Norm (Körpererweiterung)

In d​er Körpertheorie i​st die Norm e​iner Körpererweiterung e​ine spezielle, d​er Erweiterung zugeordnete Abbildung. Sie bildet j​edes Element d​es größeren Körpers a​uf den kleineren Körper ab.

Dieser Normbegriff unterscheidet s​ich wesentlich v​om Begriff d​er Norm e​ines normierten Vektorraums, e​r wird d​aher manchmal i​m Gegensatz z​ur Vektornorm a​uch Körpernorm genannt.

Definition

Es sei ${\displaystyle L/K}$ eine endliche Körpererweiterung. Ein fest gewähltes Element ${\displaystyle a\in L}$ definiert eine ${\displaystyle K}$-lineare Abbildung

${\displaystyle L\to L,\quad x\mapsto ax.}$

Ihre Determinante heißt die Norm von ${\displaystyle a}$, geschrieben ${\displaystyle N_{L/K}(a)}$. Sie ist ein Element von ${\displaystyle K}$; die Norm ist also eine Abbildung

${\displaystyle N_{L/K}\colon L\to K,\quad a\mapsto N_{L/K}(a).}$

Eigenschaften

• Genau für ${\displaystyle a=0}$ gilt ${\displaystyle N_{L/K}(a)=0}$.
• Die Norm ist multiplikativ, d. h.

${\displaystyle N_{L/K}(ab)=N_{L/K}(a)\cdot N_{L/K}(b)}$ für alle ${\displaystyle a,b\in L}$.

Eingeschränkt auf die multiplikativen Gruppen ist die Norm also ein Homomorphismus

${\displaystyle N_{L/K}\colon L^{\times }\to K^{\times }.}$

• Ist ${\displaystyle M/L}$ eine weitere endliche Körpererweiterung, dann hat man die drei Normfunktionen ${\displaystyle N_{L/K},N_{M/L}}$ und ${\displaystyle N_{M/K}}$, die in der folgenden, als Transitivität der Norm bezeichneten, Beziehung stehen:

${\displaystyle N_{M/K}(a)=N_{L/K}(N_{M/L}(a))}$ für alle ${\displaystyle a\in M}$.

• Ist ${\displaystyle a\in K}$, so gilt ${\displaystyle N_{L/K}(a)=a^{[L:K]}}$.
• Ist ${\displaystyle a\in L}$ mit dem Minimalpolynom ${\displaystyle f\in K[X]}$ vom Grad ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle a_{0}\in K}$ das Absolutglied von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle r=[L:K(a)]}$, dann gilt:

${\displaystyle N_{L/K}(a)=(-1)^{dr}a_{0}^{r}}$

• Ist ${\displaystyle L/K}$ eine endliche Körpererweiterung mit ${\displaystyle [L:K]=qr}$, wobei ${\displaystyle r}$ die Anzahl der Elemente ${\displaystyle \sigma }$ in ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(L,{\bar {K}})}$, der Menge aller ${\displaystyle K}$-Homomorphismen von ${\displaystyle L}$ in den algebraischen Abschluss ${\displaystyle {\bar {K}}}$ von ${\displaystyle K}$, sei. Dann gilt[1] für jedes Element ${\displaystyle a\in L}$

${\displaystyle N_{L/K}(a)=\left(\,\prod _{i=1}^{r}\sigma _{i}(a)\right)^{q}}$

Ist ${\displaystyle L/K}$ insbesondere galoissch mit Galoisgruppe ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$, so bedeutet dies

${\displaystyle N_{L/K}(a)=\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (a).}$

Beispiele

• Die Norm der komplexen Zahlen über den reellen Zahlen bildet jede komplexe Zahl auf ihr Betragsquadrat ab. Es ist also

${\displaystyle N_{\mathbb {C} /\mathbb {R} }(a+ib)=\sigma _{1}(a+ib)\sigma _{2}(a+ib)=id(a+ib){\overline {(a+ib)}}=(a+ib)(a-ib)=a^{2}+b^{2}}$.

• Die Norm von ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }$ ist die Abbildung

${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}\mapsto a^{2}-2b^{2}}$ für ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} }$.

• Die Norm von ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{n}}/\mathbb {F} _{q}}$ ist die Abbildung

${\displaystyle x\mapsto x^{1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}}}$.

Siehe auch

• Spur (Körpererweiterung)
• Diskriminante
• pythagoreischer Körper
• Hilberts Satz 90

Einzelnachweise

1. Bosch, Algebra 5. Auflage, 2004, S. 196ff