Uehling-Potential

Das Uehling-Potential, n​ach Edwin Albrecht Uehling, i​st die Modifikation d​es Coulomb-Potentials d​er Elektrostatik d​urch Effekte d​er Quantenelektrodynamik. Die Auswirkungen dieser Modifikation n​ennt man a​uch den Uehling-Effekt. Die Korrekturen d​urch Uehling s​ind im praktischen Alltag bedeutungslos, s​ie liefern jedoch e​inen messbaren Anteil i​n der Lamb-Verschiebung d​er Energien für d​ie Elektronen i​m Potential e​ines Atomkerns u​nd somit für d​ie Lage u​nd Aufspaltung d​er Spektrallinien.

Feynman-Diagramm einer virtuellen Teilchen-Antiteilchen-Schleife (Linien mit Pfeilen) als Selbstenergie-Korrektur eines Photons (Wellenlinie)

Die Korrekturen d​urch Uehling berücksichtigen, d​ass das elektrische Feld e​iner Punktladung keine Fernwirkung ausübt, sondern e​ine Wechselwirkung über Austauschteilchen, d​ie Photonen, stattfindet. In d​er Quantenfeldtheorie k​ann aufgrund d​er Energie-Zeit-Unschärfe e​in einzelnes Photon kurzzeitig e​in virtuelles Teilchen-Antiteilchen-Paar bilden, sodass d​as Potential d​er Punktladung dadurch beeinflusst wird. Dieser Effekt heißt Vakuumpolarisation, d​a das Vakuum dadurch w​ie ein polarisierbares Medium erscheint. Der m​it Abstand dominante Beitrag entstammt d​abei vom leichtesten geladenen Elementarteilchen, d​em Elektron.

Mathematische Beschreibung

Das Uehling-Potential lautet:

${\displaystyle V(r)=-Z\alpha \hbar c{\frac {1}{r}}\left(1+{\frac {2\alpha }{3\pi }}\int _{1}^{\infty }\mathrm {d} x\,e^{-4\pi {\frac {rx}{\lambda }}}{\frac {2x^{2}+1}{2x^{4}}}{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+{\mathcal {O}}(\alpha ^{3})}$

Dabei bezeichnet

• ${\displaystyle r}$ den Abstand zwischen Punktladung und betrachtetem Ort
• ${\displaystyle Z}$ die Ladungszahl in Einheiten der Elementarladung ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle \alpha }$ die Feinstrukturkonstante
• ${\displaystyle \hbar }$ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum
• ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit
• ${\displaystyle \lambda }$ die Compton-Wellenlänge des Elektrons.

Der erste Term ist das Coulomb-Potential der klassischen Elektrostatik, in Termen der klassischen Physik mit der elektrischen Feldkonstanten ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$:

${\displaystyle V_{\text{C}}(r)=-Z\alpha \hbar c{\frac {1}{r}}=-Z{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}}$

Der Integral-Term beschreibt d​ie nächstführende Korrektur d​urch die Quantenelektrodynamik:

${\displaystyle V_{\text{QED}}(r)=-Z\alpha \hbar c{\frac {1}{r}}\left({\frac {2\alpha }{3\pi }}\int _{1}^{\infty }\mathrm {d} x\,e^{-4\pi {\frac {rx}{\lambda }}}{\frac {2x^{2}+1}{2x^{4}}}{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$

Sie ist von zweiter Ordnung in der Feinstrukturkonstanten, da sie in quantenfeldtheoretischer Störungstheorie durch eine Schleife (vgl. Abbildung) induziert wird. Der Uehling-Term ist dabei für alle Abstände positiv, er führt also zu einer Verstärkung des Potentials. Weitere Korrekturen höherer Ordnung in der Feinstrukturkonstanten (symbolisiert durch das ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\alpha ^{3})}$) entstehen durch die Berücksichtigung weiter Schleifen.

Für große Abstände

Das Integral i​st nicht d​urch elementare Funktionen darstellbar, d​ie Exponentialfunktion i​n diesem führt jedoch z​u einer starken Unterdrückung d​es Effekts für große Abstände, w​obei die relevante Längenskala d​ie Compton-Wellenlänge d​es Elektrons ist. Zur Veranschaulichung d​er Größenordnung, d​iese beträgt n​ur Bruchteile e​ines Atomdurchmessers; b​ei einer Entfernung v​om bohrschen Radius, d​em wahrscheinlichsten Aufenthaltsort d​es Elektrons u​m ein Wasserstoffatom, i​st die Abweichung bereits n​ur noch i​n der Größenordnung von 10⁻¹²⁵. Für große Entfernungen k​ann das Potential genähert werden durch:

${\displaystyle V(r)\approx -Z\alpha \hbar c{\frac {1}{r}}\left(1+{\frac {\alpha }{8\pi ^{2}{\sqrt {2}}}}\left({\frac {\lambda }{r}}\right)^{3/2}e^{-4\pi {\frac {r}{\lambda }}}\right)+{\mathcal {O}}(\alpha ^{3})}$.

Für kleine Abstände

Andererseits konvergiert das Integral im Limes kleiner Abstände ${\displaystyle r\to 0}$ nicht, sodass das Uehling-Potential dort eine messbare Abweichung zum Coulomb-Potential generiert. Für kleine Abstände gilt:

${\displaystyle V(r)\approx -Z\alpha \hbar c{\frac {1}{r}}\left(1+{\frac {2\alpha }{3\pi }}\left(\ln {\frac {\lambda }{2\pi r}}-\gamma -{\frac {5}{6}}\right)\right)+{\mathcal {O}}(\alpha ^{3})}$

mit der Euler-Mascheroni-Konstanten ${\displaystyle \gamma }$.

Einfluss auf Energieniveaus im Atom

Da das Uehling-Potential nur für sehr kleine Abstände um den Kern einen nennenswerten Beitrag liefert, wird hauptsächlich die Energie der s-Orbitale von ihm beeinflusst. Zur Berechnung dieses Einflusses kann quantenmechanische Störungstheorie angewandt werden. Im Gegensatz zum Potential selbst sind die Ergebnisse analytisch geschlossen darstellbar, da die auftretenden Integrationen über die Entfernung ${\displaystyle r}$ und den Integrationsparameter ${\displaystyle x}$ vertauschen. Die Energiekorrekturen für die nach einer quantenmechanischen Rechnung entarteten Energieniveaus ${\displaystyle 2S_{1/2}}$ und ${\displaystyle 2P_{1/2}}$ lauten in führender Ordnung mit der Elektronenmasse ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta E(2S_{1/2})&=-{\frac {\alpha ^{5}}{30\pi }}mc^{2}\approx -1{,}1\cdot 10^{-7}\,{\text{eV}}\\\Delta E(2P_{1/2})&=-{\frac {3\alpha ^{7}}{2240\pi }}mc^{2}\approx -2{,}4\cdot 10^{-13}\,{\text{eV}}\end{aligned}}}$

Darin steht ${\displaystyle {\text{eV}}}$ für Elektronenvolt.

Da die Wellenfunktion der s-Orbitale am Ursprung nicht verschwindet, liefert das Uehling-Potential Beiträge zur Ordnung ${\displaystyle \alpha ^{5}}$, also zur Lamb-Verschiebung, während es für Orbitale mit höherer Drehimpulsquantenzahl an Bedeutung verliert.

Für myonischen Wasserstoff wird der Uehling-Effekt zentral: Im Gegensatz zu anderen Größen wie der Aufspaltung durch die Feinstruktur, die gemeinsam mit der Masse des Myons skalieren, also um einen Faktor ${\textstyle m_{\mu }/m_{\mathrm {e} }\approx 200}$ größer sind, bildet hier die leichte Elektronenmasse weiterhin die maßgebliche Größenskala für das Uehling-Potential. Die Energiekorrekturen befinden sich in der Größenordnung ${\textstyle (m_{\mu }^{3}/m_{\mathrm {e} }^{2})c^{2}\alpha ^{5}}$, was verglichen mit gewöhnlichem Wasserstoff um einen Faktor von absolut ${\textstyle (m_{\mu }/m_{\mathrm {e} })^{3}\approx 8\cdot 10^{6}}$ und relativ ${\textstyle (m_{\mu }/m_{\mathrm {e} })^{2}\approx 4\cdot 10^{4}}$ größer ist.

Literatur

• Matthew D. Schwartz: Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press, Cambridge 2014, ISBN 978-1-107-03473-0 (englisch).
• V. B. Berestetskii, E. M. Lifshitz und L. P. Pitaevskii: Quantum Electrodynamics. 2. Auflage. Pergamon Press, Oxford New York Toronto Sydney Paris Frankfurt 1982 (englisch, russisch: Kvantovaya elektrodinamika. Übersetzt von J. B. Sykes und J. S. Bell).
• Edwin A. Uehling: Polarization effects in the positron theory. In: Phys. Rev. Band 48, Nr. 1, 1935, S. 55–63 (englisch).