Modulraum

In d​er Mathematik bezeichnet m​an einen geometrischen Raum, dessen Punkte d​en verschiedenen mathematischen Objekten e​ines bestimmten Typs entsprechen, a​ls Modulraum dieser Objekte.

Beispielsweise ist die projektive Ebene ${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$ der Modulraum aller Geraden durch den Nullpunkt im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Der Modulraum der elliptischen Kurven über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist die Modulkurve ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )/H^{2}}$

In d​er algebraischen Geometrie h​at man für d​ie Klassifikation algebraisch-geometrischer Objekte d​ie Definitionen e​ines feinen Modulraums u​nd eines groben Modulraums. Der f​eine Modulraum h​at bessere Eigenschaften, existiert a​ber nicht immer.

Daneben spricht m​an auch i​n anderen Gebieten d​er Mathematik v​on Modulräumen mathematischer Objekte, o​hne dass e​s für diesen Begriff e​ine einheitliche Definition gäbe. Beispielsweise i​st in d​er symplektischen Geometrie d​er Modulraum d​er pseudoholomorphen Kurven v​on großer Bedeutung o​der in d​er Teichmüller-Theorie d​er Modulraum hyperbolischer Metriken.

Beispiel

Die projektive Ebene ${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$ ist per Definition die Menge der 1-dimensionalen Unterräume des Vektorraums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Sie lässt sich mit einem differenzierbaren Atlas versehen, so dass durch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ parametrisierte Familien 1-dimensionaler Unterräume des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ gerade den differenzierbaren Abbildungen ${\displaystyle X\to \mathbb {R} P^{2}}$ entsprechen, die Punkten ${\displaystyle x\in X}$ jeweils die dem Parameter ${\displaystyle x}$ entsprechende Gerade in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, also einen Punkt ${\displaystyle L(x)\in \mathbb {R} P^{2}}$ zuordnen.

Ähnlich lassen sich projektive Räume als Modulräume 1-dimensionaler Unterräume eines ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und allgemeiner Graßmann-Mannigfaltigkeiten als Modulräume k-dimensionaler Unterräume eines ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ interpretieren.

Modulräume in der algebraischen Geometrie: Definitionen

Feiner Modulraum

Sei ${\displaystyle F}$ ein Funktor von der Kategorie der Schemata in die Kategorie der Mengen, der jedem Schema ${\displaystyle B}$ die Menge der Familien gewisser geometrischer Objekte mit Basis ${\displaystyle B}$ zuordnet. Dann ist ${\displaystyle M}$ der feine Modulraum für den Funktor ${\displaystyle F}$, wenn es einen Isomorphismus

${\displaystyle \tau \colon F\to \operatorname {Hom} (\cdot ,M)}$

gibt.

Die universelle Familie ist die Familie über ${\displaystyle M}$, die der Identitätsabbildung ${\displaystyle id_{M}\in \operatorname {Hom} (M,M)}$ entspricht.

Grober Modulraum

Sei ${\displaystyle F}$ ein Funktor von der Kategorie der Schemata in die Kategorie der Mengen, der jedem Schema ${\displaystyle B}$ die Menge der Familien gewisser geometrischer Objekte mit Basis ${\displaystyle B}$ zuordnet. Dann ist ${\displaystyle M}$ ein grober Modulraum für den Funktor ${\displaystyle F}$, wenn es eine natürliche Transformation

${\displaystyle \tau \colon F\to \operatorname {Hom} (\cdot ,M)}$

gibt, d​ie universell bzgl. a​ller natürlichen Transformationen ist.

Zu e​inem groben Modulraum g​ibt es i​m Allgemeinen k​eine universelle Familie.

Beispiele

Möbiusband als 1-dimensionales Vektorbündel über dem Kreis

• Der feine Modulraum der Äquivalenzklassen endlicher Mengen modulo Bijektion ist die Menge der natürlichen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} }$.
• Der feine Modulraum 1-dimensionaler Unterräume des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ist die projektive Ebene.
• Es gibt bis auf Isomorphismus nur einen 1-dimensionalen Vektorraum und tatsächlich ist der Punkt ein grober Modulraum 1-dimensionaler Vektorräume. Er ist aber kein feiner Modulraum, denn das Möbiusband als 1-dimensionales Vektorbündel über dem Kreis entspricht keiner Abbildung ${\displaystyle S^{1}\to \left\{Punkt\right\}}$. Der Punkt ist aber ein feiner Modulraum für die Äquivalenzklassen ${\displaystyle (V,1)}$ aus einem 1-dimensionalen Vektorraum ${\displaystyle V}$ und einem von ${\displaystyle 0}$ verschiedenen Element ${\displaystyle 1\in V}$, denn das Möbiusband als 1-dimensionales Vektorbündel hat keinen Schnitt ohne Nullstellen.

4-Tupel von Punkten auf der projektiven Geraden

Das Doppelverhältnis bleibt unter projektiven Automorphismen erhalten.

Der feine Modulraum für die Quadrupel paarweise verschiedener Punkte auf der projektiven Geraden ${\displaystyle P^{1}}$ ist offensichtlich ${\displaystyle (P^{1}\times P^{1}\times P^{1}\times P^{1})\setminus Diagonalen}$.

Die universelle Familie ist eine Teilmenge von ${\displaystyle Q\times P^{1}}$, nämlich die Vereinigung der Bilder der durch ${\displaystyle \sigma _{i}(p)=(p,p_{i})}$ für ${\displaystyle p=(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})}$ gegebenen Schnitte ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{4}\colon Q\to Q\times P^{1}}$.

Zwei Quadrupel heißen projektiv äquivalent, wenn es einen projektiven Automorphismus ${\displaystyle A\in PGL_{2}}$ gibt, der das eine Quadrupel auf das andere abbildet. Bekanntlich ist das Doppelverhältnis eines Quadrupels paarweise verschiedener Punkte ein Element aus ${\displaystyle P^{1}\setminus \left\{0,1,\infty \right\}}$ und zwei solche Quadrupel sind genau dann projektiv äquivalent, wenn sie dasselbe Doppelverhältnis haben. Daraus kann man leicht herleiten, dass ${\displaystyle P^{1}\setminus \left\{0,1,\infty \right\}}$ der feine Modulraum für Quadrupel modulo projektiver Äquivalenz und ${\displaystyle (P^{1}\setminus \left\{0,1,\infty \right\})\times P^{1}}$ die universelle Familie ist.

Modulräume in anderen Gebieten der Mathematik

• Modulraum der Riemannschen Metriken auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit[1]
• Modulraum der pseudoholomorphen Kurven in einer symplektischen Mannigfaltigkeit[2]
• Modulraum der flachen Zusammenhänge eines Prinzipalbündels[3]

Literatur

• David Mumford, John Fogarty, Frances Kirwan: Geometric invariant theory (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 34). 3. Auflage. Springer, Berlin 1994, ISBN 3-540-56963-4 (englisch).
• Alexander Grothendieck: Techniques de construction en géométrie analytique. I. Description axiomatique de l'espace de Teichmüller et de ses variantes. In: Séminaire Henri Cartan. Band 13, Nr. 1 (1960–1961). Secrétariat Mathématique, Paris, Exposés No. 7 und 8 (französisch).
• Carlos T. Simpson: Moduli of representations of the fundamental group of a smooth projective variety I. In: Publications Mathématiques de l'IHÉS. Band 79, 1994, S. 47–129 (englisch, numdam.org).
• Carlos T. Simpson: Moduli of representations of the fundamental group of a smooth projective variety II. In: Publications Mathématiques de l'IHÉS. Band 80, 1994, S. 5–79 (englisch, numdam.org).

Weblinks

• Ben-Zvi: Moduli spaces (Princeton Companion to Mathematics)
• moduli space (nLab)
• Moduli Space (MathWorld)
• Clader: Mini-Course on Moduli Spaces

Einzelnachweise

1. Wilderich Tuschmann, David J. Wraith: Moduli spaces of Riemannian metrics (= Oberwolfach Seminars. Band 46). 2. korrigierte Auflage. Birkhäuser, Basel 2015, ISBN 978-3-0348-0947-4 (englisch).
2. Dusa McDuff, Dietmar Salamon: J-holomorphic curves and symplectic topology (= American Mathematical Society [Hrsg.]: Colloquium Publications. Band 52). 2. Auflage. American Mathematical Society, Providence (RI) 2012, ISBN 978-0-8218-8746-2 (englisch).
3. Michael Francis Atiyah, Raoul Bott: The Yang-Mills equations over Riemann surfaces. In: Philosophical Transactions of the Royal Society A. Band 308, Nr. 1505. London 1983, S. 523–615, doi:10.1098/rsta.1983.0017 (englisch).