Strahlungsrückwirkung

Die Strahlungsrückwirkung i​st ein Effekt i​n der Elektrodynamik. Sie entsteht, w​enn sich e​in elektrisch geladenes Objekt i​n einem elektromagnetischen Feld n​icht mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Außer für s​ehr spezielle Feldkonfigurationen w​ie in e​inem Wien-Filter i​st dies s​tets der Fall.

Strahlungsrückwirkung entsteht dadurch, d​ass beschleunigte geladene Teilchen selbst elektromagnetische Strahlung aussenden, d​ie das äußere Feld u​nd somit a​uch die zukünftige Entwicklung d​er Teilchenbahn beeinflusst. In d​er Regel werden d​ie Effekte d​er Strahlungsrückwirkung ignoriert, d​a es s​ich dabei u​m einen s​ehr kleinen Beitrag z​u den Bewegungsgleichungen handelt. Nichtsdestoweniger führt d​ie Behandlung dieses Effekts z​u fundamentalen Problemen sowohl i​n der Klassischen Physik a​ls auch i​n der Speziellen Relativitätstheorie. Unter anderem scheint u​nter bestimmten Umständen einerseits d​ie Masse e​ines Teilchens unendlich groß z​u werden, andererseits w​ird seine Geschwindigkeit entweder unendlich h​och oder d​ie Information über d​ie zukünftige Bewegung d​es Teilchens g​eht in d​ie Anfangsbedingungen d​er Teilchenbahn ein. Die ersten beiden Aussagen stehen i​m eklatanten Widerspruch z​ur erlebten Wirklichkeit, d​ie letzte Aussage widerspricht d​em Prinzip d​er Kausalität.

Im Rahmen der klassischen Physik wurde das Problem zuerst 1902 von Max Abraham[1] und 1903 von Hendrik Lorentz[2] untersucht. Die Berücksichtigung der Speziellen Relativitätstheorie erfolgte 1938 durch Paul Dirac.[3] Eine Näherungslösung, die das Problem der unendlichen Geschwindigkeiten nicht innehat, wurde von Lew Landau und Jewgeni Lifschitz in ihrem Lehrbuch der theoretischen Physik gegeben.[4] Diese Lösung hat ihrerseits das Problem, nicht immer der Energieerhaltung Rechnung zu tragen.[5]

Nach i​hren Entdeckern heißen d​ie Formeln, d​urch die d​ie Strahlungsrückwirkung beschrieben wird, Abraham-Lorentz-Gleichung, Abraham-Lorentz-Dirac-Gleichung u​nd Landau-Lifschitz-Gleichung.

Das Problem i​st bis h​eute in d​er klassischen Physik ungelöst. David J. Griffiths bezeichnete 2010 d​ie Strahlungsrückwirkung a​ls die „Leiche i​m Keller d​er klassischen Elektrodynamik“.[6]

Die Bewegungsgleichungen v​on Elementarteilchen, inklusive d​er Strahlungsrückwirkung, werden i​n der Quantenphysik hingegen d​urch die Quantenelektrodynamik vollständig beschrieben; dennoch taucht a​uch in diesem Zusammenhang d​as Problem m​it der unendlichen Masse auf.[7]

Hintergrund

Die Kraft auf ein geladenes Objekt wird durch das elektrische sowie magnetische Feld in seiner Umgebung und seine Geschwindigkeit bestimmt und heißt Lorentzkraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{\text{L}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})}$, wobei ${\displaystyle q}$ die elektrische Ladung des Objekts und ${\displaystyle {\vec {v}}}$ dessen Geschwindigkeit ist. ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ist die elektrische Feldstärke und ${\displaystyle {\vec {B}}}$ die magnetische Flussdichte der Umgebung, ${\displaystyle \times }$ bezeichnet das Vektorprodukt. Nach dem Ersten Newtonschen Gesetz ist die Kraft proportional zur Beschleunigung ${\displaystyle {\dot {\vec {v}}}}$ eines Objekts, also der Änderung seiner Geschwindigkeit, und seiner Masse ${\displaystyle m}$.

Auf d​er anderen Seite erzeugt n​ach Liénard u​nd Wiechert e​in beschleunigtes, geladenes Objekt seinerseits e​in elektromagnetisches Feld i​n seiner Umgebung u​nd verliert d​abei nach d​er Larmor-Formel Energie i​n Form v​on elektromagnetischer Strahlung.

Im Regelfall werden d​iese beiden Fragestellungen voneinander getrennt: Entweder w​ird die Bewegung e​ines Objekts i​m äußeren Feld u​nd dessen Energieverlust oder d​as von d​em Objekt selbst erzeugte Feld betrachtet. Ersteres i​st beispielsweise d​er Fall b​ei der Behandlung d​er Synchrotronstrahlung, w​enn ein Teilchen i​n einem Synchrotron a​uf einer Kreisbahn beschleunigt wird, letzteres beispielsweise b​ei der Betrachtung d​es Hertz’schen Dipols b​ei der Berechnung d​es abgestrahlten elektromagnetischen Felds e​ines Senders.

Tatsächlich jedoch dürfen Energie- u​nd Impulserhaltungssatz n​icht verletzt werden, sodass d​as von d​em geladenen Objekt abgestrahlte elektromagnetische Feld m​it dem äußeren elektromagnetischen Feld interferiert u​nd die zukünftige Bewegung d​es Objekts dadurch beeinflusst wird. Dass d​ies dennoch i​m praktischen Alltag k​eine besondere Rolle spielt, l​iegt daran, d​ass die Effekte d​urch die Strahlungsrückwirkung vernachlässigbar k​lein gegenüber d​er Stärke d​es ursprünglichen Feldes sind. Sie müssen n​ur dann i​n Betracht gezogen werden, w​enn die Zeitintervalle, i​n denen d​as externe Feld wirkt, o​der die betrachteten Abstände, a​uf denen s​ich das Teilchen bewegt, s​ehr klein sind.

Dieses Zeitintervall heißt charakteristische Zeit und kann abgeschätzt werden, indem die Energie, die durch Strahlung verloren wird, mit der Energie verglichen wird, die es durch die Beschleunigung erhält. Mit der Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ und der elektrischen Feldkonstanten ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ist diese charakteristische Zeit ${\displaystyle \tau }$:

${\displaystyle \tau ={\frac {2}{3}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q^{2}}{mc^{3}}}}$

Die charakteristische Länge i​st die charakteristische Zeit multipliziert m​it der Geschwindigkeit, m​it der s​ich ein elektromagnetisches Feld ausbreitet, d​er Lichtgeschwindigkeit. Beide Größen s​ind daher umgekehrt proportional z​ur Masse u​nd am größten für s​ehr leichte Objekte. Das leichteste geladene Teilchen, d​as derzeit bekannt ist, i​st das Elektron. Dafür beträgt d​ie charakteristische Zeit 6,3 · 10⁻²⁴ Sekunden, d​ie charakteristische Länge 10⁻¹⁵ Meter. Dies ist, z​um Vergleich d​er Größenordnung, weniger a​ls ein Hundertstel d​es Durchmessers e​ines Wasserstoffatoms.

Abraham-Lorentz-Gleichung

Die Abraham-Lorentz-Gleichung für Punktladungen lautet:

${\displaystyle m\left({\dot {\vec {v}}}-\tau {\ddot {\vec {v}}}\right)={\vec {F}}_{\text{ext}}}$

Dabei ist zusätzlich zu den bereits eingeführten Bezeichnungen ${\displaystyle {\ddot {\vec {v}}}}$ der Ruck des Teilchens als zeitliche Änderung der Beschleunigung und der Index „ext“ an der Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{\text{ext}}}$ bezeichnet die durch das von außen angelegte elektromagnetische Feld induzierte Lorentzkraft.

Da d​ie Geschwindigkeit selbst a​ls zeitliche Änderung d​es Ortes definiert ist, i​st die Abraham-Lorentz-Gleichung d​aher eine Differentialgleichung dritter Ordnung d​es Ortes, sofern d​ie äußere Kraft ortsabhängig ist. Dies i​st genau d​ann der Fall, w​enn das elektrische Feld n​icht homogen ist. Die Eigenschaft, d​ass im Gegensatz z​u den üblichen Bewegungsgleichungen d​er Ruck explizit i​n der Gleichung auftritt, führt z​u gewichtigen Problemen i​m Rahmen d​er Lösung d​er Gleichung.

Heuristische Herleitung

Die Form der Abraham-Lorentz-Gleichung lässt sich heuristisch bereits durch Dimensionsanalyse erschließen: Der einzige Parameter, der in die Formel eingehen kann, wenn die Strahlungsrückwirkung berücksichtigt werden soll, ist die charakteristische Zeit ${\displaystyle \tau }$. Darüber hinaus sollten noch zwei weitere Bedingungen erfüllt sein:

1. Wenn die Beschleunigung des Teilchens verschwindet, dann muss auch die Strahlungsrückwirkung verschwinden.
2. Die Strahlungsrückwirkung muss proportional zu einer geraden Potenz der Ladung sein, da das Vorzeichen der Ladung keinen Einfluss auf die abgestrahlte Leistung haben kann.

Dadurch wird bereits die Form der Abraham-Lorentz-Gleichung darauf festgelegt, dass die durch die charakteristische Zeit zusätzlich eingebrachte Dimension „Zeit“ durch die Einführung der zeitlichen Ableitung der Beschleunigung, den Ruck, ausgeglichen werden muss. Nur durch diese Annahmen erhält man bereits mit zwei unbekannten Parametern ${\displaystyle k,n}$, wobei ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl sein muss: ${\displaystyle m{\dot {\vec {v}}}={\vec {F}}_{\text{ext}}+k(\tau \mathrm {d} /\mathrm {d} t)^{n}{\vec {v}}}$

Zur weiteren Einschränkung k​ann die Gültigkeit d​es Energieerhaltungssatzes gefordert werden: Die abgestrahlte Leistung n​ach der Larmor-Formel m​uss gleich d​er verlorenen Energie d​urch den Effekt d​er Strahlungsrückwirkung sein. Die abgestrahlte Leistung n​ach Larmor berechnet s​ich nach

${\displaystyle P_{\text{Larmor}}=m\tau ({\dot {\vec {v}}})^{2}}$

und der Zusammenhang zwischen der wirkenden Kraft durch die Strahlung ${\displaystyle {\vec {F}}_{\text{rad}}}$ und Leistung ${\displaystyle P}$ ist

${\displaystyle P_{\text{Larmor}}=-{\vec {F}}_{\text{rad}}\cdot {\vec {v}}}$.

Daraus folgt nach einer Integration in den Grenzen zweier Zeiten ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$, die das Zeitintervall der wirkenden Kraft festlegen

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,{\vec {F}}_{\text{rad}}\cdot {\vec {v}}=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,m\tau ({\dot {\vec {v}}})^{2}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,m\tau {\ddot {\vec {v}}}\cdot {\vec {v}}-m\tau {\dot {\vec {v}}}\cdot {\vec {v}}{\bigg |}_{t_{1}}^{t_{2}}}$,

wobei im letzten Schritt partielle Integration benutzt wurde. Dies führt unter zwei Einschränkungen zur Abraham-Lorentz-Gleichung: Erstens müssen zum Start- und Endzeitpunkt Geschwindigkeit und Beschleunigung orthogonal zueinander stehen, es muss also ${\displaystyle \textstyle {\dot {\vec {v}}}\cdot {\vec {v}}{\big |}_{t_{1}}^{t_{2}}=0}$ sein. Zweitens ist die Bedingung ${\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\vec {v}}=m\tau {\ddot {\vec {v}}}\cdot {\vec {v}}}$ erheblich schwächer als ${\displaystyle {\vec {F}}=m\tau {\ddot {\vec {v}}}}$, da man durch den Vektor ${\displaystyle {\vec {v}}}$ nicht einfach dividieren darf. Der letzte Punkt jedoch wird durch die weiter oben durchgeführten Überlegungen plausibel gemacht. Unter diesen Voraussetzungen führt dies direkt zur oben angegebenen Abraham-Lorentz-Gleichung, da, sofern die Integrale für beliebige ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ identisch sind, auch die Integranden identisch sein müssen:

${\displaystyle m{\dot {\vec {v}}}={\vec {F}}_{\text{ges}}={\vec {F}}_{\text{ext}}+{\vec {F}}_{\text{rad}}={\vec {F}}_{\text{ext}}+m\tau {\ddot {\vec {v}}}}$

Resultierende Probleme

Das Problem der ad-hoc-Herleitung ist, dass die Abraham-Lorentz-Gleichung nur unter der Bedingung ${\displaystyle {\dot {\vec {v}}}\cdot {\vec {v}}{\big |}_{t_{1}}^{t_{2}}=0}$ gültig ist. Das größere Problem ist jedoch, dass die Lösung der Abraham-Lorentz-Gleichung, selbst für verschwindende äußere Felder, nicht trivial Null ist, sondern

${\displaystyle {\dot {\vec {v}}}(t)={\vec {a}}_{0}\exp(t/\tau )}$

mit der Anfangsbeschleunigung ${\displaystyle a_{0}}$. Die Beschleunigung wächst exponentiell und wird dadurch nach einer endlichen Zeit beliebig groß, was ein physikalisch sinnloses Ergebnis darstellt. Mit dieser Beschleunigung einhergehend wird auch die Geschwindigkeit und die zurückgelegte Strecke beliebig groß. In der heuristischen Herleitung jedoch widerspricht diese Lösung der gemachten Annahme der Orthogonalität von Beschleunigung und Geschwindigkeit, denn es gilt

${\displaystyle {\dot {\vec {v}}}\cdot {\vec {v}}{\big |}_{t_{1}}^{t_{2}}={\vec {a}}_{0}^{2}\tau ^{-1}\left(\exp(t_{2}/\tau )-\exp(t_{1}/\tau )\right)}$,

was nur verschwindet, wenn ${\displaystyle {\vec {a}}_{0}=0}$ ist. Da in einer soliden Herleitung diese Einschränkung nicht vorkommt, ist dies bereits der erste Hinweis auf Unzulänglichkeiten der klassischen Elektrodynamik. Der Fachterminus für diese Art der Lösung ist runaway solution, Ausreißer-Lösung.

Um d​iese pathologischen Lösungen z​u vermeiden, können Randbedingungen a​n die Bewegungsgleichungen angelegt werden. Nach e​iner längeren Rechnung ergibt s​ich als Lösung d​er Bewegungsgleichungen:[6]

${\displaystyle {\dot {\vec {v}}}(t)={\frac {1}{m\tau }}\int _{t}^{\infty }\mathrm {d} t'\,e^{\frac {t-t'}{\tau }}{\vec {F}}_{\text{ext}}(t')}$

Diese Lösung ist aus einem anderen Grund unphysikalisch: Zur Berechnung der Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ muss über die zukünftige Bahn des Teilchens bis in eine unendlich entfernte Zukunft integriert werden.

Relativistische Verallgemeinerung

Die Abraham-Lorentz-Dirac-Gleichung i​st die relativistische Verallgemeinerung d​er Abraham-Lorentz-Gleichung d​urch Dirac. Sie lautet:

${\displaystyle m\left({\dot {v}}^{\mu }-\tau {\ddot {v}}^{\mu }-\tau {\frac {{\dot {v}}^{2}v^{\mu }}{c^{2}}}\right)=F_{\text{ext}}^{\mu }}$

Aufgrund der Identität ${\displaystyle {\dot {v}}^{2}=-v_{\nu }{\ddot {v}}^{\nu }}$ kann dies alternativ als

${\displaystyle m\left({\dot {v}}^{\mu }-\tau {\ddot {v}}^{\mu }+\tau {\ddot {v}}_{\nu }{\frac {v^{\nu }v^{\mu }}{c^{2}}}\right)=F_{\text{ext}}^{\mu }}$

geschrieben werden. Neben der Einführung von Vierervektoren in der vierdimensionalen Raumzeit besteht der Unterschied zur Abraham-Lorentz-Gleichung im zusätzlichen Auftreten des Terms ${\displaystyle \textstyle m{\frac {\tau }{c^{2}}}{\dot {v}}^{2}v_{\mu }}$. Offensichtlich fällt dieser Term in der nichtrelativistischen Näherung, in der ${\displaystyle v\ll c}$ ist, aus der Gleichung heraus. Die Differentiation versteht sich im relativistischen Fall als Differentiation nach der Eigenzeit des Objekts, im nichtrelativistischen Grenzfall ist die Unterscheidung von Eigenzeit und Koordinatenzeit nicht von Belang.

Auch die relativistische Fassung leidet unter dem Problem, dass entweder die Bahn des Teilchens in ferner Zukunft in die Bewegungsgleichungen eingeht oder die Geschwindigkeit des Teilchens sich der Lichtgeschwindigkeit annähern wird (anstatt der Geschwindigkeit wird die Rapidität beliebig groß, die Lichtgeschwindigkeit stellt die höchste erreichbare Geschwindigkeit dar). Darüber hinaus jedoch hat die relativistische Verallgemeinerung den Vorteil, dass die einschränkende Bedingung ${\displaystyle {\dot {v}}^{\mu }v_{\mu }|_{t_{1}}^{t_{2}}=0}$ automatisch erfüllt ist, da Geschwindigkeit und Beschleunigung in der vierdimensionalen Raumzeit immer orthogonal zueinander stehen.

Landau-Lifschitz-Gleichung

Die Landau-Lifschitz-Gleichung ist eine Näherung, die die Strahlungsrückwirkung als kleinen Effekt betrachtet, was dieser in Wirklichkeit auch ist. Die Idee von Landau und Lifschitz ist, die Lösung der Bewegungsgleichungen im externen Feld ohne Berücksichtigung der Strahlungsrückwirkung, nämlich ${\displaystyle m{\dot {\vec {v}}}={\vec {F}}_{\text{ext}}}$, nach der Zeit zu differenzieren und für ${\displaystyle {\ddot {\vec {v}}}}$ in die Abraham-Lorentz-Gleichung einzusetzen. Dann ist:

${\displaystyle m\left({\dot {\vec {v}}}-{\frac {\tau }{m}}{\dot {\vec {F}}}_{\text{ext}}\right)={\vec {F}}_{\text{ext}}}$

Die Landau-Lifschitz-Gleichung i​st eine g​ute Näherung, sofern d​ie äußeren Kräfte n​icht zu s​tark mit d​er Zeit variieren. Dies bedeutet, e​s darf s​ich nicht u​m hochfrequente Wechselfelder handeln, d​eren Wellenlänge i​n der Größenordnung d​es Objekts liegt, u​nd die Felder selbst dürfen n​icht zu s​tark sein. Die zweite Bedingung i​st jedoch i​m Rahmen d​er Behandlung d​er Strahlungsrückwirkung nebensächlich, d​a bereits b​ei geringeren Feldstärken d​ie klassische Elektrodynamik n​icht mehr anwendbar ist.

Die relativistische Verallgemeinerung d​er Landau-Lifschitz-Gleichung lautet[8]

${\displaystyle m\left({\dot {v}}^{\mu }-{\frac {\tau }{m}}{\dot {F}}_{\text{ext}}^{\mu }+{\frac {\tau }{m}}{\frac {v^{\mu }v_{\nu }}{c^{2}}}{\dot {F}}_{\text{ext}}^{\nu }\right)=F_{\text{ext}}^{\mu }}$

und w​ird auf dieselbe Weise gewonnen w​ie die nichtrelativistische Fassung.

Bewegungsgleichung für allgemeine kugelsymmetrische Ladungsverteilungen

Ausgangspunkt d​er stringenten Herleitung i​st die Aufteilung d​es Gesamtimpulses d​es Systems, a​lso des Teilchens u​nd aller elektromagnetischen Felder, i​n einen mechanischen u​nd einen elektromagnetischen Anteil. Da i​m elektromagnetischen äußeren Feld d​ie Lorentzkraft a​uf das Teilchen wirkt, i​st

${\displaystyle {\dot {\vec {p}}}_{\text{mech}}=m{\dot {\vec {v}}}=\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,(\rho {\vec {E}}+{\vec {j}}\times {\vec {B}})}$

mit dem elektrischen Feld ${\displaystyle {\vec {E}}}$, der magnetischen Flussdichte ${\displaystyle {\vec {B}}}$, der Ladungsdichte ${\displaystyle \rho }$ und der Stromdichte ${\displaystyle {\vec {j}}}$. Die in diese Gleichung eingehenden elektrischen und magnetischen Größen sind nicht nur die äußeren Felder, sondern ebenfalls die Anteile an den Feldern, die durch das geladene Teilchen selbst erzeugt werden. Integrationsgrenzen für das Volumenintegral ist das Volumen des Teilchens selbst.

Um e​ine Gleichung z​u erhalten, d​ie Strahlungsrückwirkung u​nd den Einfluss äußerer Kräfte berücksichtigt, m​uss eine Gleichung für d​en Gesamtimpuls gefunden werden, d​ie die Form

${\displaystyle {\dot {\vec {p}}}_{\text{ges}}={\dot {\vec {p}}}_{\text{mech}}+{\dot {\vec {p}}}_{\text{em}}={\vec {F}}_{\text{ext}}}$

besitzt. Dabei ist ${\displaystyle {\vec {F}}_{\text{ext}}}$ ebenso wie in obiger Gleichung die Lorentzkraft, jedoch beschränkt auf die externen elektromagnetischen Felder ${\displaystyle {\vec {E}}_{\text{ext}},{\vec {B}}_{\text{ext}}}$. Mit diesen allgemein gültigen Voraussetzungen gilt für den elektromagnetischen Anteil des Impulses ${\displaystyle {\vec {p}}_{\text{em}}}$ einer starren und kugelsymmetrischen Ladungsverteilung in ihrem Ruhesystem, also in einem System, in dem ihre Stromdichte verschwindet, nach längerer Rechnung

${\displaystyle {\dot {\vec {p}}}_{\text{em}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{c^{n+2}}}{\frac {1}{6\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\partial ^{n+1}{\vec {v}}}{\partial t^{n+1}}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}'\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,\rho ({\vec {x}}')\left|{\vec {x}}'-{\vec {x}}\right|^{n-1}\rho ({\vec {x}})}$.

Die Annahme e​iner starren Ladungsverteilung beschränkt d​ie Behandlung naturgemäß aufgrund d​er Lorentzkontraktion a​uf nichtrelativistische Geschwindigkeiten, d​enn in e​iner relativistischen Theorie k​ann es k​eine starren Körper geben. Diese Gleichung i​st klassisch fast exakt; d​ie einzige Näherung, d​ie zu i​hrer Herleitung verwendet wurde, i​st die Beschränkung a​uf lineare Terme i​n der zeitlichen Ableitung d​er Geschwindigkeit i​n der Reihenentwicklung.

Für die weiteren Rechnungen ist es mathematisch sinnvoll, mittels einer Fouriertransformation in den Fourierraum zu wechseln. Für die Fouriertransformationen gilt ${\displaystyle \textstyle {\vec {v}}(t)=\int {\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}\,{\vec {v}}(\omega )e^{-\mathrm {i} \omega t}}$ und ${\displaystyle \textstyle \rho ({\vec {x}})=q\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}\,F({\vec {k}})e^{-\mathrm {i} {\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}}$. Während für die Fouriertransformierte der Geschwindigkeit kein eigener Name vorhanden ist, nennt man die Fouriertransformierte der Ladungsdichte den Formfaktor ${\displaystyle F}$ (im Gegensatz zur Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}}$ ohne Vektorpfeil); die Ladung in der Fouriertransformation sorgt dafür, dass der Formfaktor per Definition dimensionslos wird. Dann ist

${\displaystyle -\mathrm {i} \omega \left(m+{\frac {1}{12\pi ^{3}\varepsilon _{0}c^{2}}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}\,{\frac {|F({\vec {k}})|^{2}}{k^{2}-(\omega /c)^{2}}}\right){\vec {v}}(\omega )={\vec {F}}_{\text{ext}}(\omega )}$

Diese Formel sieht fast so aus wie die gewöhnliche Gleichung für die Beschleunigung im Fourierraum, wobei der Massenparameter ${\displaystyle m}$ durch den Term

${\displaystyle M(\omega )=m+{\frac {1}{12\pi ^{3}\varepsilon _{0}c^{2}}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}\,{\frac {|F({\vec {k}})|^{2}}{k^{2}-(\omega /c)^{2}}}}$

als effektive Masse ersetzt wurde.

Renormierung der Masse

Für eine Punktladung ist ${\displaystyle F({\vec {k}})=1}$. Dadurch divergiert das Integral in der obigen Formel und die effektive Masse scheint unendlich zu werden. Dirac schrieb dazu 1938 im Rahmen seiner Abhandlung über die Strahlungsrückwirkung:

„If w​e want a m​odel of t​he electron, w​e must suppose t​hat there i​s an infinite negative m​ass at i​ts centre s​uch that, w​hen subtracted f​rom the infinite positive m​ass of t​he surrounding Coulomb field, t​he difference i​s well definied a​nd is j​ust equal t​o m. Such a m​odel is hardly a plausible o​ne according t​o current physical i​deas but […] t​his is n​ot an objection t​o the theory provided w​e have a reasonable mathematical scheme.“

– Paul Dirac: Classical theory of radiating electrons[3]

Seit der Entwicklung der Quantenfeldtheorien in den 1940er Jahren ist ein solches Vorgehen in der Physik üblich, da dort noch weitere Unendlichkeiten in den Rechnungen auftraten, wo nach der erlebten physikalischen Realität keine sein sollten. Dieses Vorgehen nennt man Renormierung. Die Renormierung führt dazu, dass der Parameter ${\displaystyle m}$, der ursprünglich in die Bewegungsgleichung eingeführt wird, nicht mehr als die „echte“, physikalische Masse angesehen werden kann, auf die die Kraft wirkt. Solche Parameter, die zwar in der ursprünglichen Gleichung mit einer bestimmten Funktion auftauchen, aber renormiert werden müssen, um sinnvolle Werte zu ergeben, nennt man „nackte“ Parameter.

Wie Dirac anführte, ist zur Durchführung der Renormierung ein Renormierungsschema notwendig. Für die Strahlungsrückwirkung ist es sinnvoll, die physikalische Masse ${\displaystyle m_{\text{phys}}}$ als effektive Masse evaluiert an der Stelle ${\displaystyle \omega =0}$ anzugeben. Dann ist

${\displaystyle m_{\text{phys}}=m+{\frac {1}{12\pi ^{3}\varepsilon _{0}c^{2}}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}\,{\frac {|F({\vec {k}})|^{2}}{k^{2}}}}$.

Um einen endlichen Wert für die physikalische Masse ${\displaystyle m_{\text{phys}}}$ zu erhalten, muss im Fall einer Ladungsverteilung, deren Formfaktor nicht stärker als ${\displaystyle 1/{\sqrt {k}}}$ abfällt, die nackte Masse ${\displaystyle m}$ einen negativ unendlichen Wert annehmen, da der Integrand stets positiv ist. Im Sinne von Diracs Aussage ist eine solche Vorstellung zwar auf den ersten Blick abwegig, aber da die nackte Masse ${\displaystyle m}$ niemals gemessen werden kann nicht unphysikalisch. In Termen der physikalischen Größen wird die effektive Masse dadurch zu

${\displaystyle M(\omega )=m_{\text{phys}}+{\frac {\omega ^{2}}{12\pi ^{3}\varepsilon _{0}c^{4}}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}\,{\frac {|F({\vec {k}})|^{2}}{k^{2}(k^{2}-(\omega /c)^{2})}}}$.

Dieses letzte Integral divergiert aufgrund der ${\displaystyle k^{4}}$ im Nenner selbst für Punktladungen nicht.

Klassisches Elektron

Das klassische Modell eines Elektrons ist eine Billardkugel mit Radius ${\displaystyle R}$, auf deren Oberfläche sich die Ladung gleichmäßig verteilt. Der Formfaktor für eine solche Ladungsverteilung ist ${\displaystyle \textstyle F(k)={\frac {\sin {kR}}{kR}}}$. Mit diesem Formfaktor kann die Integration über ${\displaystyle k}$ geschlossen durchgeführt werden und die effektive Masse ergibt sich zu

${\displaystyle M(\omega )=m_{\text{phys}}\left(1+{\frac {c^{2}\tau _{\text{phys}}}{\omega R^{2}}}\left(\mathrm {i} \sin ^{2}{\frac {\omega R}{c}}+{\frac {1}{2}}\sin {\frac {2\omega R}{c}}-{\frac {\omega R}{c}}\right)\right)}$

Für die Punktladung ${\displaystyle R=0}$ reduziert sich diese Formel auf ${\displaystyle M(\omega )=m_{\text{phys}}(1+\mathrm {i} \tau _{\text{phys}}\omega )}$. Die Rücktransformation vom Fourierraum in den Koordinatenraum ergibt somit exakt die Abraham-Lorentz-Gleichung, ohne die einschränkende Bedingung ${\displaystyle {\dot {\vec {v}}}\cdot {\vec {v}}|_{t_{1}}^{t_{2}}=0}$.

Im Fourierraum zeigt sich die Ursache für die unphysikalischen Lösungen in der (positiven komplexen) Nullstelle der effektiven Masse bei ${\displaystyle \omega =\mathrm {i} /\tau _{\text{phys}}}$. Diese Nullstellen verschwinden mit der Bedingung ${\displaystyle R>c\tau _{\text{phys}}}$, sodass die unphysikalischen Lösungen bei Objekten, die größer als ihre eigene charakteristische Länge sind, nicht auftreten. Insbesondere ist für ein klassisches Elektron der klassische Elektronenradius

${\displaystyle r_{e}={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{m_{e}c^{2}}}>{\frac {e^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{m_{e}c^{2}}}=c\tau }$.

Zurück im Koordinatenraum ergibt sich die Gleichung für ein Objekt mit Radius ${\displaystyle R}$, auf dessen Schale sich die Ladung gleichmäßig verteilt, zu:[6]

${\displaystyle m_{\text{phys}}\left(1-{\frac {c\tau _{\text{phys}}}{R}}\right){\dot {\vec {v}}}(t)-m_{\text{phys}}{\frac {c^{2}\tau _{\text{phys}}}{2R^{2}}}\left[{\vec {v}}\left(t-{\frac {2R}{c}}\right)-{\vec {v}}(t)\right]={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)}$

Die Information über die Strahlungsrückwirkung steckt also in dieser Form im Geschwindigkeitsunterschied des Elektrons zum betrachteten Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ und zu einem früheren Zeitpunkt ${\displaystyle t-2R/c}$. Dieser Zeitunterschied ist die Zeit, die eine elektromagnetische Welle benötigt, um einmal durch das Elektron hindurch zu kommen.

Literatur

• John David Jackson: Classical Electrodynamics. 3. Auflage. John Wiley & Sons, Hoboken 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 (englisch).

Einzelnachweise

1. Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons. In: Annalen der Physik. Band 315, Nr. 1, 1903, S. 105–179.
2. Hendrik Lorentz: The theory of electrons and its applications to the phenomena of light and radiant heat. 2. Auflage. Teubner, Leipzig 1916 (englisch).
3. Paul Dirac: Classical theory of radiating electrons. In: Proceedings of the Royal Society A. Band 167, Nr. 929, 1938, S. 148–169 (englisch).
4. Lev Landau und Evgeny Lifschitz: The Classical Theory of Fields. In: Course of Theoretical Physics. 3. Auflage. Band 2. Pergamon Press, Oxford New York Toronto Sydney Braunschweig 1971 (englisch).
5. William Baylis und John Huschilt: Energy balance with the Landau–Lifshitz equation. In: Physics Letters A. Band 301, Nr. 1–2, 2002, S. 7–12 (englisch).
6. David J. Griffiths, Thomas C. Proctor und Darrell F. Schroeter: Abraham-Lorentz versus Landau-Lifshitz. In: American Journal of Physics. Band 78, Nr. 4, 2010, S. 391–402 (englisch).
7. Mattew D. Schwartz: Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press, Cambridge 2014, ISBN 978-1-107-03473-0 (englisch).
8. Yurij Yaremko: Exact solution to the Landau-Lifshitz equation in a constant electromagnetic field. In: Journal of Mathematical Physics. Band 54, Nr. 9, 2013, S. 092901-1–092901–19 (englisch).