Legendresche Chi-Funktion
Die legendresche Chi-Funktion (nach Adrien-Marie Legendre) ist eine spezielle Funktion in der Mathematik.
Definition
Die legendresche Chi-Funktion ist folgendermaßen definiert:
Sie lässt sich auch mit dem Polylogarithmus ausdrücken:
Funktion für v = 2:
Folgende Darstellungen als Integrale hat diese Funktion:
Folgende Ableitung hat diese Funktion:
Spezielle Werte
Folgende Formel dient für die Werte 0 < x < 1 zur Ermittlung der Chi-Funktionswerte:
Mit Hilfe dieser Formel und mit Hilfe des Dilogarithmus können folgende Funktionswerte ermittelt werden:
mit der imaginären Einheit und der catalanschen Konstanten .
Spezialfälle und Verallgemeinerungen
Zu den Spezialfällen gehören die dirichletsche Lambda-Funktion
und die dirichletsche Beta-Funktion :
Die transzendente lerchsche Zeta-Funktion verallgemeinert die legendresche Chi-Funktion:
Siehe auch
Referenzen
- Eric W. Weisstein: Legendre's Chi Function. In: MathWorld (englisch).
- Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Math. of Comp. 68 (1999), 1623–1630.