Fluss (Mathematik)

Das Konzept eines (Phasen-)Flusses in der Mathematik ermöglicht die Beschreibung zeitabhängiger (System-)Zustände. Es ist deshalb vor allem für die Analyse gewöhnlicher Differentialgleichungen von Bedeutung und findet damit Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik. Formal ist der Fluss eine Operation einer Parameterhalbgruppe ${\displaystyle (\Gamma ,+)}$ auf einer Menge ${\displaystyle X}$. Meist, insbesondere in der Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen, wird unter einem Fluss eine Operation des Monoids ${\displaystyle (\mathbb {R} _{\geq 0},+)}$ verstanden.

Definition

Sei ${\displaystyle X}$ eine Menge, ${\displaystyle \Gamma }$ eine Parametermenge. Eine Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon X\times \Gamma \to X}$

heißt Fluss, w​enn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

${\displaystyle \varphi (x,0)=x\ \forall \ x\in X}$

und

${\displaystyle \varphi (\varphi (x,s),t)=\varphi (x,s+t)\ \forall \ x\in X,\ s,t\in \Gamma }$

Wir h​aben also e​ine Halbgruppenwirkung.

Die Menge

${\displaystyle {\mathcal {O}}(x,\varphi ):=\left\{\varphi (x,t)|t\in \Gamma \right\}}$

heißt Orbit von ${\displaystyle x}$.

Falls die Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon X\times \Gamma \to X}$ differenzierbar ist, spricht man auch von einem differenzierbaren Fluss.

Lokaler Fluss

Für ${\displaystyle \mathbb {R} }$ als Parametermenge ist allgemeiner ein lokaler Fluss ${\displaystyle \varphi \colon U\to X}$ für eine offene Teilmenge ${\displaystyle U=\bigcup \nolimits _{x\in X}\{x\}\times I_{x}\subseteq X\times \mathbb {R} }$ mit offenen Intervallen ${\displaystyle 0\in I_{x}\subseteq \mathbb {R} }$ definiert, falls die Bedingungen

${\displaystyle \varphi (x,0)=x\ \forall \ x\in X}$

und

${\displaystyle \varphi (\varphi (x,s),t)=\varphi (x,s+t)\ \forall \ x\in X,\ s,s+t\in I_{x},\ t\in I_{\varphi (x,s)}}$

erfüllt ist.[1] Ein lokaler Fluss mit ${\displaystyle U=X\times \mathbb {R} }$ ist ein (globaler) Fluss mit ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {R} }$.

Diskussion

Im Hinblick auf die Analyse dynamischer Systeme beschreibt der Fluss die Bewegung im Phasenraum im Laufe der Zeit. Hierbei spricht man in Abhängigkeit von der Parametermenge ${\displaystyle \Gamma }$ von einem kontinuierlichen dynamischen System (${\displaystyle \Gamma =\mathbb {R} }$) oder einem diskreten dynamischen System (${\displaystyle \Gamma =\mathbb {N} }$).

Betrachten w​ir ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {F} (t,\mathbf {x} )}$

mit ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ oder einer offenen Teilmenge davon, so werden durch den Phasenfluss die Lösungen dieses Systems in Abhängigkeit vom Anfangszustand angegeben. Man wählt dann oft auch eine implizite Form der Flussangabe und schreibt

${\displaystyle \mathbf {x} (t){\text{ bzw. }}\mathbf {x} (0)}$.

Beispiel

→ Hauptartikel: Fluss eines Vektorfeldes

Beispielsweise kann man jedem Vektorfeld einen Fluss zuordnen. Dieser ist durch die maximale Integralkurve des Vektorfeldes gegeben. Tatsächlich ist jeder Fluss auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit der Fluss eines Vektorfeldes, welches man durch ${\displaystyle F(x)={\frac {d}{dt}}\vert _{t=0}\Phi (t,x)}$ erhält.

Der Ricci-Fluss spielt e​ine zentrale Rolle i​n der inzwischen bewiesenen Thurston'schen Geometrisierungsvermutung, welche e​ine Verallgemeinerung d​er Poincaré'schen Vermutung ist.

Einzelnachweise

1. Theodor Bröcker, Klaus Jänich: Einführung in die Differentialtopologie. Springer, Berlin 1973, ISBN 3-540-06461-3, S. 80 (§ 8. Dynamische Systeme).

Literatur

• Manfred Denker: Einführung in die Analysis dynamischer Systeme. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2005, ISBN 3-540-20713-9
• Werner Krabs: Dynamische Systeme: Steuerbarkeit und chaotisches Verhalten. B.G.Teubner, Leipzig 1998, ISBN 3-519-02638-4.