Kobordismus-Vermutung

Die Kobordismus-Vermutung i​st eine v​on Baez u​nd Dolan aufgestellte Vermutung a​us der Mathematik, m​it der d​ie höhere Kategorientheorie a​uf die Klassifikation topologischer Quantenfeldtheorien angewandt werden soll.

Aufbauend a​uf einer Arbeit v​on Jacob Lurie veröffentlichten David Ayala u​nd John Francis 2017 e​inen Artikel a​uf ArXiv, i​n dem d​er Beweis d​er Kobordismus-Vermutung a​uf die Korrektheit e​iner Vermutung über Faktorisierungshomologie zurückgeführt wird.

Formulierung der Vermutung

Für jede symmetrische monoidale ${\displaystyle (\infty ,n)}$-Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, in der duale Objekte und adjungierte Morphismen gebildet werden können, hat man eine Bijektion zwischen den ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-wertigen symmetrischen monoidalen Funktoren der Kobordismuskategorie und den Objekten von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Motivation

Symmetrische monoidale Funktoren aus der Kobordismuskategorie entsprechen topologischen Quantenfeldtheorien. Die Kobordismus-Vermutung für topologische Quantenfeldtheorien ist das Analogon der Eilenberg-Steenrod-Axiome für Homologietheorien. Die Eilenberg-Steenrod-Axiome besagen, dass eine Homologietheorie durch ihren Wert für den Punkt eindeutig festgelegt ist, und die Kobordismus-Vermutung besagt, dass eine topologische Quantenfeldtheorie durch ihren Wert für den Punkt eindeutig festgelegt wird: die oben formulierte Bijektion zwischen ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-wertigen symmetrischen monoidalen Funktoren und den Objekten von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ soll durch Auswertung auf dem Punkt definiert sein.

Literatur

• Jacob Lurie: On the classification of topological field theories. Preprint 2009, arxiv:0905.0465
• David Ayala, John Francis: The cobordism hypothesis, Preprint 2017, arxiv:1705.02240

Weblinks

• John Baez, This week's find in mathematical physics, Nr. 49, 1995, und Nr. 275, 2009
• Cobordism hypothesis, nLab