Polylogarithmus

Der Polylogarithmus i​st eine spezielle Funktion, d​ie durch d​ie Reihe

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}}$

definiert ist. Für ${\displaystyle s=1}$ geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichen Logarithmus über:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$

In den Fällen ${\displaystyle s=2}$ und ${\displaystyle s=3}$ spricht man entsprechend von Dilogarithmus bzw. Trilogarithmus. Die Definition gilt für komplexe ${\displaystyle s}$ und ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle |z|<1}$. Durch analytische Fortsetzung lässt sich diese Definition auf weitere ${\displaystyle z}$ ausdehnen.

In den wichtigsten Anwendungsfällen ist ${\displaystyle s=n}$ eine natürliche Zahl. Für diese Fälle kann man den Polylogarithmus rekursiv durch

${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={\frac {z}{1-z}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{n-1}(t)}{t}}\,{\text{d}}t\quad {\mbox{für}}\quad n=1,2,3,\dotsc }$

definieren, wonach der Dilogarithmus ein Integral des Logarithmus ist, der Trilogarithmus ein Integral des Dilogarithmus und so fort. Für negative ganzzahlige Werte von ${\displaystyle s}$ lässt sich der Polylogarithmus durch rationale Funktionen ausdrücken.

Der Polylogarithmus taucht beispielsweise im Zusammenhang mit der Fermi-Dirac-Verteilung und der Bose-Einstein-Verteilung auf. Zudem kann mit ihm im hexadezimalen Zahlensystem eine beliebige Stelle von polylogarithmischen Konstanten (z. B. ${\displaystyle \pi }$) einzeln berechnet werden.

Funktionswerte und Rekursionen

Graphen einiger ganzzahliger Polylogarithmen

Einige explizite Funktionsterme für spezielle ganzzahlige Werte von ${\displaystyle s}$:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln \left(1-z\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={\frac {z}{1-z}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)={\frac {z(1+z)}{(1-z)^{3}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)={\frac {z(1+4z+z^{2})}{(1-z)^{4}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)={\frac {z(1+z)(1+10z+z^{2})}{(1-z)^{5}}}}$

Formal kann man ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z):=(z{\tfrac {\text{d}}{{\text{d}}z}})^{n}H(z)}$ mit der (für alle ${\displaystyle z}$ divergierenden) Reihe ${\displaystyle \textstyle H(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }z^{k}}$ definieren. Obwohl diese Reihe nicht konvergiert, kann diese Definition zum Beweis von Funktionalgleichungen (im Ring der formal definierten Laurent-Reihen) verwendet werden.

Für alle ganzzahligen nichtpositiven Werte von ${\displaystyle s}$ kann der Polylogarithmus als Quotient von Polynomen geschrieben werden. In diesen Fällen ist er also eine rationale Funktion. Für die drei kleinsten positiven Werte von ${\displaystyle s}$ sind im Folgenden die Funktionswerte an der Stelle ${\displaystyle 1/2}$ angegeben:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)=\ln 2}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{12}}\left(\pi ^{2}-6\,\ln ^{2}2\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{24}}\left(4\,\ln ^{3}2-2\pi ^{2}\,\ln 2+21\,\zeta (3)\right)}$

${\displaystyle \zeta }$ ist dabei die Riemannsche Zetafunktion. Für größeres ${\displaystyle s}$ sind keine derartigen Formeln bekannt.

Es gilt

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)=\zeta (s)}$

und

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-1)=-\eta (s)}$

mit der dirichletschen ${\displaystyle \eta }$-Funktion.[1]

Verschiedene Polylogarithmusfunktionen in der komplexen Ebene

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)}$
${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}(z)}$

Ableitung

Die Ableitung d​er Polylogarithmen s​ind wieder Polylogarithmen:

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\operatorname {Li} _{n}(x)={\frac {1}{x}}\operatorname {Li} _{n-1}(x)}$

Integraldarstellung

Der Polylogarithmus lässt sich für alle komplexen ${\displaystyle z,s}$ durch

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\frac {z}{2}}+\ln ^{s-1}\,{\frac {1}{z}}\,\Gamma (1-s,-\ln \,z)+2z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-t\,\ln \,z)}{(1+t^{2})^{s/2}(\mathrm {e} ^{2\pi \,t}-1)}}\,{\text{d}}t}$

mit Hilfe des Integralausdrucks für die Lerchsche Zeta-Funktion darstellen. Dabei ist ${\displaystyle \textstyle \Gamma (s,z)=\int _{z}^{\infty }t^{s-1}\mathrm {e} ^{-t}\,{\text{d}}t}$ die unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze.

Verallgemeinerungen

Mehrdimensionale Polylogarithmen

Die mehrdimensionalen Polylogarithmen s​ind folgendermaßen definiert:[2]

${\displaystyle \operatorname {L} _{a_{1},\dotsc ,a_{m}}(z)=\sum _{n_{1}>\dotsb >n_{m}>0}{\frac {z^{n_{1}}}{n_{1}^{a_{1}}\dotsb n_{m}^{a_{m}}}}}$

Lerchsche Zeta-Funktion

Der Polylogarithmus i​st ein Spezialfall d​er transzendenten Lerchschen Zeta-Funktion:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=z\cdot \Phi (z,s,1)}$

Nielsens verallgemeinerte Polylogarithmen

Nielsen f​and folgende Verallgemeinerung für d​en Polylogarithmus:[3]

${\displaystyle \operatorname {S} _{n,p}(z)={\frac {(-1)^{n+p-1}}{(n-1)!p!}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {\left(\ln(t)\right)^{n-1}\left(\ln(1-zt)\right)^{p}}{t}}{\text{d}}t}$

Es gilt:

${\displaystyle \operatorname {S} _{n-1,1}(z)=\operatorname {Li} _{n}(z)}$

Siehe auch

• Fermi-Dirac-Integral
• Legendresche Chi-Funktion
• Debyesche Funktionen

Literatur

• Alexander Goncharov: Polylogarithms in arithmetic and geometry. (PDF; 228 kB) In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Zürich, 1994). Birkhäuser, Basel 1995, Vol. 1, 2, S. 374–387.
• Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York 1964, ISBN 978-0-486-61272-0, Abs. 27.7.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Dilogarithm, Trilogarithm und Polylogarithm. In: MathWorld (englisch).
• David H. Bailey, David J. Broadhurst: A seventeenth-order polylogarithm ladder. arxiv:math.CA/9906134

Einzelnachweise

1. Eric W. Weisstein: Dirichlet Eta Function. In: MathWorld (englisch).
2. Eric W. Weisstein: Multidimensional Polylogarithms. In: MathWorld (englisch).
3. Eric W. Weisstein: Nielsen Generalized Polylogarithm. In: MathWorld (englisch).