Pochhammer-Symbol

Das Pochhammer-Symbol ist eine spezielle Funktion, die in der Kombinatorik und in der Theorie der hypergeometrischen Funktionen verwendet wird. Der Name geht auf Leo August Pochhammer zurück.[1][2]

Definition

Das Pochhammer-Symbol wird über die Gammafunktion definiert:

${\displaystyle (x,n)\equiv {\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}$

Aus der Funktionalgleichung der Gammafunktion folgt dann

${\displaystyle (x,n)\equiv x(x+1)\dotsm (x+n-1)}$.

Man hat also eine Identität

${\displaystyle (x,n)=x^{\overline {n}}}$

mit der steigenden Faktoriellen.

Eigenschaften

Funktionsgraphen der ersten vier Pochhammer-Symbole

• Das Pochhammer-Symbol ist eine meromorphe Funktion.
• Ist ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, so kann ${\displaystyle (x,n)}$ als Polynom in ${\displaystyle x}$ dargestellt werden. Diese haben eine gemeinsame Nullstelle bei ${\displaystyle x=0}$.
• Zusammenhang zwischen Koeffizienten verschiedener Vorzeichen:

${\displaystyle (x,-n)=(-1)^{n}{\frac {1}{(1-x,n)}}}$

• Divisionsregel:
  • ${\displaystyle {\frac {(x,n)}{(x,m)}}=(x+m,n-m);\quad n>m}$
  • ${\displaystyle {\frac {(x,n)}{(x,m)}}={\frac {1}{(x+m,m-n)}};\quad m>n}$
• Spezielle Werte:
  • ${\displaystyle (1,n)=n!}$
  • ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},n)=2^{-n}(2n-1)!!}$
  • ${\displaystyle (0,0)=1}$

q-Pochhammer-Symbol

Das ${\displaystyle q}$-Pochhammer-Symbol[3] ist das ${\displaystyle q}$-Analog des Pochhammer-Symbols und spielt eine Rolle in der Kombinatorik bei ${\displaystyle q}$-Analoga klassischer Formeln, wobei, angeregt durch den Grenzübergang

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n}$,

das ${\displaystyle q}$-Analogon natürlicher Zahlen über

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n-1}}$

definiert wird.

Das ${\displaystyle q}$-Pochhammer-Symbol wird über die formale Potenzreihe in der Variablen ${\displaystyle q}$ definiert:

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\dotsm (1-aq^{n-1})}$

mit

${\displaystyle (a;q)_{0}=1}$.

Sie werden auch ${\displaystyle q}$-Reihen genannt und ${\displaystyle (a;q)_{n}}$ als ${\displaystyle (a)_{n}}$ abgekürzt, z. B. ${\displaystyle (q;q)_{n}=(q)_{n}=\prod _{k=1}^{n}(1-q^{k})=(1-q)(1-q^{2})\dotsm (1-q^{n})}$.

Es lässt sich auch zu einem unendlichen Produkt erweitern:

${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})}$

Der Spezialfall

${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$

ist das Eulersche Produkt[4], das eine Rolle in der Theorie der Partitionsfunktion spielt.

Denn die Maclaurinsche Reihe für den Kehrwert des Eulerschen Produkts trägt die Partitionszahlen[5] als Koeffizienten:

${\displaystyle (x;x)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}}$

Dabei steht P(n) für die n-te Partitionszahl.

Die Maclaurinsche Reihe für das Eulersche Produkt selbst hat an allen Summanden die Fünfeckszahlen und Kartenhauszahlen als Exponenten:

${\displaystyle (x;x)_{\infty }=\sum _{k=0}^{\infty }{\bigl [}x^{K(2k)}-x^{F(2k+1)}-x^{K(2k+1)}+x^{F(2k+2)}{\bigr ]}}$

Dabei steht F(n) für die n-te Fünfeckszahl und K(n) für die n-te Kartenhauszahl:

${\displaystyle F(n)={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)}$

${\displaystyle K(n)={\tfrac {1}{2}}n(3n+1)}$

Diese Tatsache[6] basiert auf dem Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler.

Das Eulersche Produkt[7] kann auch mit der Jacobischen Thetafunktion ausgedrückt werden:

${\displaystyle (x;x)_{\infty }=3^{-1/2}x^{-1/24}\vartheta _{10}({\tfrac {1}{6}}\pi ;x^{1/6})=2^{-1/6}x^{-1/24}\vartheta _{10}(x)^{1/6}\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}}$

Der Mathematiker Srinivasa Ramanujan entdeckte folgende Beziehung[8] zu den Thetafunktionen:

${\displaystyle (x;x^{2})_{\infty }=2^{1/6}x^{1/24}\vartheta _{10}(x)^{-1/6}\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{1/3}}$

Sie finden sich in seinem Aufsatz Modular Equations and Approximations to π.

Mit dem Pochhammer-Symbol kann auch die Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion R(x) dargestellt werden:

${\displaystyle R(x)=x^{1/5}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2\bigtriangleup (n)}}{(x;x)_{n}}}{\biggr ]}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{\Box (n)}}{(x;x)_{n}}}{\biggr ]}^{-1}=x^{1/5}{\frac {(x;x^{5})_{\infty }(x^{4};x^{5})_{\infty }}{(x^{2};x^{5})_{\infty }(x^{3};x^{5})_{\infty }}}=}$

${\displaystyle =\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {1}{2}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/10})\vartheta _{01}(x^{1/10})\vartheta _{10}(x^{1/10})}{\vartheta _{00}(x^{5/2})\vartheta _{01}(x^{5/2})\vartheta _{10}(x^{5/2})}}{\biggr ]}^{1/3}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }=}$

${\displaystyle =\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}=}$

${\displaystyle =\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}$

In der ersten Zeile der Gleichungskette werden die Rogers-Ramanujan-Identitäten repräsentiert.

Dabei wurden für eine kompaktere Darstellung die Abkürzungen

${\displaystyle \bigtriangleup (n)={\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$

${\displaystyle \Box \,(n)=n^{2}}$

verwendet und die Thetafunktionen:

${\displaystyle \vartheta _{01}(x)=1-2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{\Box (n)}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^{2}}$

${\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^{2}}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n})^{2}}$

Einzelnachweise

1. L. Pochhammer: Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 102, S. 76–159, 1888; insbesondere S. 80–81. Pochhammer benutzt die Bezeichnung ${\displaystyle (x)_{n}}$ für den Binomialkoeffizienten, ${\displaystyle [x]_{n}}$ für die fallende Faktorielle und ${\displaystyle [x]_{n}^{+}}$ für die steigende Faktorielle.
2. Eric W. Weisstein: Pochhammer Symbol. In: MathWorld. Abgerufen am 9. Februar 2019 (englisch).
3. Eric W. Weisstein: q-Pochhammer Symbol. In: MathWorld. Abgerufen am 9. Februar 2019 (englisch).
4. Eulersches Partitionsprodukt. Im Englischen auch Euler function, doch ist dieser Begriff mehrdeutig.
5. 3.3 Partitions of Integers. Abgerufen am 30. August 2021.
6. Eric W. Weisstein: Pentagonal Number Theorem. Abgerufen am 30. August 2021 (englisch).
7. Eric W. Weisstein: q-Pochhammer Symbol. Abgerufen am 30. August 2021 (englisch).
8. Eric W. Weisstein: Ramanujan g- and G-Functions. Abgerufen am 30. August 2021 (englisch).