Teilfolge

In d​er Mathematik i​st eine Teilfolge e​iner Folge e​ine neue Folge, d​ie entsteht, w​enn Folgenglieder v​on der ursprünglichen Folge weggelassen werden. Es können endlich v​iele Glieder (insbesondere a​uch gar keine) o​der unendlich v​iele weggelassen werden. Sofern n​icht ausdrücklich v​on einer endlichen Teilfolge gesprochen wird, i​st bei e​iner unendlichen Folge üblicherweise wieder e​ine unendliche Teilfolge gemeint.

Eine Teilfolge kann aus der Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ gebildet werden, indem nur die Elemente ${\displaystyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ berücksichtigt werden, wobei ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<n_{3}<\dotsb }$ eine streng monoton wachsende unendliche Folge ist.

${\displaystyle (a_{n})}$ ist selbst auch eine Teilfolge von ${\displaystyle (a_{n})}$.

Beispiele

• Folge: ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$. Teilfolge mit ${\displaystyle n_{k}=2k}$: ${\displaystyle (a_{n_{k}})=(1,1,1,\dotsc )}$
• Folge: ${\displaystyle a_{n}=n}$. Teilfolge mit ${\displaystyle n_{k}=k^{2}}$: ${\displaystyle (a_{n_{k}})=(1,4,9,16,\dotsc )}$

Folgenkompakter Raum

Nach d​em Satz v​on Bolzano-Weierstraß besitzt j​ede beschränkte unendliche reelle Zahlenfolge mindestens e​ine konvergente Teilfolge. Allgemein heißt e​in topologischer Raum folgenkompakt, w​enn er d​ie Eigenschaft hat, d​ass jede Folge mindestens e​ine konvergente Teilfolge hat.

Konvergenz

Ist eine Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergent gegen ${\displaystyle a}$, so konvergiert auch jede Teilfolge ${\displaystyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ gegen denselben Grenzwert ${\displaystyle a}$. Umgekehrt gilt auch, wenn jede Teilfolge ${\displaystyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ gegen denselben Grenzwert ${\displaystyle a}$ konvergiert, dass auch die Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle a}$ konvergiert.

In jedem topologischen Raum gilt sogar der Satz, dass eine Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ genau dann gegen ${\displaystyle a}$ konvergiert, wenn jede Teilfolge ${\displaystyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ eine Teilteilfolge ${\displaystyle (a_{n_{k_{l}}})_{l\in \mathbb {N} }}$ enthält, die gegen ${\displaystyle a}$ konvergiert. Die Bedeutung dieses Satzes liegt erstens darin, dass er bei vielen Konvergenzbeweisen in folgenkompakten Räumen hilfreich ist. Zweitens liefert dieser Satz ein Kriterium, ob ein Konvergenzbegriff durch eine Topologie beschrieben werden kann; die punktweise Konvergenz fast überall einer Funktionenfolge erfüllt beispielsweise nicht diesen Satz und kann daher nicht durch eine Topologie beschrieben werden.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4