Zusammenziehbarer Raum

Zusammenziehbare Räume – auch a​ls kontrahierbare bzw. kontraktible Räume bezeichnet – werden i​m mathematischen Teilgebiet d​er Topologie betrachtet. Aus Sicht d​er Homotopietheorie gelten zusammenziehbare Räume a​ls trivial. Viele i​n der Algebraischen Topologie definierte Invarianten verschwinden für zusammenziehbare Räume.

Definition

Ein topologischer Raum ${\displaystyle X\neq \emptyset }$ heißt zusammenziehbar oder kontrahierbar oder kontraktibel, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Unterraum ist, das heißt, wenn es eine stetige Abbildung

${\displaystyle H\colon X\times [0,1]\to X}$

und einen festen Punkt ${\displaystyle p\in X}$ gibt, sodass

• ${\displaystyle H(x,0)=x}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$ und
• ${\displaystyle H(x,1)=p}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$

gilt.[1]

Beispiel

• Der euklidische Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist zusammenziehbar: Setze

  ${\displaystyle H(x,t)=(1-t)x}$ für ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$.

  Man beachte, dass der Raum nicht im anschaulichen Sinne „stetig zu einem Punkt deformiert wird“: Das Bild der Abbildung

  ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\quad x\mapsto H(x,t)}$

  ist für ${\displaystyle t<1}$ stets der gesamte Raum, erst für ${\displaystyle t=1}$ ist das Bild nur noch der Ursprung.

• Allgemeiner sind sternförmige Mengen zusammenziehbar.

Schwach zusammenziehbare Räume

Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ heißt schwach kontrahierbar oder schwach zusammenziehbar, wenn für alle ${\displaystyle x\in X}$ die Homotopiegruppen ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ trivial sind, d. h.

${\displaystyle \pi _{0}(X,x)=\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)=0}$ für alle ${\displaystyle n\geq 1}$.

Wenn ein Raum ${\displaystyle X}$ zusammenziehbar ist, dann ist er auch schwach zusammenziehbar.

Für CW-Komplexe gilt auch die Umkehrung: Aus ${\displaystyle \pi _{0}(X,x)=\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)=0}$ für alle ${\displaystyle n\geq 0}$ folgt, dass der CW-Komplex ${\displaystyle X}$ zusammenziehbar ist. Für beliebige topologische Räume gilt die Umkehrung i. A. nicht.

Weitere Resultate

Es liegen d​ie folgenden Resultate vor:

• Eine nichtleere konvexe Teilmenge des euklidischen Raums ist stets zusammenziehbar.[2]
• Jeder zusammenziehbare Raum ist wegzusammenhängend.[3][4]
• Jeder Retrakt eines zusammenziehbaren Raums ist zusammenziehbar.[4]
• Ein nichtleeres topologisches Produkt von nichtleeren zusammenziehbaren Räumen ist stets zusammenziehbar.[5][6](Vererbungssatz[5])

Gegenbeispiele

• Die Einheitssphäre ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ (oder allgemeiner: eine entsprechende Sphäre mit festem Radius) ist nicht zusammenziehbar, obwohl sie für ${\displaystyle n\geqslant 2}$ einfach zusammenhängend ist.
• Der Raum, den man als Vereinigung von

${\displaystyle \left\{\left(x,\sin {\frac {1}{x}}\right):x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}}$

mit einem (0,-1) und (1,sin(1)) verbindenden Kreisbogen erhält, ist nicht zusammenziehbar, obwohl alle seine Homotopiegruppen trivial sind.

Dies zeigt, dass der Satz von Whitehead für topologische Räume, die kein CW-Komplex sind, im Allgemeinen nicht gelten muss.

Literatur

• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X, S. 110 ff. (MR2172813).
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, S. 156 ff. (MR0423277).
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA (u. a.) 1970, S. 224 ff. (MR0264581).

Einzelnachweise

1. Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1st corrected Springer edition, Reprint. Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0, S. 25.
2. Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 224
3. Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 112
4. Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 226
5. Thorsten Camps et al., op. cit., S. 111
6. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 162