Hurwitzsche Zeta-Funktion

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion (nach Adolf Hurwitz) i​st eine d​er vielen bekannten Zeta-Funktionen, d​ie in d​er analytischen Zahlentheorie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, e​ine wichtige Rolle spielt.

Die formale Definition für komplexe ${\displaystyle s,q}$ lautet

${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}}\qquad \quad \mathrm {Re} (s)>1{\text{ und Re}}(q)>0}$

Die Reihe konvergiert absolut und kann zu einer meromorphen Funktion erweitert werden für alle ${\displaystyle s\not =1.}$

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist dann ${\displaystyle \zeta (s,1).}$

Analytische Fortsetzung

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion kann zu einer meromorphen Funktion fortgesetzt werden, sodass sie für alle komplexen ${\displaystyle s\not =1}$ definiert ist. Bei ${\displaystyle s=1}$ liegt ein einfacher Pol mit Residuum 1 vor.

Es g​ilt dann

${\displaystyle \lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}=-\psi (q)}$

unter Verwendung der Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ und der Digammafunktion ${\displaystyle \psi (\cdot )}$.

Reihendarstellungen

Helmut Hasse f​and 1930[1] d​ie Reihendarstellung

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}}$

für ${\displaystyle q>-1}$ und ${\displaystyle s\in \mathbb {C} \setminus \{1\}}$.

Laurent-Entwicklung

Die Laurent-Entwicklung um ${\displaystyle s=1}$ lautet:

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\gamma _{n}(q)}{n!}}(s-1)^{n}}$

mit ${\displaystyle 0<q\leq 1}$. ${\displaystyle \gamma _{n}(q)}$ sind die Verallgemeinerten Stieltjes-Konstanten:

${\displaystyle \gamma _{n}(q):=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=0}^{N}{\frac {\log ^{n}(k+q)}{k+q}}-{\frac {\log ^{n+1}(N+q)}{n+1}}\right)}$

für ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$

Fourier-Reihe

${\displaystyle \zeta (s,a)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\left(\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(2\pi ak)}{k^{1-s}}}+\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi ak)}{k^{1-s}}}\right)}$

mit ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)<1{\text{ und }}0<a\leq 1}$.[2]

Integraldarstellung

Die Integraldarstellung lautet

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}\mathrm {d} t}$

wobei ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1}$ und ${\displaystyle \mathrm {Re} (q)>0}$

Hurwitz-Formel

Die Formel von Hurwitz ist eine Darstellung der Funktion für ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$ und ${\displaystyle s>1.}$ Sie lautet:[3]

${\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-\mathrm {i} \pi s/2}\beta (x;s)+e^{\mathrm {i} \pi s/2}\beta (1-x;s)\right]}$

wobei

${\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi \mathrm {i} nx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi \mathrm {i} x})}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle {\mbox{Li}}_{s}(z)}$ den Polylogarithmus.

Funktionalgleichung

Für alle ${\displaystyle s}$ und ${\displaystyle 1\leq m\leq n}$ gilt

${\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right).}$

Werte

Nullstellen

Da sich für ${\displaystyle q=1}$ und ${\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}}$ die Riemannsche Zeta-Funktion bzw. diese multipliziert mit einer einfachen Funktion von ${\displaystyle s}$ ergibt, führt dies zu der komplizierten Nullstellenberechnung der Riemannschen Zeta-Funktion mit der Riemannschen Vermutung.

Für diese ${\displaystyle q}$ hat die Hurwitzsche Zeta-Funktion keine Nullstellen mit einem Realteil größergleich 1.

Für ${\displaystyle 0<q<1}$ und ${\displaystyle q\not ={\tfrac {1}{2}}}$ gibt es dagegen Nullstellen für jeden Steifen ${\displaystyle 1<\mathrm {Re} (s)<1+\epsilon }$ mit einem positiv-reellen ${\displaystyle \epsilon }$. Dies wurde für rationale und nicht-algebraische-irrationale ${\displaystyle q}$ von Davenport und Heilbronn[4] bewiesen; für algebraische irrationale ${\displaystyle q}$ von Cassels.[5]

Rationale Argumente

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion tritt etwa im Zusammenhang mit den Euler-Polynomen ${\displaystyle E_{n}(x)}$ auf:[6]

${\displaystyle E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}$

und

${\displaystyle E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}.}$

Ferner gilt

${\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]}$

mit ${\displaystyle 1\leq p\leq q}$. Dabei werden ${\displaystyle C_{\nu }(x)}$ und ${\displaystyle S_{\nu }(x)}$ wie folgt mit der legendreschen Chi-Funktion ${\displaystyle \chi _{\nu }}$ definiert:

${\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{\mathrm {i} x})}$

bzw.

${\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{\mathrm {i} x}).}$

Weitere

Es g​ilt (Auswahl):[7]

${\displaystyle \zeta (s,-1)=\zeta (s)+1\,}$

${\displaystyle \zeta (s,2)=\zeta (s)-1\,}$

${\displaystyle \zeta (s,0)=\zeta (s,1)\,}$

${\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}n^{s}\cdot \mathrm {Li} _{s}\left(e^{\frac {2\pi \mathrm {i} k}{n}}\right)e^{-{\frac {2\pi \mathrm {i} km}{n}}}\qquad \qquad m,n\in \mathbb {N} ^{+}{\text{ und }}m\leq n}$

${\displaystyle \zeta (0,a)={\frac {1}{2}}-a}$

${\displaystyle \zeta (2,{\tfrac {1}{4}})=\pi ^{2}+8G}$

${\displaystyle \zeta (2,{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {x}{\pi }})+\zeta (2,{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {x}{\pi }})={\frac {\pi ^{2}}{\cos ^{2}x}}}$

(Riemannsche Zeta-Funktion, Catalansche Konstante)

Ableitungen

Es gilt

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}\zeta (s,a)}{\partial s^{n}}}={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\log ^{n}\left((a+k)^{2}\right)}{\left((a+k)^{2}\right)^{s/2}}}}$

mit ${\displaystyle -a\notin \mathbb {N} }$ sowie ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1}$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$[8].

Die Ableitungen nach ${\displaystyle a}$ ergeben sich zu

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}\zeta (s,a)}{\partial a^{n}}}=(1-n-s,n)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(a+k)^{n}\left((a+k)^{2}\right)^{s/2}}}}$

für ${\displaystyle a\notin \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$[9] unter Verwendung des Pochhammer-Symbol ${\displaystyle (x,n)}$.

Beziehungen zu anderen Funktionen

Bernoulli-Polynome

Die im Abschnitt Hurwitz-Formel definierte Funktion ${\displaystyle \beta }$ verallgemeinert die Bernoulli-Polynome ${\displaystyle B_{n}(x)}$:

${\displaystyle B_{n}(x)=-\mathrm {Re} \left[(-\mathrm {i} )^{n}\beta (x;n)\right]}$

Alternativ k​ann man sagen, dass

${\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}.}$

Für ${\displaystyle n=0}$ ergibt das

${\displaystyle \zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x.}$

Jacobische Theta-Funktion

Mit ${\displaystyle \vartheta (z,\tau )}$, der Jacobischen Theta-Funktion gilt

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,\mathrm {i} t)-1\right]t^{s/2}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]}$

wobei ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>0}$ und ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \,\setminus \,\mathbb {Z} }$.

Ist ${\displaystyle z=n}$ ganz, vereinfacht sich dies zu

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,\mathrm {i} t)-1\right]t^{s/2}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).}$

(${\displaystyle \zeta }$ mit einem Argument steht für die Riemannsche Zeta-Funktion)

Polygammafunktion

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion verallgemeinert die Polygammafunktion auf nicht-ganze Ordnungen ${\displaystyle s}$:

${\displaystyle \psi _{s}(z)={\frac {1}{\Gamma (-s)}}\left({\frac {\partial }{\partial s}}+\psi (-s)+\gamma \right)\zeta (s+1,z)}$

mit der Euler-Mascheroni-Konstanten ${\displaystyle \gamma }$.[10]

Auftreten

Die Hurwitzschen Zeta-Funktionen finden a​n verschiedenen Stellen Anwendung, n​icht nur i​n der Zahlentheorie. Sie t​ritt bei Fraktalen u​nd dynamischen Systemen ebenso w​ie im zipfschen Gesetz auf.

In d​er Teilchenphysik k​ommt sie i​n einer Formel v​on Julian Schwinger[11] vor, d​ie ein genaues Resultat für d​ie Paarbildungs-Rate v​on in d​er Dirac-Gleichung beschriebenen Elektronen i​n Feldern gibt.

Spezialfälle und Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung d​er Hurwitzschen Zeta-Funktion bietet

${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$,

so dass

${\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).}$

Diese Funktion w​ird als Lerchsche Zeta-Funktion bezeichnet.

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion lässt s​ich durch d​ie verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ausdrücken:[12]

${\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)}$

mit ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ und }}a\notin \mathbb {N} {\text{ und }}s\in \mathbb {N} ^{+}.}$

Außerdem g​ilt mit d​er Meijerschen G-Funktion:[13]

${\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.}$

mit ${\displaystyle s\in \mathbb {N} ^{+}}$.

Literatur und Weblinks

• Jonathan Sondow, Eric W. Weisstein: Hurwitz Zeta Function auf MathWorld und in functions.wolfram.com (englisch)
• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4. (Siehe Paragraph 6.4.10)
• Victor S. Adamchik: Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments. In: Journal of Computational and Applied Mathematics. Band 100, 1998, S. 201–206.
• Necdet Batit: New inequalities for the Hurwitz zeta function (PDF; 115 kB). In: Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) Band 118, Nr. 4, November 2008, S. 495–503.
• Johan Andersson: Mean Value Properties of the Hurwitz Zeta Function. In: Math. Scand. Band 71, 1992, S. 295–300.

Einzelnachweise

1. Helmut Hasse: Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe In: Mathematische Zeitschrift. Band 32, 1930, S. 458–464.
2. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/06/03/01/01/0001/
3. Eric W. Weisstein: Hurwitz's Formula. In: MathWorld (englisch).
4. H. Davenport und H. Heilbronn: On the zeros of certain Dirichlet series. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 11, 1936, S. 181–185
5. J. W. S. Cassels: Footnote to a note of Davenport and Heilbronn. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 36, 1961, S. 177–184
6. Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski: Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments. In: Mathematics of Computation. Band 68, 1999, S. 1623–1630.
7. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/03/ShowAll.html
8. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/01/01/0001/
9. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/02/01/0001/
10. Oliver Espinosa and Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function auf arXiv.org e-Print archive 2003.
11. J. Schwinger: On gauge invariance and vacuum polarization. In: Physical Review. Band 82, 1951, S. 664–679.
12. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/26/01/02/01/
13. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/26/02/01/01/