Diffeomorphismus

In d​er Mathematik, insbesondere i​n den Gebieten Analysis, Differentialgeometrie u​nd Differentialtopologie, i​st ein Diffeomorphismus e​ine bijektive, stetig differenzierbare Abbildung, d​eren Umkehrabbildung a​uch stetig differenzierbar ist.

Dabei können die Definitions- und Zielbereiche der Abbildung offene Mengen des endlichdimensionalen reellen Vektorraums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sein oder allgemeiner differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Je nach Differenzierbarkeitsklasse spricht man von ${\displaystyle C^{k}}$-Diffeomorphismen (${\displaystyle k\in \{1,2,\dots ,\infty ,\omega \}}$).

Bild eines rechtwinkligen Netzes auf einem Quadrat unter einem Diffeomorphismus vom Quadrat auf sich selbst.

Definition

Im Vektorraum

Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon U\to V}$ zwischen offenen Teilmengen ${\displaystyle U,V}$ des reellen Vektorraums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ heißt Diffeomorphismus, falls gilt:

• ${\displaystyle f}$ ist bijektiv,
• ${\displaystyle f}$ ist überall stetig differenzierbar,
• die Umkehrabbildung ${\displaystyle f^{-1}}$ ist überall stetig differenzierbar.

Sind ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle f^{-1}}$ sogar ${\displaystyle k}$-mal stetig differenzierbar („von der Klasse ${\displaystyle C^{k}}$“, ${\displaystyle k=1,2,3,\dotsc }$), so nennt man ${\displaystyle f}$ einen ${\displaystyle C^{k}}$-Diffeomorphismus. Sind ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle f^{-1}}$ beliebig oft differenzierbar („von der Klasse ${\displaystyle C^{\infty }}$“), so bezeichnet man ${\displaystyle f}$ als ${\displaystyle C^{\infty }}$-Diffeomorphismus. Sind ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle f^{-1}}$ beide reell-analytisch („von der Klasse ${\displaystyle C^{\omega }}$“), so nennt man ${\displaystyle f}$ einen ${\displaystyle C^{\omega }}$-Diffeomorphismus.

Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon U\to V}$ zwischen offenen Teilmengen ${\displaystyle U,V\subset \mathbb {R} ^{n}}$ heißt lokaler Diffeomorphismus, falls jeder Punkt ${\displaystyle p\in U}$ eine offene Umgebung ${\displaystyle W\subset U}$ besitzt, so dass deren Bild ${\displaystyle f(W)\subset V}$ offen und die Einschränkung ${\displaystyle f|_{W}\colon W\to f(W)}$ von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle W}$ ein Diffeomorphismus ist.

Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten

Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten w​ird der Begriff analog definiert:

Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon M\to N}$ zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ heißt Diffeomorphismus, falls sie bijektiv ist und sowohl ${\displaystyle f}$ als auch die Umkehrabbildung stetig differenzierbar sind. Wie oben werden die Begriffe ${\displaystyle C^{k}}$-, ${\displaystyle C^{\infty }}$- und ${\displaystyle C^{\omega }}$-Diffeomorphismus und lokaler Diffeomorphismus definiert.

Zwei Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ heißen diffeomorph, falls es einen Diffeomorphismus ${\displaystyle f}$ von ${\displaystyle M}$ nach ${\displaystyle N}$ gibt. Mannigfaltigkeiten, die diffeomorph sind, unterscheiden sich bezüglich ihrer differenzierbaren Struktur nicht.

Damit i​st die Diffeomorphie gerade d​ie Isomorphie i​n der Kategorie d​er differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

Eigenschaften

• Ein Diffeomorphismus ist immer auch ein Homöomorphismus, die Umkehrung gilt aber nicht.

• Aus der Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung folgt, dass in jedem Punkt ${\displaystyle p}$ die Ableitung von ${\displaystyle f}$ (als lineare Abbildung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bzw. vom Tangentialraum ${\displaystyle T_{p}M}$ nach ${\displaystyle T_{f(p)}N}$) invertierbar (bijektiv, regulär, von maximalem Rang) ist.

• Ist umgekehrt die Abbildung ${\displaystyle f}$ bijektiv und (${\displaystyle k}$-mal) stetig differenzierbar und ist ihre Ableitung an jeder Stelle invertierbar, so ist ${\displaystyle f}$ ein (${\displaystyle C^{k}}$)-Diffeomorphismus.

Eine stärkere Aussage enthält d​er Satz über d​ie Umkehrabbildung:

Satz über die Umkehrabbildung

Eine differenzierbare Abbildung mit invertierbarem Differential ist lokal ein Diffeomorphismus. Genauer formuliert:

Sei ${\displaystyle f\colon U\to V}$ stetig differenzierbar und die Ableitung von ${\displaystyle f}$ sei an der Stelle ${\displaystyle p\in U}$ invertierbar. Dann existiert eine offene Umgebung ${\displaystyle W}$ von ${\displaystyle p}$ in ${\displaystyle U}$, so dass ${\displaystyle f(W)}$ offen und die Einschränkung ${\displaystyle f|_{W}\colon W\to f(W)}$ ein Diffeomorphismus ist.

Diese Aussage gilt sowohl für Abbildungen zwischen offenen Mengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ als auch für Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten.

Beispiele

• Die Abbildung ${\displaystyle f\colon (-1,1)\to \mathbb {R} }$, wobei ${\displaystyle f(t)=\tan \left(t\cdot \pi /2\right)}$, ist ein Diffeomorphismus zwischen der offenen Menge ${\displaystyle (-1,1)}$ und der Menge der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Damit ist das offene Intervall ${\displaystyle (-1,1)}$ diffeomorph zu ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Die Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$, ist bijektiv und differenzierbar. Sie ist aber kein Diffeomorphismus, denn ${\displaystyle f^{-1}}$ ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar.

Diffeomorphie und Homöomorphie

Bei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten i​n Dimension kleiner 4 impliziert Homöomorphie i​mmer Diffeomorphie: Zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten d​er Dimension kleiner o​der gleich 3, d​ie homöomorph sind, s​ind auch diffeomorph. D. h., w​enn es e​inen Homöomorphismus gibt, d​ann gibt e​s auch e​inen Diffeomorphismus. Dies bedeutet nicht, d​ass jeder Homöomorphismus e​in Diffeomorphismus wäre.

In höheren Dimensionen ist dies nicht unbedingt der Fall. Ein prominentes Beispiel sind die Milnor-Sphären, nach John Willard Milnor: Sie sind homöomorph zur normalen 7-dimensionalen Sphäre, aber nicht diffeomorph. Für diese Entdeckung erhielt Milnor 1962 die Fields-Medaille.

Literatur

• Klaus Jänich: Vektoranalysis. 5. Auflage. Springer Verlag, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-23741-0 (Springer-Lehrbuch).
• D. K. Arrowsmith, C. M. Place: An Introduction to Dynamical Systems. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1990, ISBN 0-521-30362-1.