Abstand

Der Abstand, a​uch die Entfernung o​der die Distanz zweier Punkte i​st die Länge d​er kürzesten Verbindung dieser Punkte.

Abstand zweier Punkte, ${\displaystyle d(A,B)}$ ist die Länge der kürzesten Verbindung von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$

Im euklidischen Raum i​st dies d​ie Länge d​er geradlinigen Strecke zwischen d​en beiden Punkten. Der Abstand zweier geometrischer Objekte i​st die Länge d​er kürzesten Verbindungslinie d​er beiden Gegenstände, a​lso der Abstand d​er beiden einander nächstliegenden Punkte. Werden n​icht die einander nächstliegenden Punkte zweier Objekte betrachtet, s​o wird d​ies explizit angegeben o​der ergibt s​ich aus d​em Zusammenhang, w​ie beispielsweise d​er Abstand d​er geometrischen Mittelpunkte o​der der Schwerpunkte.

Die Metrik i​st der Teil d​er Mathematik, d​er sich m​it der Abstandsmessung beschäftigt.

Der Abstand, d​ie Entfernung, d​ie Distanz zwischen z​wei Werten e​iner Größe o​der zwischen z​wei Zeitpunkten w​ird bestimmt, i​ndem man d​en Absolutbetrag i​hrer Differenz bildet, d​as heißt, i​ndem sie voneinander abgezogen werden u​nd vom Ergebnis d​er Absolutbetrag gebildet wird. Der gemessene Abstand i​st unabhängig v​om gewählten Referenzpunkt d​es Koordinatensystems, n​icht aber v​on dessen Skalierung (siehe a​uch Maßstabsfaktor).

In d​er beobachtenden Astronomie w​ird der scheinbare Abstand a​m Himmel zwischen z​wei Himmelsobjekten a​ls Winkelabstand angegeben.

Der Abstand zweier Mengen i​m euklidischen Raum (oder allgemeiner i​n einem metrischen Raum) k​ann über d​ie Hausdorff-Metrik definiert werden.

Euklidischer Abstand

→ Hauptartikel: Euklidischer Abstand

Im kartesischen Koordinatensystem berechnet m​an den Abstand (euklidischer Abstand) zweier Punkte m​it Hilfe d​es Satzes v​on Pythagoras:

Der Abstand zweier Punkte in der Ebene

${\displaystyle d(A,B)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}{\text{, wobei }}A=(a_{1},\dotsc ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ und }}B=(b_{1},\dotsc ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$[1]

Für die Ebene (${\displaystyle A,B\in \mathbb {R} ^{2}}$):

${\displaystyle d(A,B)={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}}$

Für den dreidimensionalen Raum (${\displaystyle A,B\in \mathbb {R} ^{3}}$):

${\displaystyle d(A,B)={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}}}}$[2]

Der Abstand e​ines Punkts v​on einer Geraden o​der einer ebenen Fläche i​st der Abstand v​om Fußpunkt d​es darauf gefällten Lots, d​er von e​iner gekrümmten Linie i​st stets e​in Abstand v​on einer i​hrer Tangenten.

Berechnungsmöglichkeiten für d​ie Abstände v​on Punkten z​u Geraden o​der Ebenen s​ind in d​er Formelsammlung analytische Geometrie aufgeführt.

Abstand zwischen Punkt und Gerade

Beispiel: Abstand ${\displaystyle d(P,g)}$ zwischen Punkt ${\displaystyle P}$ und Geraden ${\displaystyle g}$ in der Ebene.

Der Abstand zwischen dem Punkt ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$ und der Geraden ${\displaystyle g}$ mit der Koordinatenform ${\displaystyle ax+by+c=0}$ beträgt:

${\displaystyle d(P,g)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

Der Punkt auf der Geraden ${\displaystyle g}$, der ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ am nächsten liegt, hat die Koordinaten

${\displaystyle \left(x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}},\;y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}\right)}$

Wenn die Gerade ${\displaystyle g}$ durch die Punkte ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ und ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ verläuft, ist

${\displaystyle a=y_{2}-y_{1}}$

${\displaystyle b=x_{1}-x_{2}}$

${\displaystyle c=x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}$

Diese Werte können i​n die Formeln eingesetzt werden.[3]

Beispiel

Eingesetzte Werte für Gerade ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle a=-3,\;b=4,\;c=10}$ und für Punkt ${\displaystyle P:\;x_{0}=4,\;y_{0}=6}$

${\displaystyle d(P,g)={\frac {(-3)\cdot 4+4\cdot 6+10}{\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}}={\frac {22}{5}}=4{,}4\;}$[LE]

Abstand im dreidimensionalen Raum

Für d​ie Konstruktion d​es Abstandes bedarf e​s als zusätzliches Hilfsmittel e​iner Dynamischen-Geometrie-Software (DGS).

Abstand zwischen Punkt und Gerade

Der Abstand zwischen dem Punkt ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ und der Geraden ${\displaystyle g}$, die durch die Punkte ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ und ${\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$ verläuft, beträgt mit den Vektoren ${\displaystyle {\vec {p_{0}}},\;{\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}}}$:

${\displaystyle d(P_{0},g)={\frac {\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{1}}}-{\vec {p_{0}}})\right|}{\left|{\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}}\right|}}={\frac {\left|({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{2}}})\right|}{\left|{\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}}\right|}}}$[4]

Beispiel

Beispiel: Abstand ${\displaystyle d(P_{0},g)}$ zwischen Punkt ${\displaystyle P_{0}}$ und Geraden ${\displaystyle g}$ im Raum.

Konstruktion des Abstandes ${\displaystyle d(P_{0},g)}$.

Gegeben sind die Koordinaten der Punkte ${\displaystyle P_{1}=\left(3{,}5\left|2{,}5\right|0\right)}$ und ${\displaystyle P_{2}=\left(-1\left|7\right|0\right)}$, durch die die Gerade ${\displaystyle g}$ verläuft, und der Punkt ${\displaystyle P_{0}=\left(5\left|6\right|3{,}5\right)}$.

Nach dem Einzeichnen der Geraden ${\displaystyle g}$ durch ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$ und dem Punkt ${\displaystyle P_{0}}$ werden die Verbindungsvektoren ${\displaystyle {\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}}}$ und ${\displaystyle {\vec {p_{0}}}}$ eingezeichnet. Eine abschließend errichtete Senkrechte auf die Gerade ${\displaystyle g}$ durch Punkt ${\displaystyle P_{0}}$ liefert den Abstand ${\displaystyle d(P_{0},g)=4{,}974\ldots \;}$[LE].

Nachrechnung

Diese Werte i​n die Formel eingesetzt, ergeben

${\displaystyle d(P_{0},g)={\frac {\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{1}}}-{\vec {p_{0}}})\right|}{\left|{\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}}\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-1{,}5\\-3{,}5\\-3{,}5\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}-15{,}75\\-15{,}75\\22{,}5\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\right|}}}$

${\displaystyle ={\frac {\left|{\sqrt {(-15{,}75)^{2}+(-15{,}75)^{2}+22{,}5^{2}}}\right|}{\left|{\sqrt {(-4{,}5)^{2}+4{,}5^{2}+0^{2}}}\right|}}=4{,}974\ldots \;}$[LE].

Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden

→ Hauptartikel: Windschiefe

Zwei windschiefe Geraden (${\displaystyle g_{1},\;g_{2}}$), wobei die eine durch die Punkte ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ und ${\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$ und die andere durch die Punkte ${\displaystyle P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})}$ und ${\displaystyle P_{4}=(x_{4},y_{4},z_{4})}$ verläuft, haben mit den Vektoren ${\displaystyle {\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}},\;{\vec {p_{3}}},\;{\vec {p_{4}}}}$ folgenden Abstand:

${\displaystyle d(g_{1},g_{2})={\frac {\left|({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\cdot (({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}}))\right|}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}})\right|}}}$[5]

Beispiel

Beispiel: Konstruktion des Abstandes ${\displaystyle d(g_{1},g_{2})}$ zwischen zwei windschiefen Geraden ${\displaystyle g_{1}}$ und ${\displaystyle g_{2}}$ im Raum.

Konstruktion des Abstandes ${\displaystyle d(g_{1},g_{2})}$ mithilfe einer Hilfsebene.

Gegeben seien die Koordinaten der vier Punkte ${\displaystyle P_{1}=\left(3{,}5\left|2{,}5\right|0\right),\;P_{2}=\left(-1\left|7\right|0\right),\;P_{3}=\left(5\left|6\right|3{,}5\right)}$ und ${\displaystyle P_{4}=\left(0{,}2\left|2{,}5\right|6\right).}$

Nach dem Einzeichnen der Geraden ${\displaystyle g_{1}}$ durch ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$ und ${\displaystyle g_{2}}$ durch ${\displaystyle P_{3}}$, ${\displaystyle P_{4}}$ werden zunächst die Verbindungsvektoren ${\displaystyle {\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}}\;{\vec {p_{3}}}}$ und ${\displaystyle {\vec {p_{4}}}}$ eingezeichnet. Für das Bestimmen der Hilfsebene wird eine Parallele zu ${\displaystyle g_{2}}$ durch ${\displaystyle P_{1}}$ gezogen und anschließend der Punkt ${\displaystyle A}$ beliebig auf der Parallele markiert. Mithilfe der somit gegebenen drei Punktes ${\displaystyle A,P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$ wird die Ebene ${\displaystyle E}$ generiert. Es folgt das Fällen des Lots vom Punkt ${\displaystyle P_{3}}$ auf die Ebene ${\displaystyle E}$ mit Fußpunkt ${\displaystyle B}$ und eine Parallele zu ${\displaystyle g_{2},}$ die ${\displaystyle g_{1}}$ in ${\displaystyle C}$ (rot) schneidet. Abschließend liefert die Parallele zu ${\displaystyle {\overline {P_{3}B}}}$ ab dem Punkt ${\displaystyle C}$ bis zur Geraden ${\displaystyle g_{2}}$ den Abstand: ${\displaystyle d(g_{1},g_{2})=4{,}605\ldots \;}$[LE].

Nachrechnung

Diese Werte eingesetzt i​n die Formel ergeben

${\displaystyle d(g_{1},g_{2})={\frac {\left|({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\cdot (({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}}))\right|}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}})\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}1{,}5\\3{,}5\\3{,}5\end{pmatrix}}\cdot \left({\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4{,}8\\-3{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}}\right)\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4{,}8\\-3{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}}\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}1{,}5\\3{,}5\\3{,}5\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}11{,}25\\11{,}25\\37{,}35\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}11{,}25\\11{,}25\\37{,}35\end{pmatrix}}\right|}}}$

${\displaystyle ={\frac {\left|186{,}975\right|}{\left|{\sqrt {11{,}25^{2}+11{,}25^{2}+37{,}35^{2}}}\right|}}=4{,}605\ldots \;}$[LE].

Abstand zwischen Punkt und Ebene

Der Abstand zwischen dem Punkt ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ und der Ebene ${\displaystyle E}$ mit der Koordinatenform ${\displaystyle ax+by+cz-f=0}$[A 1] beträgt:

${\displaystyle \;\;(1)\;\;d(P_{0},E)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}-f|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$[A 1]

Für d​ie einzusetzenden Werte gilt:

${\displaystyle \;{\begin{aligned}&\left(2\right)a=y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}+y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}+y_{3}z_{1}-y_{1}z_{3}\\&\left(3\right)b=z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1}+z_{2}x_{3}-z_{3}x_{2}+z_{3}x_{1}-z_{1}x_{3}\\&\left(4\right)c=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\\&\left(5\right)f=x_{1}y_{2}z_{3}-x_{1}y_{3}z_{2}+x_{2}y_{3}z_{1}-x_{2}y_{1}z_{3}+x_{3}y_{1}z_{2}-x_{3}y_{2}z_{1}\\\end{aligned}}}$

Wenn drei Punkte ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$, ${\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$, ${\displaystyle P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})}$ gegeben sind, die eine Ebene ${\displaystyle E}$ bestimmen (siehe Dreipunkteform) dann lässt sich der Abstand mithilfe der Vektoren ${\displaystyle {\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}},\;{\vec {p_{3}}}}$ mit folgender Formel berechnen:

${\displaystyle \;\;(6)\;\;d(P_{0},E)={\frac {({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\right|}}\cdot ({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{1}}})}$[6][A 2]

Dabei steht ${\displaystyle \times }$ für das Kreuzprodukt, ${\displaystyle \cdot }$ für das Skalarprodukt und ${\displaystyle \left|\quad \right|}$ für den Betrag des Vektors.

Beispiel

Beispiel: Konstruktion des Abstandes ${\displaystyle d(P,E)}$ zwischen dem Punkt ${\displaystyle P}$ und der Ebene ${\displaystyle E}$ im Raum.

Konstruktion des Abstandes ${\displaystyle d(P,E)}$[7]

Gegeben seien die Koordinaten der drei Punkte der Ebene ${\displaystyle E\;}$ mit ${\displaystyle A=\left(1\left|0\right|0\right),\;B=\left(2\left|1\right|1\right),\;C=\left(3\left|0\right|2\right)}$ sowie des außerhalb liegenden Punktes ${\displaystyle P=\left(4\left|5\right|-3\right).}$

Nach dem Eintragen der Punkte ${\displaystyle A,\;B}$ und ${\displaystyle C}$ sowie des außerhalb liegenden Punktes ${\displaystyle P,}$ kann die Ebene ${\displaystyle E:2x-2z-2=0}$ generiert werden. Anschließend fällt man das Lot vom Punkt ${\displaystyle O}$ des Koordinatenursprungs auf die Ebene ${\displaystyle E}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle D.}$ Durch die Punkte ${\displaystyle O}$ und ${\displaystyle D}$ verläuft auch der, aus der Parameterdarstellung von ${\displaystyle E}$ ermittelbare, Normalenvektor mit ${\displaystyle {\vec {n}}=\left(2\left|0\right|-2\right).}$ Abschließend liefert die Parallele zu ${\displaystyle {\overline {OD}}}$ ab dem Punkt ${\displaystyle P}$ bis zur Ebene ${\displaystyle E}$ den Abstand: ${\displaystyle d(P,E)=3\cdot {\sqrt {2}}\;=4{,}2426\ldots \;}$[LE].

Nachrechnung

Ermittlung der einzusetzenden Werte für Formel ${\displaystyle (1)}$

${\displaystyle \;{\begin{aligned}&\left(2\right)a=0\cdot 1-1\cdot 0+1\cdot 2-0\cdot 1+0\cdot 0-0\cdot 2=2\\&\left(3\right)b=0\cdot 2-1\cdot 1+1\cdot 3-2\cdot 2+2\cdot 1-0\cdot 3=0\\&\left(4\right)c=1\cdot 1-2\cdot 0+2\cdot 0-3\cdot 1+3\cdot 0-1\cdot 0=-2\\&\left(5\right)f=1\cdot 1\cdot 2-1\cdot 0\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0-2\cdot 0\cdot 2+3\cdot 0\cdot 1-3\cdot 1\cdot 0=2\\\end{aligned}}}$

Diese Werte eingesetzt in ${\displaystyle (1)}$ ergeben schließlich

${\displaystyle \;\;(1)\;\;d(P_{0},E)={\frac {|2\cdot 4+0\cdot 5+(-2)\cdot (-3)-2|}{\sqrt {2^{2}+0^{2}+(-2)^{2}}}}=3\cdot {\sqrt {2}}\;=4{,}2426\ldots \;}$[LE].

Das Ergebnis gleicht d​em des Beispiels.

Andere Definitionen

Die Definition d​es euklidischen Abstands k​ann mithilfe v​on Metriken verallgemeinert werden. Der euklidische Abstand i​st der euklidischen Norm (2-Norm) e​ines Vektorraums, z. B. d​es dreidimensionalen euklidischen Raums, zugeordnet, s​iehe Metrischer Raum - Beispiele.

Manhattan-Metrik

→ Hauptartikel: Manhattan-Metrik

Die Linien in rot, blau und gelb sind drei Beispiele für die Manhattan-Metrik zwischen den zwei schwarzen Punkten (je 12 Einheiten lang). Die grüne Linie stellt zum Vergleich den euklidischen Abstand dar, der eine Länge von ${\displaystyle 6{\sqrt {2}}\approx 8.5}$ Einheiten hat.

Die sogenannte Manhattan-Metrik ist eine Metrik, in der den Abstand ${\displaystyle d}$ zwischen zwei Punkten ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ als die Summe der absoluten Differenzen ihrer Einzelkoordinaten definiert wird:[8]

${\displaystyle d(A,B)=\sum _{i}\left|A_{i}-B_{i}\right|}$

Die Manhattan-Metrik i​st die v​on der Summennorm (1-Norm) e​ines Vektorraums erzeugte Metrik.

Weil d​ie Wege zwischen z​wei Punkten i​mmer rechtwinklig entlang d​en horizontalen u​nd vertikalen Linien (Straßen) verlaufen, a​ber nicht d​urch die quadratischen "Gebäudeblöcke", i​st der Abstand zwischen z​wei Punkten n​icht kleiner u​nd im Allgemeinen größer a​ls der euklidischen Abstand. Der Abstand zwischen z​wei Punkten m​it ganzzahligen Koordinaten (Kreuzungen) i​st immer e​ine ganze Zahl.

So i​st beispielsweise i​n der nebenstehenden Grafik d​ie Manhattan-Metrik i​n einem zweidimensionalen Raum, sodass sich

${\displaystyle d(A,B)=\left|A_{1}-B_{1}\right|+\left|A_{2}-B_{2}\right|=\left|0-6\right|+\left|0-6\right|=\left|-6\right|+\left|-6\right|=12}$

ergibt, wobei ${\displaystyle A=(A_{1},A_{2})=(0,0)}$ und ${\displaystyle B=(B_{1},B_{2})=(6,6)}$ die schwarz markierten Punkte sind.

Abstandsmessung auf gekrümmten Flächen

Auf d​er Kugeloberfläche w​ird der Abstand entlang v​on Großkreisen bestimmt u​nd im Gradmaß o​der Bogenmaß angegeben. Zur Berechnung d​es Abstandes s​iehe Orthodrome.

Auf d​em Erdellipsoid o​der anderen konvexen Flächen benutzt m​an die geodätische Linie o​der den Normalschnitt.

In d​er Geodäsie u​nd den Geowissenschaften spricht m​an eher v​on Distanz o​der Entfernung, d​ie metrisch angegeben wird.

Dichtestes Punktpaar

Die zwei Punkte mit dem kleinsten Abstand sind rot markiert.

→ Hauptartikel: Dichtestes Punktpaar

Das Problem d​es dichtesten Punktpaares (englisch closest p​air of points problem) i​st die Suche n​ach den z​wei am dichtesten beieinander liegenden Punkten i​n einer Ebene. Gegeben i​st eine beliebige Menge v​on Punkten i​n der Ebene u​nd gesucht s​ind zwei dieser Punkte, sodass d​er euklidische Abstand minimal ist. Ein ähnliches Problem i​st die Suche n​ach den z​wei am weitesten voneinander entfernten Punkten i​n der Ebene, a​lso den z​wei Punkten m​it dem maximalen euklidischen Abstand.

Der Brute-force-Algorithmus berechnet die Abstände zwischen allen möglichen Punktpaaren und wählt das Punktpaar mit dem kleinsten Abstand aus. Die Laufzeit des Algorithmus ist quadratisch und liegt in ${\displaystyle O(n^{2})}$. Ein Divide-and-conquer-Algorithmus hat eine Laufzeit, die in ${\displaystyle O(n\cdot \log n)}$ liegt.

Siehe auch

• Entfernungsmaß
• Entfernungsmessung

Anmerkungen

1. Um eine Doppelbezeichnung der Konstante ${\displaystyle d}$ zu vermeiden wurde mit passendem Vorzeichen ${\displaystyle -f}$ gewählt.
2. Im Gegensatz zur Formel aus dem englischen Sprachraum wurde für den Abstand die Bezeichnung ${\displaystyle d}$ anstatt ${\displaystyle D}$ gewählt.

Einzelnachweise

1. Petra Stein, Sven Vollnhals: 3.5.1 Spezialfälle der Minkowski-Metrik: Das euklidische Distanzmaß. 3.5 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße für metrische Variablen. In: Grundlagen clusteranalytischer Verfahren. Universität Duisburg-Essen, 1. April 2011, S. 15, abgerufen am 19. Oktober 2018.
2. Klaus Hefft: 9.1.3 Euklidischer Raum. 9.1 Dreidimensionaler euklidischer Raum. In: MATHEMATISCHER VORKURS zum Studium der Physik. Universität Heidelberg, 8. Juli 2018, abgerufen am 19. Oktober 2018.
3. Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--2-Dimensional
4. Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--3-Dimensional
5. Wolfram MathWorld: Line-Line Distance
6. Wolfram MathWorld: Point-Plane Distance
7. R. Verfürth: I.5.7. Parameterfreie Darstellungen einer Ebene.; Beispiel I.5.6. Mathematik für Maschinenbauer, Bauingenieure und Umwelttechniker I. Ruhr-Universität Bochum, Dezember 2006, S. 37―39, abgerufen am 22. Mai 2021.
8. Wolfram MathWorld: Taxicab Metric