Lerchsche Zeta-Funktion

Die Lerchsche Zeta-Funktion (nach Mathias Lerch) i​st eine s​ehr allgemeine Zeta-Funktion. Sehr v​iele Reihen reziproker Potenzen (einschließlich d​er hurwitzschen Zeta-Funktion u​nd des Polylogarithmus) können a​ls Spezialfall dieser Funktion dargestellt werden.

Definition

Die beiden Funktionen

und

werden a​ls Lerchsche Zeta-Funktion bezeichnet. Die Verwandtschaft d​er beiden i​st durch

gegeben.

Spezialfälle und spezielle Werte

Außerdem gelten folgende Spezialfälle (Auswahl):[1]

Ferner ist

mit der catalanschen Konstanten , der Glaisher-Kinkelin-Konstanten und der Apéry-Konstanten der Riemannschen Zeta-Funktion.

Weitere Formeln

Integraldarstellungen

Eine mögliche Integraldarstellung lautet

für

Das Kurvenintegral

mit darf die Punkte nicht enthalten.

Ferner i​st

für und .

Ebenso ist

für .

Reihendarstellungen

Eine Reihendarstellung für d​ie Lerchsche Zeta-Funktion ist

Sie gilt für alle und komplexe mit ; man vergleiche dazu die Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion.

Falls positiv und ganz ist, gilt

Eine Taylorreihe d​er dritten Variablen i​st durch

für unter Verwendung des Pochhammer-Symbol gegeben.

Im Grenzwert gilt

.

Der Spezialfall hat folgende Reihe:

für .

Die asymptotische Entwicklung für ist gegeben durch

für und

wenn .

Unter Verwendung d​er unvollständigen Gammafunktion gilt

mit und .

Identitäten und weitere Formeln

Ferner gilt für die Integraldarstellung mit oder [2]

und

.

Literatur

  • Mathias Lerch: Démonstration élémentaire de la formule: , L'Enseignement Mathématique 5(1903): S. 450–453
  • M. Jackson: On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series , J. London Math. Soc. 25 (3), 1950: S. 189–196
  • Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247–270; vgl. in arxiv
  • Antanas Laurinčikas und Ramūnas Garunkštis: The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 978-1-4020-1014-9 online

Einzelnachweise

  1. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/LerchPhi/03/ShowAll.html
  2. Guillera, Sondow 2008, Theorem 3.1 (siehe Lit.)
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