Liénard-Wiechert-Potential

Die Liénard-Wiechert-Potentiale (Emil Wiechert führte unabhängig v​on Alfred-Marie Liénard (1898) i​n einem Aufsatz 1900 d​ie nach beiden benannten Liénard-Wiechert-Potentiale e​iner bewegten Ladung ein) beschreiben d​ie elektrischen u​nd magnetischen Felder, d​ie von e​iner bewegten elektrischen Punktladung erzeugt werden. Sie verallgemeinern d​as Coulomb-Potential, d​as von e​iner ruhenden Punktladung erzeugt w​ird und keinen magnetischen Anteil hat, u​nd stellen e​ine Näherung a​n das Potential dar, welches s​ich durch d​en Doppler-Effekt b​ei hohen Energien einstellen würde.

Das skalare Liénard-Wiechert-Potential i​st ein modifiziertes Coulomb-Potential. Das Vektorpotential, d​as die Information über d​as Magnetfeld enthält, i​st im Wesentlichen d​as skalare Potential multipliziert m​it der Teilchengeschwindigkeit.

Gegenüber d​em Coulomb-Potential bestehen folgende Unterschiede:

• Die Felder, die man zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ beobachtet, werden von dem Teilchen zu einem zurückliegenden (retardierten) Zeitpunkt ${\displaystyle t_{\mathrm {ret} }}$ erzeugt. Die Differenz ${\displaystyle t-t_{\mathrm {ret} }}$ ist gleich der Laufzeit vom Teilchen zum Beobachter mit Lichtgeschwindigkeit.
• Es gibt einen Verstärkungsfaktor, wenn sich das Teilchen auf den Beobachter zubewegt (Abschwächungsfaktor, wenn es sich wegbewegt). Der Verstärkungsfaktor geht gegen unendlich, wenn die Teilchengeschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht.

Aus d​en Potentialen können d​ie elektrische u​nd magnetische Feldstärke d​urch Ableitungen n​ach Raum- u​nd Zeitkoordinaten gewonnen werden (siehe a​uch Potentiale u​nd Wellengleichung d​er Elektrodynamik). Die Feldstärken zerfallen i​n einen Geschwindigkeits- u​nd einen Beschleunigungsanteil. Der Anteil, d​er nur d​ie Teilchengeschwindigkeit enthält, i​st in d​er Nähe d​es Teilchens stark, i​n großem Abstand dagegen schwach (kein Fernfeld). Der z​ur Beschleunigung proportionale Anteil führt z​ur Abstrahlung v​on Energie i​ns Unendliche.[1]

Die Formeln

Der Ort des Teilchens wird als vorgegebene Funktion ${\displaystyle {\vec {R}}(t)}$ betrachtet. Wie die Bahnkurve zustande kommt (etwa durch elektromagnetische Felder, die Kräfte auf das Teilchen ausüben) wird nicht in Betracht gezogen. Die Geschwindigkeit des Teilchens wird über die zeitliche Ableitung der Funktion ${\displaystyle {\vec {R}}(t)}$ berechnet. Eine im Folgenden praktische Größe ist diese Geschwindigkeit geteilt durch die Lichtgeschwindigkeit:

${\displaystyle {\vec {\beta }}:={\frac {\dot {\vec {R}}}{c}}}$

Im Internationalen Einheitensystem lauten d​ie Liénard-Wiechert-Potentiale d​amit (nach Nolting[1], jedoch für Felder i​m materiefreien Raum formuliert)

${\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {q}{(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}})\;|{\vec {r}}-{\vec {R}}|}}\right]_{\mathrm {ret} }\qquad \qquad {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {{\vec {\beta }}_{\mathrm {ret} }}{c}}\,\Phi ({\vec {r}},t)}$

Der Index „ret“ bedeutet, d​ass Teilchenposition u​nd -geschwindigkeit z​um retardierten Zeitpunkt z​u nehmen sind. Für d​en retardierten Zeitpunkt g​ilt die implizite Gleichung

${\displaystyle t_{\mathrm {ret} }=t-{\frac {1}{c}}|{\vec {r}}-{\vec {R}}(t_{\mathrm {ret} })|}$

Abgesehen vom Spezialfall gleichförmiger Bewegung ist die Auflösung nach ${\displaystyle t_{\mathrm {ret} }}$ oft nur näherungsweise möglich.

Der Vektor ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ist der Einheitsvektor, der vom Ort des Teilchens zum Ortsvektor ${\displaystyle \,{\vec {r}}\,}$ zeigt. Es gilt also:

${\displaystyle {\vec {n}}={\frac {{\vec {r}}-{\vec {R}}}{|{\vec {r}}-{\vec {R}}|}}}$

Anwendungen

Synchrotronstrahlung

Hierbei bewegt sich das Teilchen auf einer Kreisbahn mit einer Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ nahe der Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$. Der geschwindigkeitsabhängige Faktor nimmt dann bei jedem Umlauf einen hohen Spitzenwert an. Denn wenn die tangentiale Richtung der Geschwindigkeit mit der Richtung zum Beobachter übereinstimmt, d. h. wenn ${\displaystyle {\dot {\vec {R}}}}$ parallel zu ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ist, dann gilt mit ${\displaystyle v\approx c}$

${\displaystyle {\frac {1}{1-{\textstyle {\frac {1}{c}}}{\dot {\vec {R}}}\cdot {\vec {n}}}}={\frac {1}{1-{\frac {v}{c}}}}\approx {\frac {1}{1-{\frac {v}{c}}}}\,{\frac {2}{1+{\frac {v}{c}}}}={\frac {2}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=2\gamma ^{2}}$

wobei ${\displaystyle \gamma }$ den Lorentzfaktor bezeichnet. Die Potentiale und Feldstärken sind damit proportional zu ${\displaystyle \gamma ^{2}}$. Weil die Feldstärken quadratisch in die Strahlungsenergie eingehen (siehe Poynting-Vektor) wird die Energie der Synchrotronstrahlung proportional zu ${\displaystyle \gamma ^{4}}$.

Beschleunigtes Teilchen mit niedriger Geschwindigkeit in großer Entfernung

Niedrige Geschwindigkeit hat man zum Beispiel am Beginn eines Beschleunigungsvorganges. Große Entfernungen sind der Bereich, der für elektromagnetische Strahlung relevant ist. Mit dieser Spezialisierung vereinfachen sich die Ausdrücke für die elektrische und magnetische Feldstärke (siehe Nolting[1] im Limes ${\displaystyle \beta =0}$). Für das Magnetfeld gilt

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}q}{4\pi c|{\vec {r}}-{\vec {R}}_{\mathrm {ret} }|}}\left({\ddot {\vec {R}}}\times {\vec {n}}\right)_{\mathrm {ret} }}$

Die elektrische Feldstärke f​olgt daraus m​it einer allgemeinen Relation für Felder i​n der Fernzone[2]

${\displaystyle {\vec {E}}=c{\vec {B}}\times {\vec {n}}}$

Damit ist die ins Unendliche gehende Energiestromdichte (Poynting-Vektor) im Abstand ${\displaystyle r}$ betragsmäßig gleich

${\displaystyle S={\frac {1}{\mu _{0}}}|{\vec {E}}\times {\vec {B}}|={\frac {\mu _{0}q^{2}}{16\pi ^{2}cr^{2}}}\,\left|{\ddot {\vec {R}}}\right|^{2}\,\sin ^{2}\!\vartheta }$

wobei ${\displaystyle \vartheta \!\,}$ der Winkel zwischen dem Beschleunigungsvektor und der Beobachtungsrichtung ist. Den Energiestrom pro Raumwinkel erhält man durch Weglassen des ${\displaystyle r^{2}}$ im Nenner.

Herleitung des B-Feldes: Die Teilchengeschwindigkeit soll klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sein, so dass alle Terme vernachlässigt werden können, die im Ergebnis einen Faktor ${\displaystyle {\dot {R}}/c}$ enthalten. Wenn Ableitungen nach ${\displaystyle x,y,z,t}$ auf die retardierte Zeit wirken, braucht deswegen der Teilchenort nicht mitdifferenziert zu werden. Damit gilt näherungsweise

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}t_{\mathrm {ret} }=1\qquad \qquad \operatorname {grad} \,t_{\mathrm {ret} }=-{\frac {1}{c}}\operatorname {grad} \,|{\vec {r}}-{\vec {R}}_{\mathrm {ret} }|=-{\frac {\vec {n}}{c}}}$

Bei Ableitungen des Vektorpotentials darf der Faktor ${\displaystyle {\dot {R}}/c}$ nicht stehenbleiben; also muss überhaupt nur dieser Faktor differenziert werden. Für das Magnetfeld erhält man so

${\displaystyle {\vec {B}}=\operatorname {rot} \,{\vec {A}}={\frac {\Phi }{c^{2}}}\,\operatorname {rot} \,{\dot {\vec {R}}}(t_{\mathrm {ret} })={\frac {\Phi }{c^{2}}}\,\operatorname {grad} \,t_{\mathrm {ret} }\times {\ddot {\vec {R}}}=-{\frac {\mu _{0}q}{4\pi c|{\vec {r}}-{\vec {R}}_{\mathrm {ret} }|}}\,{\vec {n}}\times {\ddot {\vec {R}}}}$

wobei eine Kettenregel für die Rotation benutzt wurde. Außerdem wurde ${\displaystyle c^{2}=1/\varepsilon _{0}\mu _{0}}$ benutzt.

Einzelnachweise

1. W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik, Band 3 Elektrodynamik, 8. Auflage, Springer 2007, Abschnitt 4.5.5
2. J. D. Jackson, Klassische Elektrodynamik, 4. Auflage, de Gruyter 2006, Abschnitt 9.8. Dort wird gezeigt, dass die Relation für alle Multipolordnungen gilt. Vorsicht: Der Ausdruck für ${\displaystyle Z_{0}}$ auf Seite 472 enthält zwei Druckfehler; richtig ist ${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\varepsilon _{0}}}}$ für das Vakuum, siehe Abschnitt „Feldwellenwiderstand“ im Hauptartikel Wellenimpedanz