Triakisikosaeder

Das Triakisikosaeder i​st ein konvexes Polyeder, d​as sich a​us 60 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt u​nd zu d​en Catalanischen Körpern zählt. Es i​st dual z​um Dodekaederstumpf u​nd hat 32 Ecken s​owie 90 Kanten.

3D-Ansicht eines Triakisikosaeders (Animation)

Entstehung

Werden auf die 20 Begrenzungsflächen eines Ikosaeders (Kantenlänge ${\displaystyle a}$) Pyramiden mit der Flankenlänge ${\displaystyle b}$ aufgesetzt, entsteht ein Triakisikosaeder, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:

${\displaystyle {\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}<b<{\frac {a}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}$

• Für den zuvor genannten minimalen Wert von ${\displaystyle b}$ haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Ikosaeder mit der Kantenlänge ${\displaystyle a}$ übrig bleibt.
• Das spezielle Triakisikosaeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn ${\displaystyle b={\frac {a}{22}}\,(15-{\sqrt {5}})}$ ist.
• Nimmt ${\displaystyle b}$ den o. g. maximalen Wert an, entartet das Triakisikosaeder zu einem Rhombentriakontaeder mit der Kantenlänge ${\displaystyle b}$.
• Überschreitet ${\displaystyle b}$ den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet schließlich für ${\displaystyle b={\frac {a}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$ zum Ikosaederstern.

Formeln

Allgemein[1]

Spezielles Triakisikosaeder

Größen eines Triakisikosaeders mit Kantenlängen a, b
Volumen	${\displaystyle V={\frac {5}{12}}a^{2}\left(a(3+{\sqrt {5}})+4{\sqrt {3b^{2}-a^{2}}}\right)}$
Oberflächeninhalt	${\displaystyle A_{O}=15a{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}}$
Pyramidenhöhe	${\displaystyle k={\frac {1}{3}}{\sqrt {9b^{2}-3a^{2}}}}$
Inkugelradius	${\displaystyle \rho ={\frac {a}{4}}{\sqrt {{\frac {10a+4b}{a+2b}}+2{\sqrt {5}}}}}$
Flächenwinkel  (über Kante a)	${\displaystyle \cos \,\alpha _{1}={\frac {(12b^{2}-5a^{2}){\sqrt {5}}-8a{\sqrt {3b^{2}-a^{2}}}}{9(4b^{2}-a^{2})}}}$
Flächenwinkel  (über Kante b)	${\displaystyle \cos \,\alpha _{2}={\frac {2b^{2}-a^{2}}{4b^{2}-a^{2}}}}$

Speziell[2]

Kantenkugel im speziellen Triakisikosaeder: Deutlich treten die Kugelkappen auf den einzelnen Dreiecksflächen hervor. Die Inkreise sind zugleich Schnittflächen der Dreiecke mit der Kantenkugel.

Größen eines Triakisikosaeders mit Kantenlänge a
Volumen	${\displaystyle V={\frac {5}{44}}a^{3}(5+7{\sqrt {5}})}$
Oberflächeninhalt	${\displaystyle A_{O}={\frac {15}{11}}a^{2}{\sqrt {109-30{\sqrt {5}}}}}$
2. Seitenlänge  ≈ 0,5802 · a	${\displaystyle b={\frac {a}{22}}\,(15-{\sqrt {5}})}$
Pyramidenhöhe	${\displaystyle k={\frac {a}{66}}(5{\sqrt {5}}-9){\sqrt {3}}}$
Inkugelradius	${\displaystyle \rho ={\frac {a}{4}}{\sqrt {\frac {10(33+13{\sqrt {5}})}{61}}}}$
Kantenkugelradius	${\displaystyle r={\frac {a}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$
Flächenwinkel  ≈ 160° 36′ 45″	${\displaystyle \cos \,\alpha =-{\frac {1}{61}}(24+15{\sqrt {5}})}$
Sphärizität  ≈ 0,96734	${\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{396\,\pi \left(27+7{\sqrt {5}}\right)}}{6{\sqrt {109-30{\sqrt {5}}}}}}}$

Anmerkungen

1. ${\displaystyle {\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}<b<{\frac {a}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}$
2. ${\displaystyle b={\frac {a}{22}}\,(15-{\sqrt {5}})}$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Triakisikosaeder. In: MathWorld (englisch).