Windschiefe

In d​er Geometrie n​ennt man z​wei Geraden windschief, w​enn sie s​ich weder schneiden n​och parallel zueinander sind.[1] Dies i​st im zweidimensionalen Raum n​icht möglich, d​a hier a​lle denkbaren Geraden i​n der gleichen Ebene liegen u​nd sich schneiden o​der parallel sind. Windschiefe Geraden g​ibt es d​aher nur i​n mindestens dreidimensionalen Räumen.

Darstellung zweier windschiefer Geraden

Räumliches Bild zweier windschiefer Geraden mit Gemeinlot

Das Wort „windschief“ stammt v​on der Vorstellung, d​ass zwei ursprünglich parallele Geraden u​m ihre Verbindungsachse (Transversale) „gewunden“, a​lso verdreht wurden.[2]

Zum Nachweis, dass zwei Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ windschief sind, genügt es zu zeigen, dass ein Richtungsvektor von ${\displaystyle g}$, ein Richtungsvektor von ${\displaystyle h}$ und ein Verschiebungsvektor von einem Punkt auf ${\displaystyle g}$ zu einem Punkt auf ${\displaystyle h}$ linear unabhängig sind. Äquivalent kann man zeigen, dass es keine Ebene gibt, die beide Geraden enthält.

Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden

Abstand d zweier windschiefer Geraden

Die eindeutig bestimmte Strecke kleinster Länge, die zwei windschiefe Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ verbindet, nennt man Gemeinlot der beiden Geraden. Die Gerade, auf der das Gemeinlot liegt, nennt man die Minimaltransversale der beiden Geraden. Diese ist diejenige eindeutig bestimmte Gerade, welche im rechten Winkel zu den beiden Geraden steht. Die Länge des Gemeinlots von ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ ist der Abstand ${\displaystyle d=d(g,h)}$ der beiden Geraden.

Gegeben seien die windschiefen Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ mit den Stützpunkten ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ bzw. den Stützvektoren ${\displaystyle {\vec {a}}={\overrightarrow {OA}},\;{\vec {b}}={\overrightarrow {OB}}}$ und den Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {w}}}$. Dann sind die Parameterformen der Geradengleichungen

${\displaystyle g\colon {\vec {x}}={\vec {a}}+r{\vec {v}}}$

${\displaystyle h\colon {\vec {x}}={\vec {b}}+s{\vec {w}}\ \ \,r,s\in \mathbb {R} }$,

wobei ${\displaystyle {\vec {a}},\,{\vec {b}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}}$ gilt und die drei Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}}}$ linear unabhängig sein müssen.

Der Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}}$, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {w}}}$ steht, lässt sich über das Kreuzprodukt berechnen:

${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {v}}\times {\vec {w}}}$ und auf die Länge 1 bringen: ${\displaystyle {\vec {n}}_{0}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {w}}}{|{\vec {v}}\times {\vec {w}}|}}}$.

Die Berechnung d​es Abstandes i​st möglich d​urch die orthogonale Projektion d​es Verbindungsvektors d​er Stützpunkte a​uf den Normalenvektor. Dazu w​ird der Normalenvektor a​uf die Länge 1 gebracht. Der Abstand d​er beiden windschiefen Geraden beträgt dann

${\displaystyle d(g,h)=|({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot {\vec {n}}_{0}|}$.

Schreibweise mit Determinanten

Die beiden Geradengleichungen lauten ausgeschrieben

${\displaystyle g\colon {\vec {x}}=\left({\begin{smallmatrix}a_{1}\\[0.7ex]a_{2}\\[0.7ex]a_{3}\end{smallmatrix}}\right)+r\left({\begin{smallmatrix}v_{1}\\[0.7ex]v_{2}\\[0.7ex]v_{3}\end{smallmatrix}}\right)}$

${\displaystyle h\colon {\vec {x}}=\left({\begin{smallmatrix}b_{1}\\[0.7ex]b_{2}\\[0.7ex]b_{3}\end{smallmatrix}}\right)+s\left({\begin{smallmatrix}w_{1}\\[0.7ex]w_{2}\\[0.7ex]w_{3}\end{smallmatrix}}\right)\ \ \,r,s\in \mathbb {R} }$.

Der Abstand d​er beiden windschiefen Geraden m​it Hilfe d​er Determinante d​et beträgt dann

${\displaystyle d(g,h)={\frac {\left|\det {\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}&a_{2}-b_{2}&a_{3}-b_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{pmatrix}}\right|}{\sqrt {{\begin{vmatrix}v_{2}&v_{3}\\w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}v_{3}&v_{1}\\w_{3}&w_{1}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}v_{1}&v_{2}\\w_{1}&w_{2}\end{vmatrix}}^{2}}}}}$.

Bestimmung der Lotfußpunkte

Zeichnung zur Bestimmung der Lotfußpunkte

Den Lotfußpunkt ${\displaystyle F_{h}}$ erhält man, indem man eine Hilfsebene ${\displaystyle E}$ aufstellt. Der Punkt ${\displaystyle A}$ liegt auf der Hilfsebene, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {n}}}$ spannen die Hilfsebene auf.

${\displaystyle E\colon {\vec {x}}={\vec {a}}+r{\vec {v}}+t{\vec {n}}\ \ ,r,t\in \mathbb {R} }$,

wobei d​er Normalenvektor bestimmt w​ird durch

${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {v}}\times {\vec {w}}}$.

Der Schnittpunkt von ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle h}$ ergibt den Lotfußpunkt ${\displaystyle F_{h}}$:

${\displaystyle {\vec {F}}_{h}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{1}-{\vec {b}}\cdot {\vec {n}}_{1}}{{\vec {w}}\cdot {\vec {n}}_{1}}}{\vec {w}}+{\vec {b}}}$ mit ${\displaystyle {\vec {n}}_{1}={\vec {v}}\times ({\vec {v}}\times {\vec {w}})}$

Analog erhält man ${\displaystyle F_{g}}$ mit der Ebene ${\displaystyle E'\colon {\vec {x}}={\vec {b}}+s{\vec {w}}+t{\vec {n}}\ \ \,s,t\in \mathbb {R} }$ und ihrem Schnittpunkt mit ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle {\vec {F}}_{g}={\frac {{\vec {b}}\cdot {\vec {n}}_{2}-{\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{2}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}_{2}}}{\vec {v}}+{\vec {a}}}$ mit ${\displaystyle {\vec {n}}_{2}={\vec {w}}\times ({\vec {v}}\times {\vec {w}})}$

Bei dieser Methode muss der Abstand ${\displaystyle d}$ nicht berechnet werden.

Die Lotfußpunkte können a​uch so bestimmt werden, d​ass man d​ie beiden (vorerst unbekannten) Punkte ansetzt:

${\displaystyle {\vec {F}}_{h}={\vec {a}}+r{\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {F}}_{g}={\vec {b}}+s{\vec {w}}}$

und dann einen entlang ${\displaystyle {\vec {n}}}$ verschiebt und ihn mit dem anderen zur Deckung bringt:

${\displaystyle {\vec {a}}+r{\vec {v}}+u{\vec {n}}={\vec {b}}+s{\vec {w}}}$.

Eine zeilenweise Auflösung ergibt ein System mit drei Variablen: ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle s}$. Die Fußpunkte sind dann:

${\displaystyle {\vec {a}}+r{\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}+s{\vec {w}}}$.

Der Abstand ${\displaystyle d}$ ergibt sich aus ${\displaystyle |u{\vec {n}}|}$

Bemerkung

• Im Taschenbuch der Mathematik von I.N. Bronstein und K.A. Semendjajew wird „kreuzend“ als Synonym für „windschief“ genannt.[3]

Literatur

• M. Jeger, B. Eckmann: Einführung in die vektorielle Geometrie und lineare Algebra für Ingenieure und Naturwissenschafter. Birkhäuser Verlag, Basel / Stuttgart 1967.
• Joachim Köhler et al.: Analytische Geometrie und Abbildungsgeometrie in vektorieller Darstellung. Diesterweg-Verlag, Frankfurt am Main 1971, ISBN 3-425-05302-7
• Joachim Köhler et al.: Analytische Geometrie und Abbildungsgeometrie in vektorieller Darstellung. Diesterweg-Verlag, Frankfurt am Main 1971, ISBN 3-425-05302-7
• Wilmut Kohlmann et al.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Vieweg-Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-594-10826-0
• Elisabeth und Friedrich Barth, Gert Krumbacher: Anschauliche Analytische Geometrie. Oldenbourg-Verlag, München 1997, ISBN 3-486-03500-2

Einzelnachweise

1. Meyers Rechenduden. Bibliographisches Institut, Mannheim 1960, S. 807
2. DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache. Abgerufen am 20. Mai 2021.
3. Abschnitt 3.3.1.1 Zwei Geraden in der Google-Bücher-Suche für das Taschenbuch der Mathematik