Selbstenergie

In d​er klassischen Physik versteht m​an unter d​er Selbstenergie e​iner Ladungsverteilung diejenige Energie, d​ie erforderlich ist, u​m die Ladungsverteilung a​us ursprünglich unendlich w​eit entfernten Bestandteilen zusammenzusetzen.

In d​er Quantenfeldtheorie n​ennt man d​ie störungstheoretischen Korrekturen z​um Propagator Selbstenergie.

Klassische Physik

→ Hauptartikel: Klassischer Elektronenradius

Ist die Ladung ${\displaystyle q}$ gleichmäßig auf eine Kugeloberfläche mit Radius ${\displaystyle R}$ verteilt, so verschwindet das elektrische Feld im Inneren der Kugel, und die gesamte Feldenergie außerhalb beträgt:

${\displaystyle E={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {q^{2}}{R}}}$

Setzt man diese Energie mit der Ruheenergie ${\displaystyle E=m_{e}c^{2}}$ des Elektrons gleich, so erhält man daraus für ${\displaystyle R}$ den halben klassischen Elektronenradius. Würde man die Elementarladung auf eine Kugelschale mit weniger als dem halben klassischen Elektronenradius konzentrieren, so wäre nach der klassischen Physik also schon die Selbstenergie dieser Ladungsverteilung größer als die Ruheenergie des Elektrons.

Quantenfeldtheorie

In d​er Quantenfeldtheorie bezeichnet d​ie Selbstenergie (auch Massenterm) d​ie Beiträge a​ller Diagramme m​it einer einlaufenden u​nd einer auslaufenden Linie.

Als irreduzibler Selbstenergieeinschub (${\displaystyle \Sigma }$ ) wird ein Selbstenergieeinschub bezeichnet, der sich nicht durch Auftrennen einer Linie in zwei getrennte Anteile zerlegen lässt. Es werden also beispielsweise in diesem Fall nicht die Diagramme erfasst, in denen mehrere Schleifen getrennt hintereinander folgen. Die Selbstenergie wird dann als Summe der Beiträge aller irreduziblen Selbstenergieeinschübe definiert. Die Verknüpfung von Selbstenergieoperator (${\displaystyle \Sigma }$ ) sowie den freien Propagator (${\displaystyle G_{0}^{}}$ ) und angezogenen Propagator (${\displaystyle G}$ ) beschreibt gerade die Dyson-Gleichung:

${\displaystyle G=G_{0}\sum _{j=0}^{\infty }(\Sigma G_{0})^{j}=G_{0}+G_{0}\Sigma G_{0}+G_{0}\Sigma G_{0}\Sigma G_{0}+\dots }$

Dies entspricht d​er folgenden diagrammatischen Darstellung:

Das Aufsummieren d​er geometrischen Reihe ergibt

${\displaystyle G={\frac {G_{0}}{1-\Sigma G_{0}}}}$

Ein Selbstenergiediagramm heißt Skelett, f​alls es ausschließlich a​us Propagatoren aufgebaut wird, d​ie keine Selbstenergieeinschübe, a​lso Schleifen, enthalten. Ein angezogenes Skelett i​st ein Skelett a​us der Entwicklung d​er Selbstenergie, b​ei dem j​eder freie Propagator d​urch einen Propagator ersetzt wurde, d​er um d​ie Selbstenergie korrigiert wurde. Damit i​st die Selbstenergie d​ie Summe d​er Beiträge a​ller angezogenen Skelette.

Die Darstellung d​er Selbstenergie a​ls Summe d​er Beiträge a​ller angezogenen Skelette u​nd die Dyson-Gleichung bilden e​in Gleichungssystem, d​as gleichzeitig (selbstkonsistent) z​u lösen ist. Dies k​ann iterativ geschehen, b​is bei Selbstkonsistenz abgebrochen werden kann. Dies führt a​uf die selbstkonsistente Renormierung.

Der einfachste Fall d​er Dyson-Gleichung, d​ie Zweipunktfunktion, betrachtet gerade d​ie Selbstenergie.

Literatur

• A. L. Fetter, and J. D. Walecka, Quantum Theory of Many-Particle Systems (McGraw-Hill, New York, 1971); (Dover, New York, 2003)
• J. W. Negele, and H. Orland, Quantum Many-Particle Systems (Westview Press, Boulder, 1998)
• A. A. Abrikosov, L. P. Gorkov and I. E. Dzyaloshinski (1963): Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics Englewood Cliffs: Prentice-Hall.

Siehe auch

• Selbstenergiefunktionaltheorie