Zusammenziehbarer Raum

Zusammenziehbare Räume auch a​ls kontrahierbare bzw. kontraktible Räume bezeichnet – werden i​m mathematischen Teilgebiet d​er Topologie betrachtet. Aus Sicht d​er Homotopietheorie gelten zusammenziehbare Räume a​ls trivial. Viele i​n der Algebraischen Topologie definierte Invarianten verschwinden für zusammenziehbare Räume.

Definition

Ein topologischer Raum heißt zusammenziehbar oder kontrahierbar oder kontraktibel, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Unterraum ist, das heißt, wenn es eine stetige Abbildung

und einen festen Punkt gibt, sodass

  • für alle und
  • für alle

gilt.[1]

Beispiel

  • Der euklidische Raum ist zusammenziehbar: Setze
    für und .
    Man beachte, dass der Raum nicht im anschaulichen Sinne „stetig zu einem Punkt deformiert wird“: Das Bild der Abbildung
    ist für stets der gesamte Raum, erst für ist das Bild nur noch der Ursprung.
  • Allgemeiner sind sternförmige Mengen zusammenziehbar.

Schwach zusammenziehbare Räume

Ein topologischer Raum heißt schwach kontrahierbar oder schwach zusammenziehbar, wenn für alle die Homotopiegruppen trivial sind, d. h.

und für alle .

Wenn ein Raum zusammenziehbar ist, dann ist er auch schwach zusammenziehbar.

Für CW-Komplexe gilt auch die Umkehrung: Aus und für alle folgt, dass der CW-Komplex zusammenziehbar ist. Für beliebige topologische Räume gilt die Umkehrung i. A. nicht.

Weitere Resultate

Es liegen d​ie folgenden Resultate vor:

Gegenbeispiele

  • Die Einheitssphäre (oder allgemeiner: eine entsprechende Sphäre mit festem Radius) ist nicht zusammenziehbar, obwohl sie für einfach zusammenhängend ist.
  • Der Raum, den man als Vereinigung von
mit einem (0,-1) und (1,sin(1)) verbindenden Kreisbogen erhält, ist nicht zusammenziehbar, obwohl alle seine Homotopiegruppen trivial sind.
Dies zeigt, dass der Satz von Whitehead für topologische Räume, die kein CW-Komplex sind, im Allgemeinen nicht gelten muss.

Literatur

  • Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X, S. 110 ff. (MR2172813).
  • Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, S. 156 ff. (MR0423277).
  • Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA (u. a.) 1970, S. 224 ff. (MR0264581).

Einzelnachweise

  1. Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1st corrected Springer edition, Reprint. Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0, S. 25.
  2. Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 224
  3. Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 112
  4. Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 226
  5. Thorsten Camps et al., op. cit., S. 111
  6. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 162
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