Koordinatenform

Die Koordinatenform o​der Koordinatengleichung i​st in d​er Mathematik e​ine spezielle Form e​iner Geradengleichung o​der Ebenengleichung. Bei d​er Koordinatenform w​ird eine Gerade i​n der euklidischen Ebene o​der eine Ebene i​m euklidischen Raum i​n Form e​iner linearen Gleichung beschrieben. Die Unbekannten d​er Gleichung s​ind dabei d​ie Koordinaten d​er Punkte d​er Gerade o​der Ebene i​n einem kartesischen Koordinatensystem. Die Koordinatenform i​st damit e​ine spezielle implizite Darstellung d​er Gerade o​der Ebene.

Koordinatenform einer Geradengleichung

Koordinatenform einer Geradengleichung

Darstellung

In der Koordinatenform wird eine Gerade in der Ebene durch drei reelle Zahlen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ über eine lineare Gleichung beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}$ die Gleichung

${\displaystyle ax+by=c}$

erfüllen. Hierbei muss ${\displaystyle a}$ oder ${\displaystyle b}$ ungleich null sein. Bei den Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ handelt es sich um die Komponenten des Normalenvektors ${\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)}$ der Geraden. Der Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung wird durch ${\displaystyle |c|/|{\vec {n}}|}$ angegeben. Ist der Normalenvektor normiert, also ein Einheitsvektor, dann beträgt der Abstand gerade ${\displaystyle |c|}$.

Beispiel

Im Bild o​ben ist d​ie Geradengleichung i​n Koordinatenform

${\displaystyle 1x+2y=6}$.

Jede Wahl von ${\displaystyle (x,y)}$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise ${\displaystyle (0,3)}$ oder ${\displaystyle (4,1)}$, entspricht genau einem Geradenpunkt.

Spezialfälle

• Falls ${\displaystyle a=0}$ ist, verläuft die Gerade parallel zur x-Achse, und falls ${\displaystyle b=0}$ ist, parallel zur y-Achse.
• Falls ${\displaystyle c=0}$ ist, handelt es sich bei der Geraden um eine Ursprungsgerade.
• Falls ${\displaystyle c=1}$ ist, liegt die Geradengleichung in Achsenabschnittsform vor; die Achsenschnittpunkte sind dann ${\displaystyle (1/a,0)}$ und ${\displaystyle (0,1/b)}$.

Aus der Normalenform

Aus der Normalenform einer Geradengleichung mit Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}}$ und Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}}$ lassen sich die Parameter der Koordinatenform durch Ausmultiplizieren der Normalengleichung direkt ablesen:

${\displaystyle a=n_{1},~b=n_{2},~c=p_{1}n_{1}+p_{2}n_{2}}$.

Liegt eine Gerade in hessescher Normalform vor, kann der Parameter ${\displaystyle c}$ auch von dort übernommen werden.

Aus der Parameterform

Aus der Parameterform einer Geradengleichung mit Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}}$ und Richtungsvektor ${\displaystyle {\vec {u}}}$ wird zunächst ein Normalenvektor der Geraden über ${\displaystyle {\vec {n}}=(-u_{2},u_{1})}$ bestimmt und daraus dann die Parameter der Geraden in Koordinatenform als

${\displaystyle a=-u_{2},~b=u_{1},~c=p_{1}a+p_{2}b}$.

Aus der Zweipunkteform

Aus der Zweipunkteform einer Gerade durch die beiden Punkte ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ und ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ erhält man durch Ausmultiplizieren die Parameter der Koordinatenform

${\displaystyle a=y_{1}-y_{2},b=x_{2}-x_{1},c=x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}$.

Koordinatenform einer Ebenengleichung

Koordinatenform einer Ebenengleichung

Darstellung

Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Koordinatenform durch vier reelle Zahlen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ und ${\displaystyle d}$ beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten ${\displaystyle (x,y,z)}$ die Gleichung

${\displaystyle ax+by+cz=d}$

erfüllen. Hierbei muss ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ oder ${\displaystyle c}$ ungleich null sein. Bei den Zahlen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ handelt es sich um die Komponenten des Normalenvektors ${\displaystyle {\vec {n}}=(a,b,c)}$ der Ebene. Der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung wird durch ${\displaystyle |d|/|{\vec {n}}|}$ angegeben. Ist der Normalenvektor normiert, dann beträgt der Abstand gerade ${\displaystyle |d|}$.

Beispiel

Ein Beispiel für e​ine Ebenengleichung i​n Koordinatenform ist

${\displaystyle 2x+3y-z=1}$.

Jede Wahl von ${\displaystyle (x,y,z)}$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise ${\displaystyle (1,0,1)}$ oder ${\displaystyle (0,1,2)}$, entspricht genau einem Ebenenpunkt.

Spezialfälle

• Falls ${\displaystyle a=0}$ ist, verläuft die Ebene parallel zur x-Achse, falls ${\displaystyle b=0}$ ist, parallel zur y-Achse, und falls ${\displaystyle c=0}$ ist, parallel zur z-Achse.
• Falls ${\displaystyle d=0}$ ist, handelt es sich bei der Ebene um eine Ursprungsebene.
• Falls ${\displaystyle d=1}$ ist, liegt die Ebenengleichung in Achsenabschnittsform vor; die Achsenschnittpunkte sind dann ${\displaystyle (1/a,0,0)}$, ${\displaystyle (0,1/b,0)}$ und ${\displaystyle (0,0,1/c)}$.

Aus der Normalenform

Aus der Normalenform einer Ebenengleichung mit Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}}$ und Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}}$ lassen sich die Parameter der Ebene in Koordinatenform ebenfalls durch Ausmultiplizieren ablesen:

${\displaystyle a=n_{1},~b=n_{2},~c=n_{3},~d=p_{1}n_{1}+p_{2}n_{2}+p_{3}n_{3}}$.

Liegt eine Ebene in hessescher Normalform vor, kann der Parameter ${\displaystyle d}$ auch von dort übernommen werden.

Aus der Parameterform

Aus der Parameterform einer Ebenengleichung mit Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}}$ und den beiden Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {u}}}$ und ${\displaystyle {\vec {v}}}$ wird zunächst ein Normalenvektor der Ebene über das Kreuzprodukt ${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}}$ bestimmt und daraus dann die Parameter der Ebene in Koordinatenform als

${\displaystyle a=u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},~b=u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},~c=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1},~d=p_{1}a+p_{2}b+p_{3}c}$.

Analog lässt s​ich auf d​iese Weise a​uch aus d​er Dreipunkteform e​iner Ebenengleichung e​in Normalenvektor ermitteln u​nd daraus d​ann die Koordinatenform.

Verallgemeinerung

Allgemein wird durch eine lineare Gleichung mit ${\displaystyle n}$ Unbekannten ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$ eine Hyperebene im ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raum beschrieben. Eine Hyperebene besteht dann aus denjenigen Punkten ${\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n})}$, deren Koordinaten die Gleichung

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\dotsb +a_{n}x_{n}=b}$

erfüllen. Hierbei muss zumindest einer der Parameter ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}}$ ungleich null sein.[1]

Literatur

• Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden. Springer, 2011, ISBN 978-3-8274-2762-5.
• Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra: Grundlagen und Anwendungen. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-32186-3.

Einzelnachweise

1. Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra: Grundlagen und Anwendungen. Springer, 2012, S. 41–42.

Weblinks

• Ebene von Normalform in Koordinatenform umwandeln. In: Serlo. Abgerufen am 23. Februar 2014.
• Ebene von Parameterform in Koordinatenform umwandeln. In: Serlo. Abgerufen am 23. Februar 2014.