Pentagonikositetraeder

Das Pentagonikositetraeder i​st ein chirales Polyeder, d​as sich a​us 24 unregelmäßigen Fünfecken zusammensetzt u​nd zu d​en Catalanischen Körpern zählt. Es i​st dual z​um abgeschrägten Hexaeder u​nd hat 38 Ecken s​owie 60 Kanten.

3D-Ansicht eines Pentagonikositetraeders (Animation)

Netz des Pentagonikositetraeders

Die folgenden Bilder zeigen z​wei zueinander spiegelbildliche Pentagonikositetraeder.

• 
  Spiegelvariante 1
• 
  Spiegelvariante 2

Entstehung

Konstruktion des Tangentenfünfecks am abgeschrägten Hexaeder

Links- und rechtshändige Version eines Pentagonikositetraeders (Pappmodelle)

Durch Verbinden d​er Mittelpunkte v​on jeweils fünf Kanten, d​ie in j​eder Raumecke d​es abgeschrägten Hexaeders zusammenstoßen, entsteht e​in Sehnenfünfeck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis d​es Tangentenfünfecks, d​er Begrenzungsfläche d​es Pentagonikositetraeders, ist. Bei diesem speziellen Typ s​ind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 136°), u​nd es existiert e​in einheitlicher Kantenkugelradius.

Nachfolgend bezeichne der Term ${\displaystyle t}$ den Kosinus des kleineren Zentriwinkels ${\displaystyle \zeta }$ im zuvor erwähnten Sehnenfünfeck.[1]

${\displaystyle t=\cos \,\zeta ={\frac {1}{6}}\left({\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}-2\right)}$

Sei ${\displaystyle d}$ die Kantenlänge des abgeschrägten Hexaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Tangentenfünfecks gegeben durch

${\displaystyle a={\frac {d}{2}}{\sqrt {2+2t}}}$

${\displaystyle b={\frac {d}{\sqrt {2+2t}}}}$

Daraus folgt:[2]

${\displaystyle a=b\,(1+t)}$

Verwandte Polyeder

• 
  Dualer Körper: Abgeschrägtes Hexaeder
• 
  Einbeschriebener Würfel
• 
  Einbeschriebenes Oktaeder

Formeln[3]

Für das Polyeder

Größen eines Pentagonikositetraeders mit Kantenlänge a bzw. b
Volumen[4] ≈ 12,45a^3 ≈ 35,63b^3	${\displaystyle V={\frac {4a^{3}(2+3t){\sqrt {1-2t}}}{(1+t)(1-4t^{2})}}={\frac {2b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2}){\sqrt {1-2t}}}}}$
Oberflächeninhalt[4] ≈ 27,19a^2 ≈ 54,8b^2	${\displaystyle A_{O}={\frac {24a^{2}(2+3t)}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1-t}{1+t}}}={\frac {12b^{2}(2+3t)}{(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}}$
Kantenkugelradius[4]	${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {2\,(1+t)(1-2t)}}}=b\,{\sqrt {\frac {1+t}{2\,(1-2t)}}}}$
Inkugelradius[4]	${\displaystyle \rho ={\frac {a}{2{\sqrt {(1-2t)(1-t^{2})}}}}={\frac {b}{2}}\,{\sqrt {\frac {1+t}{(1-t)(1-2t)}}}}$
Flächenwinkel[4]  ≈ 136° 18′ 33″	${\displaystyle \cos \,\alpha ={\frac {t}{t-1}}}$
Sphärizität  ≈ 0,9556	${\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{36\,\pi \,V^{2}}}{A_{O}}}}$

Für die Begrenzungsflächen

Größen im Fünfeck des Pentagonikositetraeders

Größen des Tangentenfünfecks
Flächeninhalt[4]	${\displaystyle A={\frac {a^{2}(2+3t)}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1-t}{1+t}}}={\frac {b^{2}(2+3t)}{2\,(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}}$
Inkreisradius[4]	${\displaystyle r={\frac {a}{2{\sqrt {1-t^{2}}}}}={\frac {b}{2}}\,{\sqrt {\frac {1+t}{1-t}}}}$
Diagonale[4] ${\displaystyle \|\,b}$	${\displaystyle e=2a\,(1-2t^{2})=b\,(1+2t)}$
Stumpfe Winkel[4](4)  ≈ 114° 48′ 43″	${\displaystyle \cos \,\alpha =-t}$
Spitzer Winkel (1)  ≈ 80° 45′ 6″	${\displaystyle \cos \,\beta =1-2t}$

Anmerkungen

1. t ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung 4t³ + 4t² − 1 = 0. Wird zum doppelten Wert von t die Zahl 1 addiert, erhält man die Tribonacci-Konstante, welche den Limes des Verhältnisses (= 1,83928675521416…) zweier aufeinanderfolgenden Zahlen dieser Folge darstellt.
2. Mit a> sei die längere der beiden Seiten des Pentagonikositetraeders bezeichnet.
3. Diese Formeln gelten ausschließlich für den Fall b = a:(1+t) bzw. äquivalent dazu a = b·(1+t)
4. Diese Formel gilt auch für das Pentagonhexakontaeder sowie das Pentagondodekaeder, sofern man die entsprechenden Werte für b (kurze Seitenlänge), n (Anzahl der Begrenzungsflächen) sowie t (Kosinus des kleineren Zentriwinkels) einsetzt und ferner beachtet, dass O = n·A und V = 1/3·O·ρ ist.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Pentagonikositetraeder. In: MathWorld (englisch).