Lerchsche Zeta-Funktion
Die Lerchsche Zeta-Funktion (nach Mathias Lerch) ist eine sehr allgemeine Zeta-Funktion. Sehr viele Reihen reziproker Potenzen (einschließlich der hurwitzschen Zeta-Funktion und des Polylogarithmus) können als Spezialfall dieser Funktion dargestellt werden.
Definition
Die beiden Funktionen
und
werden als Lerchsche Zeta-Funktion bezeichnet. Die Verwandtschaft der beiden ist durch
gegeben.
Spezialfälle und spezielle Werte
- Der Polylogarithmus:
Außerdem gelten folgende Spezialfälle (Auswahl):[1]
Ferner ist
mit der catalanschen Konstanten , der Glaisher-Kinkelin-Konstanten und der Apéry-Konstanten der Riemannschen Zeta-Funktion.
Weitere Formeln
Integraldarstellungen
Eine mögliche Integraldarstellung lautet
- für
Das Kurvenintegral
mit darf die Punkte nicht enthalten.
Ferner ist
für und .
Ebenso ist
für .
Reihendarstellungen
Eine Reihendarstellung für die Lerchsche Zeta-Funktion ist
Sie gilt für alle und komplexe mit ; man vergleiche dazu die Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion.
Falls positiv und ganz ist, gilt
Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch
für unter Verwendung des Pochhammer-Symbol gegeben.
Im Grenzwert gilt
- .
Der Spezialfall hat folgende Reihe:
für .
Die asymptotische Entwicklung für ist gegeben durch
für und
wenn .
Unter Verwendung der unvollständigen Gammafunktion gilt
mit und .
Literatur
- Mathias Lerch: Démonstration élémentaire de la formule: , L'Enseignement Mathématique 5(1903): S. 450–453
- M. Jackson: On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series , J. London Math. Soc. 25 (3), 1950: S. 189–196
- Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247–270; vgl. in arxiv
- Antanas Laurinčikas und Ramūnas Garunkštis: The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 978-1-4020-1014-9 online
Weblinks
- Ramunas Garunkstis: Home Page (Referenzensammlung)
- Ramunas Garunkstis, Approximation of the Lerch Zeta Function (PDF; 112 kB)
- S. Kanemitsu, Y. Tanigawa und H. Tsukada: A generalization of Bochner's formula, undatiert, 2005 oder früher (Memento vom 13. April 2014 im Internet Archive)
- Eric W. Weisstein: Lerch Transcendent. In: MathWorld (englisch).
Einzelnachweise
- http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/LerchPhi/03/ShowAll.html
- Guillera, Sondow 2008, Theorem 3.1 (siehe Lit.)