Pentakisdodekaeder

Das Pentakisdodekaeder i​st ein konvexes Polyeder, d​as sich a​us 60 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt u​nd zu d​en Catalanischen Körpern zählt. Es i​st dual z​um Ikosaederstumpf u​nd hat 32 Ecken s​owie 90 Kanten. Der Name s​etzt sich a​us den griechischen Wörtern πεντάκις (pentakis, fünffach) u​nd δωδεκάεδρον (dodekaedron, Zwölfflächner) zusammen.

3D-Ansicht eines Pentakisdodekaeders (Animation)

Entstehung

Als Grundkörper dient quasi das Dodekaeder mit Seitenlänge ${\displaystyle a}$, auf dessen 12 Begrenzungsflächen je eine Pyramide mit fünfeckiger Grundfläche und der Flankenlänge ${\displaystyle b}$ aufgesetzt wird. Ein Pentakisdodekaeder entsteht genau dann aus dieser Konstruktion, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

${\displaystyle {\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}<b<{\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$

• Für den zuvor genannten minimalen Wert von ${\displaystyle b}$ haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Dodekaeder mit der Kantenlänge ${\displaystyle a}$ übrig bleibt.
• Das spezielle Pentakisdodekaeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn ${\displaystyle b={\tfrac {3}{38}}\,a\,(9+{\sqrt {5}})\approx 0{,}887058\cdot a}$ ist.
• Nimmt ${\displaystyle b}$ den o. g. maximalen Wert an, entartet das Pentakisdodekaeder zu einem Rhombentriakontaeder mit der Kantenlänge ${\displaystyle b}$.
• Überschreitet ${\displaystyle b}$ den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet schließlich für ${\displaystyle b={\frac {a}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$ zum Dodekaederstern.

Formeln

Allgemein[1]

Größen eines Pentakisdodekaeders mit Kantenlängen a, b
Volumen	${\displaystyle V={\frac {a^{2}}{4}}\left(a\left(15+7{\sqrt {5}}\right)+2{\sqrt {\left(10+4{\sqrt {5}}\right)\left(10b^{2}-a^{2}(5+{\sqrt {5}})\right)}}\right)}$
Oberflächeninhalt	${\displaystyle A_{O}=15a\,{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}}$
Pyramidenhöhe	${\displaystyle k={\sqrt {b^{2}-{\frac {a^{2}}{10}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}$
Inkugelradius	${\displaystyle \rho \,={\frac {a\,{\sqrt {(14+6{\sqrt {5}})(a+2b)^{2}-4(4b^{2}-a^{2})}}}{4a+8b}}}$
Flächenwinkel  (über Kante a)	${\displaystyle \cos \,\alpha _{1}={\frac {4b^{2}{\sqrt {5}}-a^{2}(4+3{\sqrt {5}})-4a{\sqrt {4b^{2}(5+2{\sqrt {5}})-2a^{2}(7+3{\sqrt {5}})}}}{5(4b^{2}-a^{2})}}}$
Flächenwinkel  (über Kante b)	${\displaystyle \cos \,\alpha _{2}={\frac {b^{2}(1-{\sqrt {5}})-a^{2}}{4b^{2}-a^{2}}}}$

Speziell[2]

Netz des Pentakisdodekaeders

Größen eines Pentakisdodekaeders mit Kantenlänge a
Volumen	${\displaystyle V={\frac {15}{76}}\,a^{3}(23+11{\sqrt {5}})}$
Oberflächeninhalt	${\displaystyle A_{O}={\frac {15}{19}}\,a^{2}{\sqrt {413+162{\sqrt {5}}}}}$
Pyramidenhöhe	${\displaystyle k={\frac {a}{19}}{\sqrt {\frac {65+22{\sqrt {5}}}{5}}}}$
Inkugelradius	${\displaystyle \rho ={\frac {3}{2}}\,a\,{\sqrt {\frac {81+35{\sqrt {5}}}{218}}}}$
Kantenkugelradius	${\displaystyle r={\frac {a}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)}$
Flächenwinkel  ≈ 156° 43′ 7″	${\displaystyle \cos \,\alpha ={\frac {-1}{109}}\,(80+9{\sqrt {5}})}$
Sphärizität  ≈ 0,97948	${\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{5700\,\pi \left(567+253{\sqrt {5}}\right)}}{10{\sqrt {413+162{\sqrt {5}}}}}}}$

Anmerkungen

1. ${\displaystyle {\tfrac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}<b<{\tfrac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$
2. ${\displaystyle b={\tfrac {3}{38}}\,a\,(9+{\sqrt {5}})}$; ${\displaystyle a>b}$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Pentakisdodekaeder. In: MathWorld (englisch).