Ähnlichkeit (Matrix)

In d​em mathematischen Teilgebiet lineare Algebra i​st Ähnlichkeit e​ine Äquivalenzrelation a​uf der Klasse d​er quadratischen Matrizen. Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe lineare Selbstabbildung (Endomorphismus) b​ei Verwendung unterschiedlicher Basen.

Definition

Zwei ${\displaystyle n}$-dimensionale quadratische Matrizen ${\displaystyle A,B\in K^{n\times n}}$ über dem Körper ${\displaystyle K}$ heißen zueinander ähnlich, wenn es eine reguläre Matrix ${\displaystyle S\in K^{n\times n}}$ gibt, sodass

${\displaystyle B=S^{-1}AS}$

oder äquivalent

${\displaystyle SB=AS}$

gilt. Die Abbildung

${\displaystyle A\mapsto B=S^{-1}AS}$

heißt Ähnlichkeitsabbildung o​der Ähnlichkeitstransformation. Ist e​ine Matrix e​iner Diagonalmatrix ähnlich, s​o heißt s​ie diagonalisierbar; i​st sie e​iner oberen Dreiecksmatrix ähnlich, s​o heißt s​ie trigonalisierbar.

Beispiel

Die beiden reellen Matrizen

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-3&2\\-1&0\end{pmatrix}}}$   und   ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}2&3\\-4&-5\end{pmatrix}}}$

sind zueinander ähnlich, d​enn mit d​er regulären Matrix

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}}}$

gilt

${\displaystyle S^{-1}AS={\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-3&2\\-1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\-2&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3\\-4&-5\end{pmatrix}}=B}$.

Die Matrix ${\displaystyle S}$ ist dabei nicht eindeutig bestimmt, denn auch jedes Vielfache ${\displaystyle cS}$ mit ${\displaystyle c\neq 0}$ erfüllt diese Identität.

Eigenschaften

Kenngrößen

Zwei zueinander ähnliche Matrizen ${\displaystyle A,B\in K^{n\times n}}$ haben das gleiche charakteristische Polynom, denn es gilt mit der Kommutativität der Einheitsmatrix ${\displaystyle I\in K^{n\times n}}$, dem Determinantenproduktsatz und der Determinante der Inversen

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{B}(\lambda )&=\det(\lambda I-B)=\det(\lambda I-S^{-1}AS)=\det(S^{-1}\lambda IS-S^{-1}AS)=\\&=\det(S^{-1}(\lambda I-A)S)=\det(S^{-1})\det(\lambda I-A)\det(S)=\det(\lambda I-A)=\chi _{A}(\lambda ).\end{aligned}}}$

Daher h​aben zueinander ähnliche Matrizen

• die gleichen Eigenwerte (aber nicht notwendigerweise die gleichen Eigenvektoren),
• die gleiche Determinante und
• die gleiche Spur.

Außerdem h​aben zueinander ähnliche Matrizen

• den gleichen Rang,
• das gleiche Minimalpolynom und
• die gleiche jordansche Normalform.

Charakterisierung

Zwei komplexe Matrizen s​ind genau d​ann zueinander ähnlich, w​enn sie (bis a​uf die Reihenfolge d​er Jordanblöcke) d​ie gleiche jordansche Normalform haben.

Allgemein sind nach dem Lemma von Frobenius zwei Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ genau dann zueinander ähnlich, wenn sie die gleiche Frobenius-Normalform besitzen. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre charakteristischen Matrizen ${\displaystyle xI-A}$ und ${\displaystyle xI-B}$ die gleiche Smith-Normalform aufweisen.

Äquivalenzklassen

Die Ähnlichkeit v​on Matrizen i​st eine Äquivalenzrelation, a​lso reflexiv, symmetrisch u​nd transitiv. Man schreibt

${\displaystyle A\sim B}$,

wenn ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ zueinander ähnlich sind, und notiert die zu einer Matrix ${\displaystyle A\in K^{n\times n}}$ zugehörige Äquivalenzklasse durch

${\displaystyle [A]=\{B\in K^{n\times n}\mid B\sim A\}}$.

Zum Beispiel besteht die Äquivalenzklasse der zu einem Vielfachen ${\displaystyle cI}$ mit ${\displaystyle c\in K}$ der Einheitsmatrix ${\displaystyle I\in K^{n\times n}}$ ähnlichen Matrizen aus genau einem Element ${\displaystyle \left[cI\right]=\{cI\}}$, denn ${\displaystyle S^{-1}(cI)S=cI}$ für alle regulären Matrizen ${\displaystyle S\in K^{n\times n}}$.

Die Ähnlichkeit von Matrizen ist ein Spezialfall der allgemeiner definierten Äquivalenz auf der Klasse der ${\displaystyle (m\times n)}$-Matrizen.

Berechnung der Transformationsmatrix

Vorgehensweise

Sind zwei zueinander ähnliche Matrizen ${\displaystyle A,B\in K^{n\times n}}$ gegeben, so lässt sich eine Matrix ${\displaystyle S}$, mit der ${\displaystyle B=S^{-1}AS}$ gilt, folgendermaßen ermitteln. Zunächst werden die beiden Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ in die gleiche Frobenius-Normalform (oder, falls möglich, die gleiche Jordan-Normalform) ${\displaystyle F\in K^{n\times n}}$ überführt. Sind die beiden hierzu verwendeten Ähnlichkeitstransformationen

${\displaystyle F=G^{-1}AG}$   und   ${\displaystyle F=H^{-1}BH}$

mit regulären Matrizen ${\displaystyle G,H\in K^{n\times n}}$, so folgt daraus durch Gleichsetzen

${\displaystyle B=HG^{-1}AGH^{-1}=\left(GH^{-1}\right)^{-1}A\left(GH^{-1}\right)}$.

Die gesuchte Transformationsmatrix i​st demnach

${\displaystyle S=GH^{-1}}$.

Beispiel

Seien die beiden ${\displaystyle (2\times 2)}$-Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ wie im obigen Beispiel gegeben. Die charakteristischen Polynome der beiden Matrizen ergeben sich zu

${\displaystyle \chi _{A}(\lambda )=\det(\lambda I-A)=(\lambda +3)\lambda +2=(\lambda +2)(\lambda +1)}$

und

${\displaystyle \chi _{B}(\lambda )=\det(\lambda I-B)=(\lambda -2)(\lambda +5)+12=(\lambda +2)(\lambda +1)}$.

Die beiden charakteristischen Polynome stimmen also überein, wobei die Eigenwerte ${\displaystyle \lambda _{1}=-2}$ und ${\displaystyle \lambda _{2}=-1}$ sind. Weil das charakteristische Polynom vollständig in reelle Linearfaktoren zerfällt, lässt sich zu beiden Matrizen die gleiche Jordan-Normalform aufstellen, die in diesem Fall die Diagonalgestalt

${\displaystyle F={\begin{pmatrix}-2&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

hat. Die Transformationsmatrizen in die Jordan-Normalform haben dabei die Form ${\displaystyle G=(v_{1}\mid v_{2})}$ und ${\displaystyle H=(w_{1}\mid w_{2})}$, wobei ${\displaystyle v_{1},w_{1}}$ jeweils Eigenvektoren zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{1}=-2}$ und ${\displaystyle v_{2},w_{2}}$ jeweils Eigenvektoren zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{2}=-1}$ sind. Für ${\displaystyle A}$ ergeben sich zwei Eigenvektoren durch Lösung von ${\displaystyle (-2I-A)v_{1}=0}$ und ${\displaystyle (-I-A)v_{2}=0}$ als

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}}$   und   ${\displaystyle v_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$.

Entsprechend ergeben sich für ${\displaystyle B}$ zwei Eigenvektoren durch Lösung von ${\displaystyle (2I+B)w_{1}=0}$ und ${\displaystyle (I+B)w_{2}=0}$ als

${\displaystyle w_{1}={\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}}}$   und   ${\displaystyle w_{2}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}$.

Die beiden Transformationsmatrizen in die Jordan-Normalform ${\displaystyle F}$ sind demnach

${\displaystyle G={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}}$   und   ${\displaystyle H={\begin{pmatrix}3&1\\-4&-1\end{pmatrix}}}$,

und d​ie gesuchte Ähnlichkeitstransformationsmatrix i​st damit

${\displaystyle S=GH^{-1}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&-1\\4&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}}}$.

Siehe auch

• Kongruenz (Matrix)

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 18. Auflage. Springer Spektrum, 2014, ISBN 978-3-8348-0996-4.