Hausdorff-Metrik

Die Hausdorff-Metrik, benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff, misst den Abstand ${\displaystyle \delta (A,B)}$ zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ eines metrischen Raums ${\displaystyle E}$.

Die gefärbten Mengen links haben verhältnismäßig geringen Hausdorff-Abstand zu den entsprechenden Mengen rechts.

Anschaulich h​aben zwei kompakte Teilmengen e​inen geringen Hausdorff-Abstand, w​enn es z​u jedem Element d​er einen Menge e​in Element d​er anderen Menge gibt, z​u dem dieses e​inen geringen Abstand hat.

Definition

Als Hilfsmittel definiert man den Abstand ${\displaystyle D}$ zwischen einem Punkt ${\displaystyle x}$ und einer nichtleeren kompakten Teilmenge ${\displaystyle K\subseteq E}$ unter Rückgriff auf die Metrik ${\displaystyle d}$ des Raums ${\displaystyle E}$ als

${\displaystyle D(x,K):=\min\{d(x,k)\mid k\in K\}.}$

Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ als

${\displaystyle \delta (A,B):=\max\{\max\{D(a,B)\mid a\in A\},\max\{D(b,A)\mid b\in B\}\}.}$

Man kann zeigen, dass ${\displaystyle \delta }$ in der Tat eine Metrik auf der Menge aller kompakten Teilmengen von ${\displaystyle E}$ ist.

Äquivalent k​ann man d​en Hausdorff-Abstand definieren als

${\displaystyle \delta (A,B)=\inf\{\epsilon \geq 0\,|\ A\subseteq B_{\epsilon }{\text{ und }}B\subseteq A_{\epsilon }\}}$,[1]

wobei

${\displaystyle A_{\epsilon }:=\bigcup _{a\in A}\{z\in E\,|\ d(z,a)\leq \epsilon \}}$,

dies ist die Menge aller Punkte mit einem Abstand von höchstens ${\displaystyle \epsilon }$ zur Menge ${\displaystyle A}$.

Anwendungen

In d​er Theorie d​er iterierten Funktionensysteme werden Fraktale a​ls Folgengrenzwerte i​m Sinne d​er Hausdorff-Metrik erzeugt.

Siehe auch

• Hausdorff-Konvergenz
• Auswahlsatz von Blaschke
• Gromov-Hausdorff-Metrik

Literatur

• M. I. Voitsekhovskii: Hausdorff metric. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Einzelnachweise

1. James Munkres: Topology. Prentice Hall, 1999, ISBN 0-13-181629-2, S. 280–281 (google.com).