Rekurrenter Punkt

Die Begriffe d​er rekurrenten Punkte u​nd rekurrenten Orbits werden i​n der mathematischen Theorie d​er (maßerhaltenden o​der sogar stetigen) dynamischen Systeme verwendet. Anschaulich bedeutet d​ie Rekurrenz e​ines Punktes u​nter einem Fluss (oder allgemeiner e​iner Gruppenwirkung), d​ass dieser Punkt unendlich o​ft in d​ie Nähe seiner Ausgangsposition zurückkehrt.

Definition

Wir g​eben zunächst d​ie Definition für diskrete dynamische Systeme, anschließend d​ie sehr ähnlichen Definitionen für kontinuierliche dynamische Systeme (Flüsse) u​nd für allgemeine Gruppenwirkungen.

Notationen: Eine Gruppenwirkung einer Gruppe ${\displaystyle G}$ auf einem metrischen Raum ${\displaystyle (X,d)}$ ist gegeben durch eine Abbildung ${\displaystyle \Phi \colon G\times X\to X}$, wobei man das Bild von ${\displaystyle (g,x)}$ mit ${\displaystyle gx}$ bezeichnet. Diskrete dynamische Systeme entsprechen dem Spezialfall ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ und Flüsse dem Spezialfall ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$. Im Fall ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ bezeichnen wir mit ${\displaystyle T\colon X\to X}$ die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto \Phi (1,x)}$ und mit ${\displaystyle T^{n}\colon X\to X}$ deren ${\displaystyle n}$-te Iteration für ${\displaystyle n\in N}$, also die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto \Phi (n,x)}$. Im Fall kontinuierlicher dynamischer Systeme (Flüsse) bezeichnen wir ${\displaystyle \phi _{t}(x):=\Phi (t,x)}$ für ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle x\in X}$.

Diskrete dynamische Systeme

Es sei ${\displaystyle (X,T)}$ ein diskretes dynamisches System. Ein Punkt ${\displaystyle x\in X}$ heißt rekurrent, wenn es zu jedem ${\displaystyle \epsilon >0}$ unendlich viele ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit

${\displaystyle d(x,T^{n}x)<\epsilon }$

gibt.

Äquivalent: es gibt eine Teilfolge ${\displaystyle (n_{j})_{j}\subset \mathbb {N} }$ mit

${\displaystyle \lim _{j\to \infty }T^{n_{j}}x=x}$.

Der Orbit e​ines rekurrenten Punktes w​ird als rekurrenter Orbit bezeichnet.

Kontinuierliche dynamische Systeme

Es sei ${\displaystyle (\phi _{t}\colon X\to X)_{t\in \mathbb {R} }}$ ein Fluss. Ein Punkt ${\displaystyle x\in X}$ heißt rekurrent, wenn es zu jedem ${\displaystyle \epsilon >0}$ eine gegen unendlich gehende Folge ${\displaystyle t_{i}\to \infty }$ mit

${\displaystyle d(x,\phi _{t_{i}}x)<\epsilon }$

gibt.

Äquivalent: es gibt eine gegen unendlich gehende Folge ${\displaystyle t_{i}\to \infty }$ mit

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\phi _{t_{i}}x=x}$.

Gruppenwirkungen

Es sei ${\displaystyle \Phi \colon G\times X\to X}$ eine Gruppenwirkung. Ein Punkt ${\displaystyle x\in X}$ heißt rekurrent, wenn es zu jedem ${\displaystyle \epsilon >0}$ eine Folge ${\displaystyle g_{n}}$ paarweise unterschiedlicher Elemente aus ${\displaystyle G}$ mit

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(x,g_{n}x)=0}$

gibt. Die Gruppenwirkung heißt rekurrent, w​enn die rekurrenten Punkte d​icht liegen.

Maßerhaltende dynamische Systeme

Für maßerhaltende dynamische Systeme kann die Rekurrenzbedingung auch wie folgt formuliert werden. Es sei ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ein Maßraum und ${\displaystyle f\colon X\to X}$ eine maßerhaltende Abbildung. Die Abbildung heißt rekurrent, wenn es für jede Menge ${\displaystyle A\subset X}$ mit ${\displaystyle \mu (A)>0}$ und für ${\displaystyle \mu }$-fast alle ${\displaystyle x\in A}$ unendlich viele ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle f^{n}(x)\in A}$ gibt.

Analog kann man Rekurrenz für maßerhaltende Wirkungen einer beliebigen Gruppe definieren. Die Wirkung einer Gruppe ${\displaystyle G}$ heißt rekurrent, wenn für jede Menge ${\displaystyle A\subset X}$ mit ${\displaystyle \mu (A)>0}$ und für ${\displaystyle \mu }$-fast alle ${\displaystyle x\in A}$ die Menge

${\displaystyle g\in G\colon gx\in A}$

nicht relativ kompakt ist.[1]

Spezialfälle

Spezialfälle rekurrenter Punkte sind

• Fixpunkte
• Periodische Punkte
• Fast-periodische Punkte, d. h. ${\displaystyle x\in X}$, so dass für alle ${\displaystyle \epsilon >0}$ die Menge ${\displaystyle \left\{n\in \mathbb {N} \colon d(x,T^{n}x)<\epsilon \right\}}$ eine syndetische Menge ist, also beschränkte Lücken hat.
• Wenn der Orbit von ${\displaystyle x}$ dicht liegt, dann ist ${\displaystyle x}$ rekurrent.

Birkhoffscher Rekurrenzsatz

Jedes stetige dynamische System a​uf einem kompakten Raum h​at fast-periodische u​nd demzufolge rekurrente Punkte.

Poincaréscher Rekurrenzsatz

→ Hauptartikel: Wiederkehrsatz

Der Poincarésche Rekurrenzsatz besagt: Wenn ${\displaystyle X}$ endliches Volumen hat, dann hat jede maßerhaltende Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to X}$ rekurrente Punkte. Weiterhin hat die Menge der rekurrenten Punkte volles Maß, d. h. ${\displaystyle \mu (R(f))=\mu (X)}$.

Dieser Satz hat eine allgemeinere Version für maßerhaltende Gruppenwirkungen. Sei ${\displaystyle G}$ eine nicht-kompakte, lokal-kompakte Gruppe, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und die auf einem Maßraum ${\displaystyle (X,\sigma ,\mu )}$ mit ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$ wirke. Dann ist die Wirkung rekurrent.[2]

Beispiele

• Sei ${\displaystyle X=S^{1}}$ und ${\displaystyle f\colon X\to X}$ eine Drehung, dann ist jeder Punkt rekurrent.
• Sei ${\displaystyle G}$ eine topologische Gruppe und ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ein kokompaktes Gitter. Sei ${\displaystyle g\in Z(G)\subset G}$ ein Element aus dem Zentrum von ${\displaystyle G}$. Die Abbildung

${\displaystyle x\to gx}$

definiert ein dynamisches System auf ${\displaystyle G/\Gamma }$ und aus dem Birkhoffschen Rekurrenzsatz folgt, dass jeder Punkt rekurrent ist.

• Anwendung des vorhergehenden Beispiels mit ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{d}}$ und ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} ^{d}}$ ergibt den Approximationssatz von Kronecker.

Eigenschaften

• Jeder rekurrente Punkt ist nichtwandernd.
• Die Menge ${\displaystyle R(f)}$ der rekurrenten Punkte ist invariant unter ${\displaystyle f}$. Ihr Abschluss ist die Birkhoff-Menge (engl.: Birkhoff center).
• Poisson-Stabilität: Die Eigenschaft eines Punktes rekurrent zu sein ist stabil unter geringfügigen Änderungen des dynamischen Systems.

Weblinks

• Terence Tao: Minimal dynamical systems, recurrence, and the Stone-Čech compactification
• Recurrent point (Encyclopedia of Mathematics)

Einzelnachweise

1. Feres, Katok: Ergodic theory and dynamics of G-actions, Seite 19
2. Theorem 3.4.1 in: Katok, Hasselblatt: Principal structures. Handbook of dynamical systems, Vol. 1A, 1–203, North-Holland, Amsterdam, 2002.