität auf dem Modul ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle \mathbf {1} _{N}}$ analog die Identität auf dem Modul ${\displaystyle N}$. Zwei Moduln ${\displaystyle M,N}$ heißen isomorph, in Zeichen ${\displaystyle M\cong N}$, wenn es einen Isomorphismus ${\displaystyle \alpha :M\rightarrow N}$ gibt.

Produktzerlegungen von Homomorphismen

Homomorphiesatz

Ist ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ ein Homomorphismus, so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus ${\displaystyle f^{*}\colon M/\operatorname {Kern} (f)\to N}$, so dass ${\displaystyle f^{*}\pi =f}$ gilt. Dabei ist ${\displaystyle \pi \colon M\to M/\operatorname {Kern} (f)}$ mit ${\displaystyle m\mapsto m+\operatorname {Kern} (f)}$ der kanonische Epimorphismus. ${\displaystyle f^{*}}$ ist stets ein Monomorphismus. Ist ${\displaystyle f}$ ein Epimorphismus, so ist ${\displaystyle f^{*}}$ ein Isomorphismus.

Der Homomorphiesatz besagt also, d​ass das folgende Diagramm kommutiert.

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}M&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&N\\\pi {\Big \downarrow }&&\parallel \mathbf {1} _{N}\\M/\operatorname {Kern} (f)&{\stackrel {f^{*}}{\longrightarrow }}&N\end{array}}}$

1. Isomorphiesatz

Seien ${\displaystyle U,V\hookrightarrow M}$ Untermoduln von ${\displaystyle M}$ Dann gilt: ${\displaystyle (U+V)/V\cong U/(U\cap V)}$. Der Isomorphismus ist ${\displaystyle (U+V)/V\ni u+V\mapsto u+U\cap V\in U/(U\cap V)}$

Folgerung: Seien ${\displaystyle U\hookrightarrow M}$ und ${\displaystyle V\hookrightarrow M}$ Untermoduln von ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle U\oplus V=M}$, so ist ${\displaystyle U\cong M/V}$.[1]

2. Isomorphiesatz

Es seien ${\displaystyle U\hookrightarrow V\hookrightarrow M}$ Untermoduln von ${\displaystyle M}$. Dann gilt:

${\displaystyle M/V\cong (M/U)/(V/U)}$.[2]

Der Hom-Funktor

Sind ${\displaystyle M,N}$ Moduln, so ist ${\displaystyle \operatorname {Hom} (M,N)}$ die Menge der Homomorphismen ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$.

Moduleigenschaften von Hom

• Die Menge ${\displaystyle \operatorname {Hom} (M,N)}$ wird zu einer abelschen Gruppe, wenn für zwei Homomorphismen ${\displaystyle f,g\colon M\rightarrow N}$ die Summe folgendermaßen definiert ist: ${\displaystyle f+g\colon M\ni m\mapsto f(m)+g(m)\in N}$.
• Ist ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle S-R}$ Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring ${\displaystyle S}$ und auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring ${\displaystyle R}$, so wird ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$ auf der rechten Seite zu einem Modul über dem Ring ${\displaystyle S}$, wenn man für ${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$ und ${\displaystyle s\in S}$ definiert: ${\displaystyle f\cdot s\colon M\ni m\mapsto f(s\cdot m)\in N}$. Ist insbesondere ${\displaystyle S}$ der Endomorphismenring von ${\displaystyle M}$, so ist ${\displaystyle \operatorname {Hom} (M,N)}$ auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring ${\displaystyle S}$.
• Ist ${\displaystyle N}$ ein ${\displaystyle S-R}$ Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring ${\displaystyle S}$ und auf der rechten Seite über dem Ring ${\displaystyle R}$, so wird ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$ auf der linken Seite zu einem Modul über dem Ring ${\displaystyle S}$, wenn man für ${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$ und ${\displaystyle s\in S}$ definiert: ${\displaystyle s\cdot f\colon M\ni m\mapsto s\cdot f(m)\in N}$.

Der kovariante Funktor Hom

Ist ${\displaystyle M}$ ein Modul, so ordnet man jedem Modul ${\displaystyle N}$ die abelsche Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Hom} (M,N)}$ zu. Jedem Homomorphismus ${\displaystyle \alpha \colon A\rightarrow B}$ wird der Homomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Hom} (M,\alpha )\colon \operatorname {Hom} (M,A)\ni f\mapsto \alpha \circ f\in \operatorname {Hom} (M,B)}$ zugeordnet. Es gilt dann für alle ${\displaystyle \alpha \colon A\rightarrow B\,\,,\beta \colon B\rightarrow C}$: ${\displaystyle \operatorname {Hom} (M,\beta \circ \alpha )=\operatorname {Hom} (M,\alpha )\circ \operatorname {Hom} (M,\beta )}$. Außerdem werden die Identitäten auf die entsprechenden Identitäten abgebildet. ${\displaystyle \operatorname {Hom} (M,-)}$ ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Moduln über dem Ring ${\displaystyle R}$ in die Kategorie der abelschen Gruppen. Ist ${\displaystyle M}$ wie oben ein ${\displaystyle S-R}$ Bimodul, so ist ${\displaystyle \operatorname {Hom} (M,-)}$ ein Funktor von der Kategorie der Moduln über ${\displaystyle R}$ in die Kategorie der Moduln über ${\displaystyle S}$.

Linksexaktheit von Hom

Für einen Komplex ${\displaystyle 0\rightarrow A\;{\overset {\alpha }{\rightarrow }}\;B\;{\overset {\beta }{\rightarrow }}\;C}$, das heißt, es gilt ${\displaystyle \beta \circ \alpha =0}$, sind die folgenden Aussagen äquivalent:

• ${\displaystyle 0\rightarrow A\;{\overset {\alpha }{\rightarrow }}\;B\;{\overset {\beta }{\rightarrow }}\;C}$ ist exakt.
• Für alle Moduln ${\displaystyle M}$ ist ${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} (M,A)\rightarrow \operatorname {Hom} (M,B)\rightarrow \operatorname {Hom} (M,C)}$ exakt.
• Es gibt einen Generator ${\displaystyle G}$, so dass die Folge ${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} (G,A)\rightarrow \operatorname {Hom} (G,B)\rightarrow \operatorname {Hom} (G,C)}$ exakt ist.

Auch wenn ${\displaystyle \beta }$ surjektiv ist, so ist das für ${\displaystyle \operatorname {Hom} (M,B)\rightarrow \operatorname {Hom} (M,C)}$ im Allgemeinen nicht der Fall, das heißt, der Hom-Funktor ist im Allgemeinen nicht exakt. Die Abweichung von der Exaktheit wird durch den Ext-Funktor gemessen.

Einzelnachweise

1. Friedrich Kasch, Moduln und Ringe, Teubner, Stuttgart 1977, Seite 57
2. Friedrich Kasch, Moduln und Ringe, Teubner, Stuttgart 1977, Seite 58

Literatur

• Frank W. Anderson and Kent R. Fuller: Rings and Categories of Modules. Springer, New-York 1992, ISBN 0-387-97845-3
• Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
• Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1