Tetrakishexaeder

Das Tetrakishexaeder (aus griechisch τετράκις tetrakis „viermal“ u​nd Hexaeder „Sechsflächner“), a​uch Pyramidenwürfel o​der Disdyakishexaeder (griechisch δίς dis „zweimal“ u​nd δυάκις dyakis „zweimal“), i​st ein konvexes Polyeder, d​as sich a​us 24 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt u​nd zu d​en Catalanischen Körpern zählt. Es i​st dual z​um Oktaederstumpf u​nd hat 14 Ecken s​owie 36 Kanten.

3D-Ansicht eines Tetrakishexaeders (Animation)

Entstehung

Werden auf die 6 Begrenzungsflächen eines Würfels (Kantenlänge ${\displaystyle a}$) quadratische Pyramiden mit der Flankenlänge ${\displaystyle b}$ aufgesetzt, entsteht ein Tetrakishexaeder, sofern die Bedingung ${\displaystyle {\tfrac {a}{2}}{\sqrt {2}}<b<{\tfrac {a}{2}}{\sqrt {3}}}$ erfüllt ist.

• Für den zuvor genannten minimalen Wert von ${\displaystyle b}$ haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich der Würfel mit der Kantenlänge ${\displaystyle a}$ übrig bleibt.
• Das spezielle Tetrakishexaeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn ${\displaystyle b={\tfrac {3}{4}}\,a}$ ist.
• Nimmt ${\displaystyle b}$ den o. g. maximalen Wert an, entartet das Tetrakishexaeder zu einem Rhombendodekaeder mit der Kantenlänge ${\displaystyle b}$.
• Überschreitet ${\displaystyle b}$ den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet zu einem Sternkörper.

Formeln

Allgemein ${\displaystyle {\tfrac {a}{2}}{\sqrt {2}}<b<{\tfrac {a}{2}}{\sqrt {3}}}$ Größen eines Tetrakishexaeders mit Kantenlänge a, b Volumen ${\displaystyle V=a^{2}\left(a+{\sqrt {4b^{2}-2a^{2}}}\right)}$ Oberflächeninhalt ${\displaystyle A_{O}=6a{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}}$ Pyramidenhöhe ${\displaystyle k={\frac {1}{2}}{\sqrt {4b^{2}-2a^{2}}}}$ Inkugelradius ${\displaystyle \rho ={\frac {a\left(a+{\sqrt {4b^{2}-2a^{2}}}\right)}{2{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}}}}$ Flächenwinkel  (über Kante a) ${\displaystyle \cos \,\alpha _{1}={\frac {2a{\sqrt {4b^{2}-2a^{2}}}}{a^{2}-4b^{2}}}}$ Flächenwinkel  (über Kante b) ${\displaystyle \cos \,\alpha _{2}={\frac {a^{2}}{a^{2}-4b^{2}}}}$

Speziell ${\displaystyle b={\tfrac {3}{4}}\,a}$ Größen eines Tetrakishexaeders mit Kantenlänge a Volumen ${\displaystyle V={\frac {3}{2}}\,a^{3}}$ Oberflächeninhalt ${\displaystyle A_{O}=3a^{2}{\sqrt {5}}}$ Pyramidenhöhe ${\displaystyle k={\frac {a}{4}}}$ Inkugelradius ${\displaystyle \rho ={\frac {3}{10}}\,a{\sqrt {5}}}$ Kantenkugelradius ${\displaystyle r={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}}$ Flächenwinkel  ≈ 143° 7′ 48″ ${\displaystyle \cos \,\alpha =-{\frac {4}{5}}}$ Sphärizität  ≈ 0,94465 ${\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{3\,\pi }}{\sqrt {5}}}}$

Anwendung

• In der Natur kommt das Tetrakishexaeder als spezielle Form {hk0} bei Kristallen der Klassen 432, 42m und m3m vor, z. B. beim Fluorit.
• Das Tetrakishexaeder wird auch als Spielwürfel (W24) verwendet.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Tetrakishexaeder. In: MathWorld (englisch).
• Interaktive Darstellung des Tetrakishexaeders im Mineralienatlas
• Fluorit im Wölsendorfer Flußspat-Revier (Memento vom 20. Februar 2013 im Internet Archive)