Topologische Quantenfeldtheorie

Die topologische Quantenfeldtheorie (TQFT) i​st eine Verbindung d​er Quantenfeldtheorie m​it Topologie, d​ie Ende d​er 1980er Jahre entstand (Edward Witten, Michael Atiyah). Verbindungen v​on Quantentheorie z​ur Topologie h​atte es s​chon vorher gegeben. Wichtige Größen d​er TQFT s​ind unabhängig v​on der Metrik d​er Mannigfaltigkeiten, a​uf denen d​ie Quantenfelder definiert sind. Sie s​ind deshalb a​ls quantenfeldtheoretische Modelle v​on Interesse, d​ie topologische Invarianten d​er zugrundeliegenden Mannigfaltigkeiten liefern u​nd fanden deshalb a​uch in d​er reinen Mathematik Verwendung, z​um Beispiel i​n der Knotentheorie, i​n der Topologie v​on vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten u​nd in d​er Theorie v​on Modulräumen i​n der algebraischen Geometrie. In d​er Physik wurden s​ie zum Beispiel a​ls Modell für Quantengravitation betrachtet, a​ber auch a​ls effektive Feldtheorien i​n der Festkörperphysik, w​o topologische Invarianten z​um Beispiel b​eim Quanten-Hall-Effekt v​on Bedeutung sind.

Definition

Betrachtet wird der Funktionalintegral-Formalismus von Quantenfeldtheorien, die durch skalare Wirkungsfunktionale ${\displaystyle S(\phi _{i})}$ in den Feldern ${\displaystyle \phi _{i}}$ gegeben sind. Diese sind wiederum als Funktionen auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mit Metrik ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ definiert. Man betrachtet (zum Beispiel als Observable) Funktionale ${\displaystyle O_{j}(\phi )}$ der Felder und deren Vakuumerwartungswerte:

${\displaystyle \langle O_{1}(\phi _{i})\,O_{2}(\phi _{i})\dotsm O_{n}(\phi _{i})\rangle =\int D[\phi _{i}]\,O_{1}(\phi _{i})\dotsm O_{n}(\phi _{i})e^{-S(\phi _{i})}}$

Die Quantenfeldtheorie heißt topologisch, f​alls die Vakuumerwartungswerte d​er Produkte v​on Operatoren n​icht von d​er Metrik abhängen, s​ie sind invariant u​nter Variation d​er Metrik a​uf M:

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta g^{\mu \nu }}}\langle O_{1}(\phi _{i})\,O_{2}(\phi _{i})\dotsm O_{n}(\phi _{i})\rangle =0}$

Die entsprechenden Operatoren werden Observable genannt.

Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten eine TQFT zu realisieren. Im einfachsten Fall sind das Wirkungsfunktional und die Operatoren metrikunabhängig, dann spricht man von TQFT vom Schwarz-Typ (nach Albert S. Schwarz). Ein Beispiel ist die Chern-Simons-Eichtheorie. Das erwies sich aber vielfach als zu einschränkend. Im Fall von TQFT vom Witten-Typ (oder kohomologischen TQFT) wird verlangt, dass eine skalare Symmetrie existiert (deren infinitesimale Transformationen mit ${\displaystyle \delta }$ bezeichnet wird, was aber nicht mit der Variation verwechselt werden sollte), unter der das Wirkfunktional und die Observablen invariant sind:

${\displaystyle \delta S(\phi _{i})=0}$ und ${\displaystyle \delta O_{k}(\phi _{i})=0}$

Außerdem s​oll für d​en Energie-Impuls-Tensor, definiert durch

${\displaystyle T_{\mu \nu }(\phi _{i})={\frac {\delta }{\delta g^{\mu \nu }}}S(\phi _{i})}$,

gelten:

${\displaystyle T_{\mu \nu }=\delta G_{\mu \nu }(\phi _{i})}$,

wobei ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ein Tensor ist. Das stellt sicher, dass die Vakuumerwartungswerte der Produkte von Observablen bei Variation der Metrik verschwinden.[1]

Ein Beispiel für TQFT v​om Witten-Typ i​st die Donaldson-Witten-Theorie.

Geschichte

Erste Ansätze z​ur TQFT stammen v​on Albert S. Schwarz, d​er 1978 Ray-Singer-Torsion, e​ine topologische Invariante,[2] d​urch eine Verteilungsfunktion e​iner Quantenfeldtheorie ausdrückte. Grundlegend für d​ie weitere Entwicklung – n​icht nur b​ei TQFT – w​ar Edward Wittens Arbeit v​on 1982 über Supersymmetrie u​nd Morsetheorie. 1988 gelang e​s Witten d​ann in seinem Aufsatz Topological Quantum Field Theory, z​wei wichtigen mathematische Entwicklungen, d​en Theorien v​on Simon Donaldson über topologische Invarianten v​on 4-Mannigfaltigkeiten (die wesentlich selbstduale Yang-Mills-Theorien a​uf 4-Mannigfaltigkeiten u​nd deren Instantonen benutzte) u​nd von Andreas Floer (Floer-Homologie) b​ei 3-Mannigfaltigkeiten, e​ine Interpretation m​it Hilfe e​iner TQFT z​u geben. Um d​ie gleiche Zeit entwickelte Michael Atiyah e​inen axiomatischen Zugang z​u TQFT u​nd interpretierte d​amit die Theorien v​on Witten, Donaldson, Floer u​nd anderen. Ein Höhepunkt d​er Entwicklung w​ar bald darauf d​ie Berechnung v​on Knoteninvarianten d​urch Witten m​it der Chern-Simons-Theorie.

Axiomatische Definition

Axiomatische Ansätze z​ur Charakterisierung topologischer Quantenfeldtheorien stammen größtenteils v​on Michael Francis Atiyah, d​er durch Axiome für konforme Feldtheorien v​on Graeme Segal u​nd die (oben erwähnte) geometrische Interpretation d​er Supersymmetrie Edward Wittens inspiriert wurde. Sie s​ind vor a​llem für TQFT v​om Schwarz-Typ nützlich u​nd es i​st unklar, o​b sie a​lle TQFT v​om Witten-Typ umfassen. Die grundlegende Idee ist, e​ine topologische Quantenfeldtheorie d​urch einen Funktor e​iner gewissen Kategorie v​on Kobordismen i​n die Kategorie d​er Vektorräume z​u definieren.

Sei ${\displaystyle \Lambda }$ ein kommutativer Ring mit 1 (in der Regel ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$). Die Axiome einer topologischen Quantenfeldtheorie auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension ${\displaystyle d}$ definiert über dem Ring ${\displaystyle \Lambda }$ basieren auf folgenden Objekten:

• Ein endlich erzeugter ${\displaystyle \Lambda }$-Modul ${\displaystyle Z(\Sigma )}$, der jeder orientierten geschlossenen glatten d-dimensionalen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle \Sigma }$ zugeordnet wird
• Ein Element ${\displaystyle Z(M)\in \mathrm {Z} (\partial M)}$ in Verbindung mit jeder orientierten glatten (d+1)-dimensionalen berandeten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ (mit Rand ${\displaystyle \partial M}$)

Die Axiome s​ind dann:[3]

• 1. ${\displaystyle \mathrm {Z} }$ ist funktorial in Bezug auf die die Orientierung erhaltenden Diffeomorphismen von ${\displaystyle \Sigma }$ und ${\displaystyle M}$.
• 2. ${\displaystyle \mathrm {Z} }$ ist involutorisch, das heißt ${\displaystyle Z(\Sigma ^{*})}$ = ${\displaystyle Z(\Sigma )^{*}}$, wobei ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ die Mannigfaltigkeit ${\displaystyle \Sigma }$ mit der entgegengesetzten Orientierung und ${\displaystyle Z(\Sigma )^{*}}$ den zu ${\displaystyle Z(\Sigma )}$ dualen Modul bezeichnet.
• 3. ${\displaystyle \mathrm {Z} }$ ist multiplikativ. Für disjunkte d-dimensionale Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle \Sigma _{1}}$, ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ gilt ${\displaystyle Z(\Sigma _{1}\cup \Sigma _{2})=Z(\Sigma _{1})\otimes Z(\Sigma _{2})}$.
• 4. ${\displaystyle \mathrm {Z} (\Phi )}$ = ${\displaystyle \Lambda }$ für die d-dimensionale leere Mannigfaltigkeit ${\displaystyle \Phi }$ und ${\displaystyle \mathrm {Z} (\Phi )=1}$ für die (d+1)-dimensionale leere Mannigfaltigkeit ${\displaystyle \Phi }$.
• 5. ${\displaystyle \mathrm {Z} (M^{*})}$ = ${\displaystyle {\overline {\mathrm {Z} (M)}}}$. Äquivalent dazu, ist ${\displaystyle \mathrm {Z} (M^{*})}$ disjunkt zu ${\displaystyle \mathrm {Z} (M)}$.

Axiome 4 u​nd 5 wurden v​on Atiyah ergänzt.

Physikalische Interpretation

Der zweite u​nd der vierte Punkt s​ind mit d​er zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit (im Fall d​er Raumzeit m​it relativistischer Invarianz) verbunden, während d​er dritte u​nd der fünfte d​ie quantenmechanischen Eigenschaften repräsentiert.

${\displaystyle \Sigma }$ ist der physikalische Raum (also dreidimensional in den üblichen physikalischen Theorien) und die Zusatzdimension ${\displaystyle I}$ bei dem Produkt ${\displaystyle \Sigma \times I}$ stellt eine „imaginäre Zeit“ dar, das heißt die übliche Zeitvariable mit der imaginären Einheit ${\displaystyle i}$ als Vorfaktor. Das Modul ${\displaystyle Z(\Sigma )}$ ist der Hilbertraum der betrachteten Quantentheorie. Mit dem Hamilton-Operator ${\displaystyle H}$ ergibt sich der im Hilbertraum der quantenmechanischen Zustände wirkende Zeitentwicklungsoperator ${\displaystyle e^{itH}}$ bzw. der Zeitentwicklungsoperator zur „imaginären Zeit“ ${\displaystyle e^{-tH}}$. Die wichtigsten Eigenschaften topologischer Feldtheorien sind ${\displaystyle H=0}$ und, dass es keine Dynamik bzw. Ausbreitung entlang des Zylinders ${\displaystyle \Sigma \times I}$ gibt. Es kann aber ein Tunneln von Σ₀ nach Σ₁ über eine dazwischen liegende Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle \partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}}$ geben.

Für ${\displaystyle \partial M=\Sigma }$ stellt der Vektor ${\displaystyle Z(M)}$ im Hilbertraum ${\displaystyle Z(\Sigma )}$ den Vakuumzustand auf ${\displaystyle M}$ dar. Für eine geschlossene Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist ${\displaystyle Z(M)}$ der Vakuumerwartungswert.

Die Entwicklung einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit (zum Beispiel eines Knotens) in der vierdimensionaler Raumzeit (oder allgemeiner einer d-dimensionalen Mannigfaltigkeit in der (d+1)-dimensionalen Raumzeit) entspricht einem Kobordismus. Sei ${\displaystyle A}$ ein Raum (zum Beispiel ein Knoten) zum Zeitpunkt ${\displaystyle t_{\text{1}}}$ und ${\displaystyle B}$ der Raum zum Zeitpunkt ${\displaystyle t_{\text{2}}}$, so ist die Weltfläche ${\displaystyle C}$ dieser Räume ein Kobordismus mit A und B als dessen Rändern: ${\displaystyle \partial C=A\cup B}$. Die zugehörigen Hilberträume von A und B werden in der TQFT durch Operatoren aufeinander abgebildet, die nur von der Topologie von ${\displaystyle C}$ abhängen.

Beispiele

Chern-Simons-Theorie

Die Chern-Simons-Theorie ist eine TQFT vom Schwarz-Typ mit einer Eichgruppe ${\displaystyle G}$ und zugehörigem Hauptfaserbündel mit Zusammenhang ${\displaystyle A}$. Das Wirkungsfunktional ist das Integral der Chern-Simons-3-Form über die dreidimensionale Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}{\text{Sp}}\,(A\wedge dA+{\tfrac {2}{3}}A\wedge A\wedge A)}$

Dabei steht ${\displaystyle {\text{Sp}}}$ für die Spurbildung in der Eichgruppe. Die Chern-Simons-Theorie bietet einen feldtheoretischen Rahmen zur Beschreibung dreidimensionaler Knoten und Verschlingungen (Links). Witten zeigte, dass die Vakuumerwartungswerte von durch Wilson-Loops gegebenen Operatoren topologische Knoteninvarianten ergeben. Wilson-Loops zu einer Schleife ${\displaystyle K}$ in ${\displaystyle M}$ sind definiert als

${\displaystyle W_{R}(K)={\text{Sp}}_{R}\,{\mathcal {P}}\,\exp {i\oint _{K}A}}$,

wobei ${\displaystyle R}$ eine irreduzible Darstellung von ${\displaystyle G}$ bezeichnet und ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ die Wegordnung des Exponentials. Ein Link wird als Vereinigung von Schleifen betrachtet und die Korrelationsfunktion der zugehörigen Wilsonloops ist im Fall ${\displaystyle G=SU(N)}$ proportional zum HOMFLY-Polynom (für ${\displaystyle N=2}$ liegt der Spezialfall des Jones-Polynoms vor), für ${\displaystyle G=SO(N)}$ erhält man die Kauffman-Polynome. Auch die Vassiliev-Invarianten der Knotentheorie (nach Wiktor Anatoljewitsch Wassiljew) können störungstheoretisch in der Chern-Simons-Theorie berechnet werden (sie sind Koeffizienten der störungstheoretischen Entwicklung der Korrelationsfunktionen).

Neben d​er hier betrachteten dreidimensionalen Theorie g​ibt es a​uch höherdimensionale Verallgemeinerungen.[4]

Die Chern-Simons-Theorie i​st die nichtabelsche Verallgemeinerung d​er einfachsten TQFT v​om Schwarz-Typ:

${\displaystyle S=\int _{M}{\text{Sp}}\,(\,A\wedge dA\,)}$

BF-Theorie

Eine weitere topologische Quantenfeldtheorie stellt d​ie BF-Theorie d​ar (BF s​teht für Background Field, Hintergrundfeld). Sie i​st als einzige topologische Feldtheorie konsistent i​n jeder Dimension formulierbar. Ihre Wirkung i​st folgendermaßen definiert:[5]

${\displaystyle S=\int _{M}{\text{Sp}}(\mathbf {B} \wedge \mathbf {F} )}$

Wieder gibt es zur Eichgruppe ${\displaystyle G}$ ein Hauptfaserbündel (Prinzipalbündel) mit Zusammenhang ${\displaystyle A}$. Außerdem gibt es ein dynamisches Feld ${\displaystyle B}$, das im hier betrachteten Fall einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit M eine 2-Form mit Werten in der adjungierten Darstellung der Eichgruppe ist (im allgemeinen ${\displaystyle d}$-dimensionalen Fall ist sie eine ${\displaystyle (d-2)}$-Form). Die Spurbildung erfolgt in der gewählten Darstellung der Eichgruppe.

Die Krümmung ${\displaystyle F}$ ist gegeben durch

${\displaystyle \mathbf {F} \equiv d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$.

Die BF-Theorie verallgemeinert den Fall der Yang-Mills-Theorie, in der ${\displaystyle B}$ durch ${\displaystyle *F}$ gegeben ist, mit dem Hodge-Stern-Operator *, der der 2-Form ${\displaystyle F}$ die ${\displaystyle (d-2)}$-Form ${\displaystyle *F}$ zuordnet (${\displaystyle d}$ ist die Dimension der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit M). Das Wirkfunktional ist bei der Yang-Mills-Theorie proportional:

${\displaystyle S\sim \int _{M}{\text{Sp}}(*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} )}$

Eine bestimmte Formulierung d​er Einstein-Hilbert-Wirkung d​er Gravitation h​at die Form e​iner BF-Theorie.[6]

Wittensche Feldtheorien

Die Donaldson-Witten-Theorie i​st eine d​er wichtigsten Vertreter d​er Wittenschen Feldtheorien. Sie bietet e​ine Möglichkeit z​um Studium 4-dimensionaler, glatter Mannigfaltigkeiten. Wichtig s​ind hier Seiberg-Witten-Invarianten.

Die e​rste Version e​iner solchen Feldtheorie w​urde von Edward Witten 1988 i​n Form e​iner topologischen Yang-Mills-Theorie veröffentlicht, e​iner getwisteten Version e​iner supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie i​n vier Raum-Zeit-Dimensionen. Witten konnte d​amit Invarianten v​on Simon Donaldson für vierdimensionale Mannigfaltigkeiten u​nd von Andreas Floer (Floer-Homologie) i​m Rahmen e​iner TQFT interpretieren.

Wie schon oben dargestellt, beruhen TQFT vom Witten-Typ auf der Existenz einer skalaren Symmetrie ${\displaystyle \delta }$:

1. Die Wirkung ${\displaystyle S}$ der Theorie genügt einer Symmetrie, das heißt, wenn ${\displaystyle \delta }$ eine Symmetrietransformation bezeichnet (zum Beispiel eine Lie-Ableitung), dann bleibt ${\displaystyle \delta S=0}$.

2. Die Symmetrietransformation ist exakt, das heißt ${\displaystyle \delta ^{2}=0}$.[7]

3. Es gibt Observablen ${\displaystyle O_{1},\dotsc ,O_{n}}$, die ${\displaystyle \delta O_{i}=0}$ für alle ${\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}}$ genügen.

4. Der Energie-Impuls-Tensor ist in der Form ${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\delta G^{\alpha \beta }}$ für einen beliebigen Tensor ${\displaystyle G^{\alpha \beta }}$ gegeben.

Metrikunabhängigkeit

Die topologische Quantenfeldtheorie i​st gegenüber d​er Metrik u​nd Koordinatentransformationen d​er Raumzeit invariant, d​as heißt, d​ass sich z​um Beispiel d​ie Korrelationsfunktionen d​er Feldtheorie b​ei Veränderungen d​er Raumzeit-Geometrie n​icht ändern. Deshalb s​ind topologische Feldtheorien a​uf klassischen Minkowski-Räumen a​us der Speziellen Relativitätstheorie u​nd der Elementarteilchenphysik n​icht besonders nützlich, d​a der Minkowski-Raum a​us topologischer Sicht e​in kontrahierbarer Raum i​st und sämtliche topologischen Invarianten trivial sind. Daher werden topologische Feldtheorien meistens n​ur auf gekrümmten Riemannschen Flächen bzw. a​uf gekrümmten Raumzeiten betrachtet u​nd sind für d​as Studium v​on Modellen d​er Quantengravitation v​on Interesse, d​eren Formulierung i​n Bezug a​uf die Metrik hintergrundunabhängig s​ein sollte.

Siehe auch

• Kobordismus-Vermutung

Literatur

Originalarbeiten:

• Michael Atiyah: New invariants of three and four dimensional manifolds. In: Proc. Symp. Pure Math. Band 48. American Math. Soc., 1988, S. 285–299.
• Michael Atiyah: Topological quantum field theories. In: Publications Mathématiques de l’IHÉS. Band 68, 1988, S. 175–186, doi:10.1007/BF02698547 (online [PDF]).
• E. Witten: Topological Quantum Field Theory. Comm. Math. Phys., Band 117, 1988, S. 353–386, Project Euclid.
• E. Witten: Quantum Field Theory and the Jones Polynomial. Comm. Math. Phys., Band 121, 1989, S. 351, Project Euclid.
• E. Witten: Supersymmetry and Morse Theory. J. Diff. Geom., Band 17, 1982, S. 661–692, Project Euclid.
• E. Witten: Topological sigma models. Communications in Mathematical Physics, Band 118, 1988, S. 411–449, Project Euclid.

Übersichten:

• D. Birmingham, M. Blau, M. Rakowski, G. Thompson: Topological Field Theory. Physics Reports, Band 209, 1991, S. 129–340.
• S. Cordes, Gregory W. Moore, S. Ramgoolam: Lectures on 2D Yang-Mills-Theory, eqivariant cohomology and topological field theories. Les Houches Lectures, Session 62, Elsevier 1994, Arxiv.
• J. M. F. Labastida, M. Marino: Topological Quantum Field Theory and Four Manifolds. Elsevier 2005.
• J. M. F. Labastida, C. Lozano: Lectures on Topological Quantum Field Theory. In: H. Falomir, R. Gamboa, F. Schaposnik: Trends in Theoretical Physics. AIP, New York 1998, Arxiv.
• J. M. F. Labastida, C. Lozano: Topological Quantum Field Theory. In: Jean-Pierre Françoise, Gregory L. Naber, Tsou Sheung Tsun: Encyclopedia of Mathematical Physics. Elsevier, 2006.
• Ruth Lawrence: An introduction to topological field theory, in: L.H. Kauffman (Hrsg.), The interface of knots and physics, Proc. Symp. Applied Math. 51, Amer. Math. Soc., 1996, S. 89–128
• Cumrun Vafa: Unifying Themes in Topological Field Theories, Conference on geometry and topology in honor of M. Atiyah, R. Bott, F. Hirzebruch and I. Singer, Harvard University 2000, Arxiv
• Albert Schwarz: Topological Quantum Field Theories. UC Davis, 2000, Arxiv.

Weblinks

• Vladimir G. Ivancevic, Tijana T. Ivancevic: Undergraduate Lecture Notes in Topological Quantum Field Theory. 2008, Arxiv.
• Lexikon der Physik. Topologische QFT. Spektrum.

Einzelnachweise

1. Siehe Vladimir G. Ivancevic, Tijana T. Ivancevic: Undergraduate Lecture Notes in Topological Quantum Field Theory. 2008, S. 36, Arxiv.
2. Schwarz: The partition function of a degenerate quadratic functional and the Ray-Singer-Invariants. Lett. Math. Phys., Band 2, 1978, S. 247.
3. Atiyah: Topological quantum field theories. Pub. Math. IHES 1988, S. 178.
4. Higher dimensional Chern Simons theory. Ncat-Lab.
5. Zum Beispiel Alberto Cattaneo, Paolo Cotta-Ramusino, Jürg Fröhlich, Maurizio Martellini: Topological BF-Theories in 3 and 4 dimensions. J. Math. Phys., Band 36, 1995, S. 6137–6160, Arxiv.
6. Gravity as BF theory. Ncat-Lab.
7. Die Symmetrieoperatoren ${\displaystyle \delta }$ stehen mit dem Becchi-Rouet-Stora-Tyutin-Formalismus (BRST) der Quantisierung von Eichfeldtheorien (oder allgemein Quantentheorien mit Zwangsbedingungen) und den dort verwendeten nilpotenten Operatoren in Verbindung.