Meijersche G-Funktion

Die G-Funktion w​urde von Cornelis Simon Meijer (1904–1974) 1936 eingeführt. Die meisten bekannten speziellen Funktionen s​ind Spezialfälle dieser Funktion.

Es g​ab auch andere Ansätze, d​ie speziellen Funktionen z​u verallgemeinern: Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion u​nd die MacRobertsche E-Funktion wurden z​um gleichen Zweck vorgeschlagen. Die Meiersche G-Funktion umfasst d​iese beiden Funktionen a​ls Spezialfall. In seiner ersten Definition verwendet Meijer e​ine Reihe. Die h​eute übliche, allgemeinere Definition erfolgt über e​in Wegintegral i​n der komplexen Zahlenebene (siehe untenstehende Definition), d​ie von Arthur Erdélyi 1953 vorgeschlagen wurde. Mit Hilfe dieser Definition u​nd der Gamma-Funktion können d​ie meisten speziellen Funktionen geschlossen dargestellt werden.

Durch Hinzunahme weiterer Parameter k​ann die G-Funktion z​ur noch allgemeineren Foxschen H-Funktion verallgemeinert werden (eingeführt 1961 v​on Charles Fox).

Definition

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\;z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\mathcal {L}}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}z^{s}\,\mathrm {d} s}$ ,

wobei ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ die Gamma-Funktion ist. Dieses Wegintegral, längs eines geeigneten[1] Weges ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ in der komplexen Zahlenebene kann als inverse Mellintransformation aufgefasst werden. Das Integral existiert unter folgenden Voraussetzungen:

• ${\displaystyle 0\leq m\leq q}$ und ${\displaystyle 0\leq n\leq p}$ , wobei ${\displaystyle m,n,p}$ und ${\displaystyle q}$ ganze Zahlen sind,
• ${\displaystyle a_{k}-b_{j}\neq 1,2,3,\ldots }$ (${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$ und ${\displaystyle j=1,2,\ldots ,m}$ ). Das stellt sicher, dass kein Pol von ${\displaystyle \Gamma (b_{j}-s)}$ , ${\displaystyle j=1,2,\ldots ,m}$ mit irgendeinem Pol von ${\displaystyle \Gamma (1-a_{k}+s)}$ , ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$ zusammenfällt,
• ${\displaystyle z\neq 0}$ .

Literatur

• Larry C. Andrews: Special Functions of mathematics for Engineers, New York, ISBN 0-8194-2616-4.
• Cornelis Simon Meijer: Über Whittakersche bezw. Besselsche Funktionen und deren Produkte, Nieuw Archief voor Wiskunde 18 (4), 1936.

Weblinks

• Meijersche G-Funktion auf Wolfram-Mathworld (mit grafischen Darstellungen)
• Meijersche G-Funktion auf Wolfram-Mathworld (systematisch)
• Richard Beals, Jacek Szmigielski: Meijer G-functions: a gentle introduction, Notices AMS, August 2013.

Einzelnachweise

1. Definition der G-Funktion auf Wolfram Mathworld