Endlichkeitsbedingungen der algebraischen Geometrie

Viele Aussagen d​es mathematischen Teilgebiets d​er kommutativen Algebra u​nd algebraischen Geometrie s​ind abhängig v​on gewissen Endlichkeitsbedingungen.

Ist e​ine Definition n​ur für Algebren formuliert, s​o ist d​ie entsprechende Aussage für geometrische Objekte d​urch lokale Karten definiert.

Es sei ${\displaystyle A}$ ein Ring.

Begriff	Erklärung
endlich	eine ${\displaystyle A}$-Algebra ${\displaystyle B}$ heißt endlich, wenn ${\displaystyle B}$ als ${\displaystyle A}$-Modul endlich erzeugt ist, d. h. wenn es eine Surjektion ${\displaystyle A^{n}\to B}$ von ${\displaystyle A}$-Moduln gibt.
endlicher Typ (Algebra)	eine ${\displaystyle A}$-Algebra ${\displaystyle B}$ ist endlichen Typs, wenn sie als ${\displaystyle A}$-Algebra endlich erzeugt ist, d. h. wenn es eine Surjektion ${\displaystyle A[X_{1},\ldots ,X_{n}]\to B}$ von ${\displaystyle A}$-Algebren gibt.
endlicher Typ (Modul)	ein ${\displaystyle A}$-Modul ${\displaystyle M}$ ist endlichen Typs, wenn er endlich erzeugt ist, d. h. wenn es eine Surjektion ${\displaystyle A^{n}\to M}$ von ${\displaystyle A}$-Moduln gibt.
endlicher Typ (Schema)	ein Schemamorphismus ${\displaystyle X\to Y}$ ist endlichen Typs, wenn das Urbild einer offenen affinen Teilmenge ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle Y}$ eine endliche Vereinigung affiner Teilmengen ${\displaystyle V_{i}}$ ist, so dass ${\displaystyle \Gamma (V_{i},{\mathcal {O}}_{X})}$ für jedes ${\displaystyle i}$ eine ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{Y})}$-Algebra endlichen Typs ist.
endlich präsentiert (Modul)	ein ${\displaystyle A}$-Modul ${\displaystyle M}$ ist endlich präsentiert, wenn er Kokern eines Homomorphismus zwischen freien Moduln endlichen Typs ist.
lokal endlicher Typ	ein Schemamorphismus ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ist lokal endlichen Typs, wenn es zu jedem Punkt ${\displaystyle x\in X}$ eine Umgebung ${\displaystyle U}$ sowie eine Umgebung ${\displaystyle V\supseteq f(U)}$ gibt, so dass ${\displaystyle f}$ als Morphismus ${\displaystyle U\to V}$ endlichen Typs ist.
quasiendlich	Ein Schemamorphismus ${\displaystyle X\to Y}$ ist quasiendlich, wenn er endlichen Typs ist und alle Fasern diskret sind; äquivalent dazu: wenn er endlichen Typs ist und die Fasern endlich (als Morphismen) sind.[1] Ein Schemamorphismus ${\displaystyle X\to Y}$ ist quasiendlich in einem Punkt ${\displaystyle x\in X}$, wenn es affine offene Umgebungen ${\displaystyle U}$ bzw. ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle x}$ bzw. ${\displaystyle f(x)}$ mit ${\displaystyle f(U)\subseteq V}$ gibt, so dass ${\displaystyle U\to V}$ quasiendlich ist.[2]
lokal quasiendlich	Ein Schemamorphismus ${\displaystyle X\to Y}$ ist lokal quasiendlich, wenn er quasiendlich in jedem Punkt ist.[3]
quasikompakt	ein Schemamorphismus ${\displaystyle X\to Y}$ ist quasikompakt, wenn das Urbild jeder offenen quasikompakten Teilmenge von ${\displaystyle Y}$ wieder quasikompakt ist.

Implikationen

• Jeder endliche Morphismus ist endlichen Typs.
• Die Morphismen endlichen Typs sind genau die Morphismen, die quasikompakt und lokal endlichen Typs sind.

Literatur

• A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)

Quellen

1. EGA II, 6.2.2, 6.2.3
2. EGA Err_III, 20
3. EGA Err_III, 20